變時滯脈沖高階BAM神經網絡的指數穩定性

高秀芝，王炳濤

(1.山東協和學院 基礎部，山東 濟南 250109;2.山東英才學院 基礎部，山東 濟南 250104)

0 引 言

自1987年Kosko［1］首次提出雙向聯想記憶(Bidirectional Associative Memory，BAM)神經網絡以來，由于BAM 神經網絡系統在模式識別和自動控制等方面得到廣泛應用，其穩定性問題受到極大關注［2－8］．在神經網絡電路實現過程中，由于放大器的切換速度是有限的，神經網絡模擬電路不可避免地會產生時滯，而時滯的引入常常會破壞神經網絡的穩定性．關于具有定常時滯或變時滯低階脈沖神經網絡系統的穩定性問題的研究已取得一定成果［9－10］．目前，對于具有變時滯的脈沖高階BAM 神經網絡系統的指數穩定性問題的研究還很少，因此這一問題的研究具有非常重要的意義．

研究如下高階變時滯脈沖BAM 神經網絡系統，

其中，t ＞0，i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m;k = 1，2，…，0 ≤τj(t)≤τ 和0 ≤σi(t)≤σ 為傳輸時滯，且τ*= max{τ，σ};固定時刻tk滿足0 ＜t1＜t2＜…，分別表示第i 個和第j 個神經元在t 時刻的狀態變量;fj(·)、gi(·)是神經元的激勵函數;Ii、Jj分別表示t 時刻的外部輸入．ai和dj都是正常數，bij、cji、bijl、cjil分別為神經網絡的一階和二階連接權和分別表示第i 個和第j 個神經元的脈沖擾動．

假設函數fj(·)、gi(·)、Hik(·)、Rjk(·)滿足如下條件:

(H1)．存在正常數kj，li，Mj，Ni使，

且，| fj(u)|≤Mj，| gi(u)|≤Ni，對一切u，v ∈R，i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m 都成立．

(H2)．存在正常數使，

對一切u，v ∈R，i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m;k = 1，2，…都成立．

1 系統描述與預備知識

為進一步討論系統(1)的指數穩定性，引入如下定義和引理．

令Rn表示n 維實列向量空間，定義，

PC:= {φ:［－ τ*，0］→Rn| 當s ∈［－ τ*，0)時，φ(s+)= φ(s);當s ∈(－ τ*，0］時，φ(s－)存在，且φ(s－)= φ(s)僅對s ∈(－ τ*，0］中至多有限個點成立;t ∈R}．

向量值函數，z(t)= (x1(t)，x2(t)，…，xn(t)，y1(t)，y2(t)，…，ym(t))T:［－ τ*，+ ∞)→Rn+m稱為是系統(1)在滿足如下初始條件下的解，

如果，z(t)= PC［［0，+∞)，Rn+m］是滿足初始條件(2)的解，記滿足，x(s)= φ(s)，y(s)= φ(s)的解為，(x(t，φ)，y(t，φ))或(xt(φ)，yt(φ))，其中xt(s，φ)= x(t + s，φ)，yt(s，φ)= y(t + s，φ)，s ∈［－ τ*，0］，t ≥0.顯然，系統(1)的任意解z(t)在t≠tk處連續，在t = tk，t ≥0 處右連續.

則系統(1)的平衡點z*稱為全局指定穩定的.

引理1［11］假設(x，ρ)是一個完全度量空間，f∶X →X，且存在某個實數0 ＜k ＜1 使，

則存在唯一一個點，x0∈X，使f(x0)= x0.

引理2［12］對a ≥0，bk≥0(k = 1，2，…，m)有如下不等式成立，

其中，qk＞0，k = 1，2，…，r，為某些常數，且，= p－1，p ＞1.

引理3［13］假設常量p 和q 滿足p－q ＞0，y(t)是［t0－ τ，∞)上的非負連續函數且滿足，

則對任意，t ≥t0，有，y(t)≤y—(t0)e－k(t－t0)，其中，k ＞0 是方程，k = p－ qekτ的唯一解.

2 主要結果

定理1 如果系統(1)滿足條件(H1)、(H2)和2，…，m.其中，

則系統(1)存在唯一的平衡解.

證明 由條件(H3)可得，

定義α 如下，

顯然α ＜1.

定義映射，Φ:Rn+m→Rn+m如下，

下面證明，Φ:Rn+m→Rn+m是定義在Rn+m上的壓縮映射.

故有，

這就證明了，Φ ∶Rn+m→Rn+m是Rn+m中的壓縮映射.因此，由引理1，對映射Φ ∶Rn+m→Rn+m存在唯一的不動點，即系統(1)存在唯一解.

定理證畢.

定理2 如果系統(1)滿足條件(H1)、(H2)和(H3)，且以下條件成立，

(i)存在，qk＞0，λi＞0，μj＞0，αkj∈R，βkj∈R，γkj∈R，Ski∈R(i =1，2，…，n;j =1，2，…，m;k =1，2，…，r)，使得，其中，

(ii)存在，0 ＜ u ＜ λ*使得對所有k = 1，2，…都成立，其中，ηk=且則系統(1)的平衡點是全局指數穩定的.

類似地，可得，

為進一步簡化，令ui(t)= xi(t)－，vj(t)=yj(t)－，i = 1，2，…，n，j = 1，2，…，m.可得，

為得到系統(1)全局指數穩定的條件，定義如下Lyapunov 函數，

計算V(t)沿系統(1)的軌跡的Dini 右上導數可得，

對任意t ∈［t0，t1)，由Halanay 不等式可得，

即，

另一方面，根據假設(H2)有，

由于η1≥1，根據式(7)和(8)可以推出如下不等式，

類似于式(8)，對任意t ∈［t1，t2)，

由于(H2)成立，可推得，

注意到η2≥1，根據式(10)和(11)可得如下不等式，

由數學歸納法，對任意t ∈［tk，tk+1)，都有，

因此，

對任意，t ≥t0，i.e.

由定義1，得到系統(1)的平衡點是全局指數穩定的.

定理證畢.

令qk= 1，p = 2，r = 1，λi= μj= 1，αkj= βkj=，可得如下推論.

推論1 如果系統(1)滿足條件(H1)、(H2)和(H3)，且如下條件成立:

(ii)存 在0 ＜ u ＜ λ*使得對任意k = 1，2，…，都成立，其中，ηk=且，則系統(1)的平衡點是全局指數穩定的.

如果在系統(1)中不考慮脈沖，則得到如下系統，

類似于定理1，可得如下推論2.

推論2 如果系統(13)滿足假設(H1)、(H3)，且如下條件成立:

存在qk＞0，λi＞0，μj＞0，αkj∈R，βkj∈R，γki∈R，Ski∈R(i = 1，2，…，n;j = 1，2，…，m;k = 1，2，…，r)使得，其中:

則系統(13)的平衡點是全局指數穩定的.

3 實 例

考慮如下神經網絡系統，

其中，激活函數，fj(yj)= 1/2(| yj+1| +| yj－1|)，gi(xi)= 1/2(| xi+1| +| xi－1|)，顯然有，kj= li=Mj= Ni= 1.取a1= 5，a2= 4，d1= 4，d2= 6.τ1(t)= τ2(t)= σ1(t)= σ2(t)= 0.5.

容易驗證推論1 中的所有條件均滿足，因此，系統(14)是全局指數穩定的.

4 結 論

本研究中得到的神經網絡穩定性的充分條件容易被驗證，且其具有許多可調整的參數，通過調整這些參數可以對神經網絡系統進行設計與分析.需說明的是，本研究中所得結論不要求時滯函數是可微的.

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