帶形狀參數(shù)的五次三角Bézier 曲線

張丹丹，吳歡歡

(安徽廣播電視大學(xué) 安慶分校，安徽 安慶 246001)

0 引 言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，學(xué)者們對曲線曲面的研究做了大量的工作，像Bézier 曲線、B 樣條曲線［1］.為了對曲線曲面的形狀進(jìn)行靈活地修改，研究者引入了形狀參數(shù)，例如，文獻(xiàn)［2］討論了帶形狀參數(shù)的Bézier 曲線，通過引入一個(gè)形狀參數(shù)，對曲線的形狀進(jìn)行調(diào)控.但Bézier 曲線在組合曲線相鄰控制頂點(diǎn)上的連續(xù)性，有局限性.近年來，研究者開始研究三角函數(shù)空間上的曲線曲面的表示方法，例如，文獻(xiàn)［3］首次討論了帶一個(gè)形狀參數(shù)的二次三角多項(xiàng)式曲線及2 段三角多項(xiàng)式曲線的拼接問題，文獻(xiàn)［4］研究了二階、三階三角函數(shù)組成的T-Bézier 曲線，其二階曲線在拼接點(diǎn)處可達(dá)到G3連續(xù)，三階曲線可達(dá)到G2連續(xù)，文獻(xiàn)［5］討論了帶一個(gè)形狀參數(shù)的T-Bézier 曲線，該曲線可表示橢圓和圓，文獻(xiàn)［6］研究了帶2 個(gè)形狀參數(shù)的三次三角Bézier 曲線，通過改變參數(shù)λ1、λ2，可對曲線的形狀進(jìn)行局部或整體調(diào)控，文獻(xiàn)［7］研究了帶形狀參數(shù)的類四次三角Bézier 曲線，給出了2 段曲線G2、G3連續(xù)的條件，該曲線還可表示橢圓、拋物線等二次曲線弧.在此基礎(chǔ)上，本研究分析了帶一個(gè)形狀參數(shù)的五次三角Bézier 曲線，它具有五次Bézier 曲線類似的幾何性質(zhì)，并討論了組合三角多項(xiàng)式曲線在拼接點(diǎn)處C2連續(xù)的條件，該五次三角多Bézier 曲線可精確地表示橢圓弧、圓弧、拋物線弧等.

1 基函數(shù)

式(1)的五次三角多項(xiàng)式基函數(shù)具有如下性質(zhì)，

1)非負(fù)性.

2)權(quán)性.

3)對稱性.

4)端點(diǎn)性質(zhì).

5)單調(diào)性.

當(dāng)α遞增時(shí)，b0(t)、b5(t)單調(diào)遞減，b2(t)、b3(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t ∈［0，π/6］時(shí)，b1(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t ∈［π/6，π/2］時(shí)，b1(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t ∈［0，π/3］時(shí)，b4(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t ∈［π/3，π/2］時(shí)，b4(t)單調(diào)增減.

圖1 為α = 1 時(shí)基函數(shù)圖像

2 曲線與性質(zhì)

定義2 給定R2或R3中的6 個(gè)控制點(diǎn)Pi，i =0，1，2，3，4，5，

則稱式(2)為帶形狀參數(shù)α 的五次三角Bézier 曲線.

該曲線具有下列性質(zhì):

1)端點(diǎn)性質(zhì).

2)對稱性.

圖2 為形狀參數(shù)取不同值的五次三角Bézier 曲線，從上到下α 依次取1，0.5，0，－ 0.5.可發(fā)現(xiàn)當(dāng)α增大時(shí)，曲線越逼近控制多邊形.

圖2 取不同參數(shù)值的曲線

3 曲線的連續(xù)

設(shè)2 條曲線，

定理1 若V0V1與P4P5共線且方向相同，即，

且V0= P5，則曲線r1(t)與r2(t)在連接點(diǎn)處C1連續(xù).

證明

即曲線r1(t)與r2(t)在連接點(diǎn)處C1連續(xù).

定理2 當(dāng)α1= α2= 1 時(shí)，在C1連續(xù)的條件下，若時(shí)，則曲線r1(t)與r2(t)在連接點(diǎn)處C2連續(xù).證明 當(dāng)V0= P5時(shí)，

即曲線r1(t)與r2(t)在連接點(diǎn)處C2連續(xù).

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 橢圓弧、圓弧的表示

設(shè)P0，P1，P2，P3，P4，P5為控制多邊形頂點(diǎn)，當(dāng)α =時(shí)，取P0=(a，－b)，，則該五次三角Bézier曲線可表示為，

當(dāng)a = b 時(shí)，該五次三角Bézier 曲線表示的是一段圓弧.圖3 給出了橢圓弧的曲線表示.

圖3 橢圓弧的表示

4.2 拋物線弧的表示

圖4 給出了拋物線弧的曲線表示.

圖4 拋物線的表示

4.3 花瓣圖形

五次三角Bézier 曲線與五次Bézier 曲線一樣，可以表示開曲線、閉曲線的模型.圖5 是α = 1，0.5，0，－0.5 時(shí)的開曲線、閉曲線花瓣圖形.

圖5 花瓣圖形

［1］施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B 樣條［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［2］Han Xuli.Quadratic trigonometric polynomial curves with a shape parameter［J］.Comp Aided Geom Des，2002，19(7):479－502.

［3］吳曉勤.帶形狀參數(shù)的Bézier 曲線［J］.中國圖像圖形學(xué)報(bào)，2006，11(2):269－274.

［4］嚴(yán)蘭蘭，韓旭里，鄔國根，等.二階/三階三角Bézier 曲線［J］.圖學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34(5):71－75.

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［6］楊聯(lián)輝，鄔弘毅.帶形狀參數(shù)的三次三角Bézier 曲線［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，28(11):1472－1476.

［7］楊煉，李軍成.一類帶形狀參數(shù)的類四次三角Bézier 曲線［J］.計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2011，33(3):77－81.