淺析三角形教學中的分類討論思想

饒良鑫

摘 要：初中數學中的分類討論思想是近幾年常州市中考的熱門考點之一，幾乎每年分類討論思想都有出現在考題中，它是教學的重點也是難點，分類討論思想不僅在數學學科中涉及，在其他理科中也經常使用。分類討論思想中蘊含嚴謹的數學學科特點，也可以鍛煉學生的思維和想象力，特別是在考查幾何問題時，重點闡述了初中幾何教學中的分類討論思想，三角形問題中的分類討論頻繁地出現在常州中考的壓軸題中，它的重要性不言而喻。

關鍵詞：初中數學；三角形；分類討論思想

一、問題提出

分類討論思想的基本要求首先是不重復、不遺漏，分類討論思想可以培養學生思維的連貫性和有序性，培養學生完整細致地分析問題的習慣和探索問題的能力，提高學生嚴謹的思維。通過研究發現，學生碰到這類問題常常不知道如何切入，更不知道要分類討論解答，還有一類學生清楚分類討論，但是分類不完整，其次分類完整的學生在計算的過程中也會出現一些小問題，而能完整解答的微乎其微。因此，教師教學中對這種解題思路方法的滲透顯得尤為重要，學生要從平時的教學中積累和提煉、總結歸納。最后達到運用非常熟練，這將是一個漫長的吸收內化的過程。幾何中的三角形中涉及分類討論思想的題型有等腰三角形、直角三角形、相似三角形等；等腰三角形經常按頂角和低角分類、按底邊或腰進行分類。直角三角形一般情況是按直角頂點分類。相似三角形中，當出現“△ABC與△DEF相似”或“以點A、B、C為頂點的三角形相似于△DEF ”時，由于點的對應關系不確定，通過分類討論才能更清晰、更完整地解答。

二、核心概念

所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。分類思想可不像一般的數學知識那樣，通過幾節課的教學就可讓學生掌握應用。而是要根據學生的年齡特征，學生在學習各階段的認知水平，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內涵，從而達到利用數學分類討論方法來解決問題的目的。分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性，對培養初中生全面、周密地分析問題和解決問題的能力起到了十分關鍵的作用。在初中數學教學中我們要時刻滲透分類思想，引導學生多利用分類討論方法解決問題。

三、分類討論思想解題的思維過程分析

在運用分類的思想進行解題時，其思維過程通常可以分為：（1）要明確是否需要分類討論；（2）確定分類的對象；（3）確定分類的標準；（4）逐類逐級分類討論；（5）綜合、歸納結論。運用分類的思想解題首先需要明確分類討論的原因，即哪些問題常常需要用到分類的思想來解決。大多數的學生在面對一個數學問題時，不易判斷此問題是否需要用到分類的方法來解決該問題，即無法根據問題的條件和結論迅速辨認問題中與分類有關的數量關系或位置關系。因此，從所給的問題情境中，正確而迅速地辨認題目中與分類有關的數量關系或位置關系的，是解決問題的基礎，一般的說，當我們研究的問題是下列幾種的情形時，可以考慮使用分類的思想方法來解決問題。

在初中數學教學的過程中逐步恰當地滲透數學思想方法，培養學生的思維能力，讓學生形成良好的數學思維習慣，既是符合新課程的標準，又是進行數學素質教育的一個極好的切入點。數學中的分類討論思想不但是一種重要的數學思想，而且是一種重要的數學邏輯方法，分類思想不但在數學知識的探究和概念學習中十分重要，而且在解決數學問題過程中起著不可替代的作用。數學中的分類討論思想，是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類進行研究，從而解決問題的一種數學思想。它既是一種重要的數學思想，更是一種重要的數學邏輯方法。

四、實例分析

【分析】分CP=CO，PC=PO和OC=OP三種情況分別討論即可。在每種情況下分別畫出對應的圖形，利用三角形相似的原理加以解決，本題對學生的能力要求較高，有的學生望而卻步，有的學生可能只想到了其中的一種或兩種情況。考慮到題目考查了分類討論的思想，這樣的學生已經是非常了不起了，接下來就要通過一些方法加以解決，筆者認為這道題只是常州中考題中涉及分類討論思想的其中一例，還有很多就不一一列舉。在今后的教學中還要加以提煉和總結，對不同層次的學生在滲透分類討論思想的教學過程中還需要因人而異，不僅是分類討論思想是這樣，其他初中數學中涉及的思想方法應該加以研究落實。

參考文獻：

[1]黨中.分類討論的幾點思考[J].中國新技術新產品，2010（15）.

[2]鄧風文.如何在初中教學中滲透分類討論思想[J].中學數學參考，2013（09）.