全概率公式和貝葉斯公式教學新探*

任芳玲，劉 瑞

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安716000)

全概率公式和貝葉斯公式教學新探*

任芳玲，劉 瑞

(延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安716000)

全概率公式和貝葉斯公式是概率論教學的一個重難點，一般的授課方法是直接給出公式內容，對照例題套用公式，學生接受起來比較困難，理解不了公式的內涵。筆者結合課堂實踐采取一種新的授課方式：結合實例給出應用背景、引導學生理解公式內涵、妙用概率樹圖法求解公式，以此方法簡化了思考過程且達到了學以致用的目的，收到了很好的教學效果。

全概率公式；貝葉斯公式；教學研究；概率樹圖

引言

在日常生活中，我們周圍的許多事物都和概率有著千絲萬縷的聯系，所以將概率知識和實際相結合是概率教學應該把握的一個基本方向。全概率公式和貝葉斯公式作為概率論課程中兩個重要的基礎內容,是解決概率問題的兩個重要思想，恰如其分的應用這兩個公式是概率學習的一個重點。筆者通過幾年來對概率論課程的教學研究，反復總結自己多次教學過程的優缺點，結合學生在理解接受上存在的問題，發現講透應用背景和簡明清晰的求解方法是講解全概率公式和貝葉斯公式的重要方面。引入概率樹圖法求解，并將好的實例作為數學實驗課程的一個例子，以此可調動學生的學習熱情并提高學生用概率知識解決實際問題的能力，實施于課堂教學發現是行之有效的。結合全概率公式和貝葉斯公式的應用背景，給出以下實例：

實例1：提出排球比賽賽制，熱心的球迷總有提前估計中國隊奪冠可能性大小的好奇心，引出用全概率公式可以滿足球迷的這種好奇心.

實例2：重溫《狼來了》的故事，調動學生對誠信教育經典之作的回憶，引出用貝葉斯公式可求解故事中撒謊小孩的可信度是如何降低的。

實例3：提出一個肇事逃逸案件，在一個初冬大霧天的下午六點左右發生了一起交通事故，肇事車是本市一輛出租車，該車早已逃逸。有一個目擊者認定是一輛綠色出租車，若你是交警，你能確信目擊者的證言嗎？引出用貝葉斯公式可以判斷目擊者證言可信度的大小。

1 定理內容及內涵解析

1.1 全概率公式

定理1[1]：設是一個完備事件組，則對任一事件B,有

1.2 全概率公式解析

（1）在全概率公式中，事件B可理解為某一結果，事件Ai可理解為引起結果B的某個原因，P（Ai）表示某個原因發生的可能性大小，表示原因Ai引起結果B的可能性大小，而結果B是由各個原因綜合作用的，所以可理解為公式的直觀作用是“知因求果”[2]。

（2)全概率公式的“全”指的是對結果事件B有貢獻的全部原因，并且這些原因構成一個完備事件組。

（3)公式中蘊含了一個加法公式和乘法公式，是一種加權求和的形式，如此將事件分解，便可使復雜的事件簡單化。

1.3 貝葉斯公式

定理2[1]：設是一個完備事件組，則對任一事件B,有

1.4 貝葉斯公式解析

（1)貝葉斯公式符合條件概率的形式。貝葉斯公式的分母是“全概率公式”要解決的問題，分子是分母和式中的一項。

（2)貝葉斯公式的直觀作用可理解為是“執果探因”。即已知結果事件B已經發生了，探求導致這一結果發生的某個原因Ai的可能性大小，所求的是條件概率

（3)P（Ai）指的是試驗以前人們根據以往的數據經驗得出的概率，稱為先驗概率，指的是試驗已經發生，對事件Ai概率的重新估計，稱為后驗概率。

2 公式的應用

2.1 直接應用公式

全概率公式的應用步驟：（1）判斷是否符合全概率公式的應用背景；（2）找出樣本空間的完備事件組；（3）求出每一原因事件的概率P（Ai）；（4）求出原因對結果影響的概率P（Ai)。

貝葉斯公式的應用步驟：（1）判斷是否符合貝葉斯公式的應用背景；（2）找出樣本空間的完備事件組；（3）求出結果事件的概率P（B）；（4）針對任一原因求出P（Ai）P（Ai)。

例1：試卷中有一個四選項的單選題，任一考生如果會做這道題，則因為粗心做錯的概率是0.05；如果他不會做這道題，則任選一個答案，設考生會解這答題的概率是0.8，求：（1）考生做對的概率？（2）如果考生答對了，則他確實會做這道題的概率是多少？

分析：將考生“做對”看作是結果事件B，將考生“會做”和“不會做”看作是導致結果發生的兩個原因事件A和，且A和構成一個完備事件組，可見問題1符合全概率公式的應用背景，問題2符合貝葉斯公式的應用背景。則

2.2 利用概率樹圖求解

樹圖就是按事件發生的先后順序作出圖，它的形狀像一棵樹，有根、分支、節點和末梢，然后再按原途返回求解。在表示隨機現象的樹形圖的各線段上，標上相應的率，這種樹稱為概率樹[3]。樹圖法主要是利用乘法原理，在上面樹形結構中，在一整個路徑上，從根到末梢，事件發生的概率等于各段分支上概率的乘積。

例2:假定在某次世界女排賽中，中、日、美、古巴四隊取得半決賽權，半決賽時的分組是中國對陣古巴，美國對陣日本，那么在比賽之前如何根據以往的比賽數據估計此次比賽中國隊奪冠的概率呢？

（1）若中國隊已經戰勝古巴隊出線，且根據以往的戰績,假定中國隊戰勝日本隊、美國隊的概率分別為0.9與0.5,而日本隊戰勝美國隊的概率為0.5,試問中國隊取得冠軍的可能性有多大?

解：做出概率樹圖

可見符合全概率公式的應用背景，設中國隊取得冠軍為事件B,則根據樹圖法的原理，中國隊奪冠有兩條路徑，可得：

（2）若中國隊和古巴隊還沒有比賽，且中國隊戰勝古巴隊的概率是0.8，那么如何估算中國隊取得冠軍的可能性有多大?

做出概率樹圖

例3:用貝葉斯公式重溫一下“狼來了”的故事[4]，看小孩子第三次喊“狼來了！”的時候村民對他的信任度怎樣變化？

解：設事件B表示小孩可信、事件A表示小孩說謊，先做一些假設：村民起初對這個小孩的可信度是0.8，即P（B）＝0.8,我們認為可信的孩子說謊的可能性為0.1，即,不可信的孩子說謊的可能性為0.5，即

解：做出概率樹圖

可見問題符合貝葉斯公式的應用背景，村民第一次上山，小孩說了謊，這時村民對小孩的可信度為：

由此可見，小孩第一天說謊后，其可信度由0.8下降到0.44.同理做出概率樹圖可得

由此可見，小孩第二天說謊后，其可信度已經下降到0.44，如此低的可信度導致再也沒有人來救他了。

例4：在一個初冬大霧天的下午六點左右發生了一起交通事故，肇事車是本市一輛出租車，該車早已逃逸.有一個目擊者認定是一輛綠色出租車，若你是交警，你能確信目擊者的證言嗎？

解：假定經調查該市有紅、綠兩種顏色的出租車，其中綠色占17%，紅色占83%，我們假定通過測試可知，目擊者將紅色看成紅色的概率為0.8，將紅色看成綠色的概率為0.2，將綠色看成綠色的概率為0.9，將綠色的看成紅色的概率為0.1.用貝葉斯公式可判斷目擊者證言可信度的大小。

設事件B表示肇事出租車確實是綠色的，事件A表示目擊者看到的肇事車是綠色的，那么做出概率樹圖

根據計算，在這種情形下目擊者盡管說的是真話，但他判斷正確的概率也只有0.48，所以交警要想破案，還得收集更有力的證據。

由此可見樹圖法思路清晰，極為便捷，不易出錯，但必需注意兩個條件：

(1)每一分支后的事件必須是互不相容的，即它們的概率和必需為1；

(2)從第一個節點之后，路徑中的概率均為條件概率。

特別是當層次分的越多越復雜時，樹圖法更能顯示出它的優越之處，對于理解公式，提高解題能力可起到事半功倍的作用。

3 結語

“知因求果”和“執果探因”是全概率公式和貝葉斯公式理解的精髓，概率樹圖是求解全概率公式和貝葉斯公式很好的方法，將實例始終穿插于教學過程的始終是調動學生學習積極性的有力手段。這樣的教學方法既能讓學生很好的理解枯燥難懂的定理公式，也能讓學生感覺到概率的美和無處不在。

注釋及參考文獻：

[1]劉新平．概率論與數理統計[M]．西安：陜西師范大學出版社,2010．

[2]符方健．全概率公式及其應用技巧[J]．高等數學研究,2011,14(2):52-54．

[3]李曉紅．概率樹在全概率公式中的應用[J]．高等數學研究,2008,11(2):60-62．

[4]張麗,閆善文,劉亞東．全概率公式與貝葉斯公式的應用及推廣[J]．牡丹江師范學院學報(自然科學版),2005(1):15-17．

New Teaching Exploration of the Total Probability Formula and the Bayes Formula

REN Fang-ling，LIU Rui
（College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an,Shaanxi 716000）

The total probability formula and the bayes formula are the key and difficult points in probability teaching.The general teaching method is that the contents of the formulas are given directly,then used mechanically, It is difficult for students to accept and understand the connotation of the formulas.A new teaching method is adopted by the author combining classroom practice,giving the application background in combination with examples，leading the students to understand the connotation of the formulas,using the probability tree graph method wonderfully to solve the formula,so that the method can simplify the thinking process and make us study for the purpose of application.and has achieved a very good teaching result.

the total probability formula;the bayes formula，teaching research;probability tree graph

O211．1

A

1673-1891（2015）01-0014-03

2014-10-15

延安大學教學改革研究項目:“三驅”教學法在大學數學教學中的應用研究（項目編號：YDJG14-10）。

任芳玲(1984-),女,陜西富縣人,講師,碩士,主要從事概率統計和金融數學研究。