用于求解Poisson方程的格子Boltzmann模型

王博宇,閆廣武

(吉林大學 數學學院,長春 130012)

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用于求解Poisson方程的格子Boltzmann模型

王博宇,閆廣武

(吉林大學 數學學院,長春 130012)

提出一個求解Poisson方程的格子Boltzmann模型.通過使用Chapman-Enskog展開和多尺度展開得到了在不同時間尺度下的系列偏微分方程及平衡態分布函數和具有三階截斷的誤差修正Poisson方程.用該模型計算Kolmogorov流和Green-Taylor渦流,并與解析解進行比較,計算結果表明,數值結果與經典解析結果基本相符.

格子Boltzmann模型；Poisson方程；Kolmogorov流

0 引 言

格子Boltzmann方法(LBM)目前已經發展成為用于計算流體動力學(CFD)的可選擇性方法[1-2].LBM可用于模擬單組分水動力學問題,包括懸浮微粒的多組分流體問題、磁流體力學、反應擴散系統、多孔介質流動問題及其他復雜系統.此外,格子Boltzmann模型廣泛應用于模擬線性和非線性偏微分方程,如波動方程[3]、Burgers方程[4]、KDV方程[5]、非線性Sch?dinger方程[6]、Poisson方程[7]和復Ginzburg-Landau方程[8]等.

本文提出一種基于格子Boltzmann模型處理Poisson方程的新數值方法.其中Poisson方程為

(1)

在應用LBM求解方程(1)時,有兩種選擇:1)使用一種與時間無關的空間多尺度技術恢復該方程；2)使用時間多尺度技術恢復該Poisson方程.本文選用第二種方法.引入方程：

(2)

其中u(x,t)滿足

(3)

則當t→∞時,方程(2)的解恰好是方程(1)的解.

目前,模擬Poisson方程的方法主要有有限差分法、有限單元法以及最小二乘法等[9-11].新的求解技術有分辨算法和預調節技術[12-13]、Trefftz方法[14]、平面波方法[15]、非協調Galerkin方法[16]、最小二乘法[17]和無網格薄板樣條方法[18]等.本文提出一種一維和二維格子Boltzmann模型,并給出了數值算例.

1 格子Boltzmann模型

1.1不同時間尺度下的系列偏微分方程

定義fα(x,t)為在t時刻位于x處的單粒子分布函數.考慮一維或二維格子Boltzmann模型,在該模型中,一維或二維格子上具有b+1個離散速度,除靜止粒子外,其他粒子沿路徑移動到其他相鄰格點上.如果考慮粒子到達某一個格點時發生了粒子間的碰撞,則格子Boltzmann方程為

其中:Ωα(fα(x,t))稱為碰撞算子；ωα(x,t)表示附加項.在標準格子Boltzmann模型中,ωα=0.本文選取

其中:ε為Knudsen數;φα為獨立于α的函數.一種簡單碰撞算子是選取一個線性形式的具有弛豫時間τ的算符：

(7)

Knudsen數ε定義為ε=l/L,其中:l是粒子自由程;L是特征長度,可以被選為時間步長Δt.因此,格子Boltzmann方程(4)可寫為

方程(8)中,Knudsen數ε被假設為小量,故可在小Knudsen數假設下進行Chapman-Enskog展開：

(9)

t0,t1,t2表示不同的時間尺度,定義為

(10)

及

(11)

因此,可得一系列偏微分方程：

(12)

(13)

(14)

(15)

方程(12)～(15)又稱為不同時間尺度下的系列偏微分方程,它適用于一維、二維及三維情形,其中3個多項式系數與弛豫時間τ有關:

(16)

(17)

(18)

式(16)～(18)為第二～第四個Chapman多項式,與文獻[19]結果完全一致.

1.2Poisson方程的恢復

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

特別地,對于一維情形,這些矩函數可記為

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

圖1 計算格子示意圖Fig.1 Diagrammatic sketches of lattice

對于一維模型,考慮5-bit格子.離散化的速度向量為e=(0,c,-c,2c,-2c),其中:α=0,1,2,3,4;c表示速度.格子的示意圖如圖1所示.5-bit格子模型的平衡態分布函數由式(24)～(28)解出,分別為

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

1.3一維Poisson方程的格子Boltzmann模型

一維Poisson方程具有如下形式：

(34)

選取

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

將式(12)+ε×式(13)+ε2×式(14)+ε3×式(15),并對α求和,可得：

如果選取(b+1)εφ=μ(ku-g),則修正后的一維Poisson方程為

方程(41)中,E2和E3由下式確定：

(42)

(43)

1.4二維Poisson方程

二維Poisson方程具有如下形式：

使用如圖1(B)所示的二維格子,則粒子速度向量為

eα={(0,0),(c,0),(0,c),(-c,0),(0,-c),(2c,0),(0,2c),(-2c,0),(0,-2c)},α=0,1,…,8.

假設各階矩為式(35)及

(45)

(46)

(47)

(48)

則平衡態分布函數記為

(49)

(51)

將式(12)+ε×式(13)+ε2×式(14)+ε3×式(15)并對α求和,得

如果選取(b+1)εφα=μ(ku-g)作為式(51)的源項,則修正后的二維Poisson方程為

其中:E2為式(42);

(54)

因此,可得具有三階截斷誤差精度的Poisson方程：

(55)

2 數值算例

下面應用格子Boltzmann方法模擬一維和二維Poisson方程.

例1考慮Kolmogorov流:

(56)

邊界條件為

如果u獨立于y,則方程具有解析解：

(58)

其數值計算結果如圖2和圖3所示.其中:圖2(A)是LBM計算結果；圖2(B)是解析解；圖3(A)為LBM結果與解析解在y=0.2π處的比較；圖3(B)為y=0.2π處的絕對誤差曲線；圖3(C)為lg Errmax對lgε在y=0.2π處的無窮模曲線.

參數A0=1.0,c=168.0,μ=1.0,λ=c2;網格數M=101,Δ x=π/M=π/101,Δ t=ε=Δ x/c;迭代步數10 000.

參數c=168.0,μ=1.0,λ=0.43c2;網格數M=101×101,Δ x=Δ y=π/M=π/101,Δ t=ε=Δ x/c=Δ y/c.

例2考慮Green-Taylor渦流,其中流函數滿足Poisson方程：

2u(x,y)+8π2u(x,y)=0, 0≤x≤1, 0≤y≤1;

(59)

邊界條件為

(60)

方程(59)具有解析解：

(61)

其解析解和數值解如圖4所示.其中圖4(A)和圖4(B)分別為LBM數值解和解析解的表面圖.由圖4可見,LBM數值解與經典解析結果基本吻合.圖5為絕對誤差最大值Err=|uN-uA|和Knudsen數ε的關系曲線.由圖5可見,LBM數值解的精度與網格密度成正比,這與模型的選取有關.

參數A0=1.0,c=168.0,μ=1.0,λ=c2;格子規模M=101×101,Δ x=Δ y=π/M=π/101,Δ t=ε=Δ x/c=Δ y/c;迭代步數為10 000.

參數c=168.0,A0=1.0,μ=1.0,λ=0.43c2.

綜上,本文提出了求解Poisson方程具有高階精度的格子Boltzmann模型.通過使用Chapman-Enskog展開和多尺度展開技術得到了系列偏微分方程及平衡態分布函數的高階矩和修正后的具有三階截斷誤差的Poisson方程;給出了LBM數值解與Kolmogorov流和Green-Taylor渦流精確解的比較,結果表明,數值結果與經典解析解基本吻合.

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(責任編輯：趙立芹)

LatticeBoltzmannModelforPoissonEquation

WANG Boyu,YAN Guangwu

(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

A lattice Boltzmann model for the Poisson equation was proposed.By means of the Chapman-Enskog expansion and the multi-scale time expansion,a series of partial differential equations in different time scales was obtained.Moreover,the equilibrium distribution functions and the modified partial differential equation of the Poisson equation with the third-order truncation error were obtained.In numerical examples,the Kolmogorov flow and Green-Taylor vortex flow were simulated,and the comparison between numerical results of the lattice Boltzmann models and exact solutions were given.The numerical results are acceptable.

lattice Boltzmann model;Poisson equation;Kolmogorov flow

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.11

2014-09-29.

王博宇(1992—),男,漢族,碩士研究生,從事流體力學與復雜系統數值模擬的研究,E-mail:bywang14@mails.jlu.edu.cn.通信作者：閆廣武(1964—),男,漢族,博士,教授,博士生導師,從事復雜系統數值模擬的研究,E-mail:yangw_jlu@126.com.

國家自然科學基金(批準號：11272133).

O351.2

：A

：1671-5489(2015)03-0407-07