二維多洞穴電磁散射問題的快速算法

茹 靜,馬富明

(1.吉林化工學院 理學院,吉林 吉林 132022;2.吉林大學 數學研究所,長春 130012)

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二維多洞穴電磁散射問題的快速算法

茹 靜1,2,馬富明2

(1.吉林化工學院 理學院,吉林 吉林 132022;2.吉林大學 數學研究所,長春 130012)

針對無界域上具有矩形結構多洞穴電磁散射問題的數值計算提出一種快速算法,該算法可快速計算尺寸較大及高波數的洞穴散射問題.數值算例驗證了方法的有效性.

散射問題;Helmholtz方程;Fourier級數

洞穴散射問題通常指由于平面局部凹陷而產生的散射現象,在軍事領域,尤其是飛機設計中應用廣泛.由于飛機的進氣道、尾噴管雷達艙等均可視為洞穴結構,而這種結構會對入射場產生較強的散射,因此也是雷達探測的主要對象,目前洞穴散射問題的研究和計算已得到廣泛關注.從數學角度研究洞穴散射問題,通常假設洞穴開口與無限地平面一致,從而簡化洞穴外部區域的模型.Ammari等[1]對洞穴內部可以是非均勻介質的洞穴散射問題進行了研究,給出了其解的存在性和唯一性結果.目前已有很多方法用于研究洞穴散射問題,如有限元方法[2-5]、邊界元方法[6]、雜交有限元方法[7-8]以及模態匹配法[9-10]等.本文考慮一類無界域上洞穴形狀為矩形的多洞穴散射問題,這類問題有實際應用背景,但目前關于其計算方法的研究不多,Li等[11]討論了此類問題.本文采用模態匹配法進行數值計算,該算法具有精度好、效率高、可處理高波數情況的優點.

1 數學模型

設平面波ui(x,y)=ei(αx-βy)由洞穴上方入射,其中α=k0sinθ,β=k0cosθ,k0是波數,θ∈(-π/2,π/2)是入射角.設u為Ω中的全場,記u|Ωj=uj(j=0,1,2).TM情形下洞穴散射問題可描述為：給定平面入射波ui,求解全場u,使得u滿足Helmholtz方程

圖1 開洞穴Fig.1 Open cavity

(1)

當(x,y)∈Ω0時,全場u0(x,y)=ui(x,y)+ur(x,y)+us(x,y),其中:ur=-ei(αx+βy)為反射場;us為散射場,us滿足輻射條件:

(2)

當(x,y)∈Ωj(j=0,1,2)時,全場uj滿足邊界條件:

(3)

其中Γj=(aj,bj)×{0},j=1,2.

在洞穴開口處,即(x,y)∈Γ1∪Γ2時,全場u滿足連續性條件:

(4)

(5)

2 數值方法

對全場u的求解可分為無界域Ω0和有界域Ω1∪Ω2兩部分.當(x,y)∈Ωj(j=1,2)時,由方程(1)和邊界條件(3),用分離變量法易求出全場uj(j=1,2)的表達式如下：

(6)

(7)

根據連續性條件(4),

(8)

將式(8)代入式(7),可得

(9)

進而可計算

記M(ξ)=-γ0(ξ),特別地,

再根據連續性條件(5),有

結合式(4),整理可得方程

(10)

(11)

由式(6)知：

(12)

(13)

將式(12),(13)代入式(10)得

(14)

其中:

(15)

(16)

其中:

(17)

將式(16)與式(17)的求和做有限項截斷,即取充分大的N.記

并令

(18)

下面給出計算散射問題(1)的模態匹配法,步驟如下：

2)解方程(16)和(17)構成的方程組(18);

3)計算u1(x,y),u2(x,y);

4)計算us(x,y),最后求出u0(x,y).

3 數值實驗

采用表1所列的3組數據進行數值實驗,洞穴形狀如圖1所示,選取不同的截斷數N、波數、入射角及洞穴的尺寸進行數值實驗,實驗結果如圖2～圖4所示.其中l1,l3,l2分別表示兩個洞穴開口的尺寸和兩洞穴間的距離.圖2～圖4分別表示表1中3組數據取不同截斷數N時對應的|u0(x,0)|在洞穴開口Γ1∪Γ2處的取值.圖中坐標系的坐標原點取為洞穴開口Γ1的左端點,橫坐標表示洞穴開口的尺寸,縱坐標表示開口處|u0(x,0)|的值.

表1 入射角與洞穴尺寸Table 1 Incident angles and open cavity sizes

3組數值實驗中,第一組數據截斷數N分別取不同的數值,當N取很小的數20和40時,計算結果就很好了,與有限元方法相比計算量小很多,速度也較快.第二組和第三組數據分別計算了洞穴開口尺寸很大及波數k的取值很大的情況,這兩種情況很多傳統算法都處理不了,本文的計算結果較好.

圖2 第一組數據對應的|u0(x,0)|Fig.2 |u0(x,0)| of the first data

圖3 第二組數據對應的|u0(x,0)|Fig.3 |u0(x,0)| of the second data

[1] Ammari H,BAO Gang,Wood A W.Analysis of the Electromagnetic Scattering from a Cavity [J].Japan J Indust Appl Math,2002,19(2):301-310.

[2] ZHANG Deyue,MA Fuming,DONG Heping.A Finite Element Method with Rectangular Perfectly Matched Layers for the Scattering from Cavities [J].J Comput Math,2009,27(6):812-834.

[3] ZHANG Deyue,MA Fuming.The Two-Dimensional Electromagnetic Scattering from Periodic Chiral Structures and Its Finite Element Approximation [J].Northeast Math J,2004,20(2):236-252.

[4] LI Huiyuan,MA Heping,SUN Weiwei.Legendre Spectral Galerkin Method for Electromagnetic Scattering from Large Cavities [J].SIAM J Numer Anal,2013,51(1):353-376.

[5] BAO Gang,SUN Weiwei.A Fast Algorithm for the Electromagnetic Scattering from a Large Cavity [J].SIAM J Sci Comput,2005,27(2):553-574.

[6] Wood W D,Jr,Wood A W.Development and Numerical Solution of Integral Equations for Electromegnetic Scattering from a Trough in a Ground Plane [J].IEEE Trans Antennas and Propagation,1999,47(8):1318-1322.

[7] XIANG Zhonghui,Chia T T.A Hybrid BEM/WTM Approach for Analysis of the EM Scattering from Large Open-Ended Cavities [J].IEEE Trans Antennas and Propagation,2001,49(2):165-173.

[8] HUANG Junqi,Wood A W,Havrilla M J.A Hybrid Finite Element-Laplace Transform Method for the Analysis of Transient Electromagnetic Scattering by an Over-Filled Cavity in the Ground Plane [J].Commun Comput Phys,2009,5(1):126-141.

[9] BAO Gang,ZHANG Weiwei.An Improved Mode-Matching Method for Large Cavities [J].IEEE Antennas Wirel Propag Lett,2005,4:393-396.

[10] BAO Gang,GAO Jinglu,LIN Junshan,et al.Mode Matching for the Electromagnetic Scattering from Three-Dimensional Large Cavities [J].IEEE Trans Antennas and Propagation,2012,60(4):2004-2010.

[11] LI Peijun,Wood A.A Two-Dimensional Helmhotlz Equation Solution for the Multiple Cavity Scattering Problem [J].J Comput Phys,2013,240:100-120.

(責任編輯：趙立芹)

FastAlgorithmforTwo-DimensionalMultipleCavityScatteringProblem

RU Jing1,2,MA Fuming2

(1.CollegeofSciences,JilinUniversityofChemicalTechnology,Jilin132022,JilinProvince,China;2.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

A fast algorithm was proposed for the numerical computation of the electromagnetic scattering by multiple rectangular cavities embedded on an infinite ground plane,the algorithm can be used to compute the scattering problems with large cavities and high wave numbers.The numerical experiments confirm the effectiveness of our method.

scattering problem;Helmholtz equation;Fourier series

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.13

2014-09-30.

茹 靜(1978—),女,漢族,博士研究生,講師,從事數學物理反問題的研究,E-mail:rujing10@mails.jlu.edu.cn.

國家自然科學基金(批準號：11371172).

O241.82

：A

：1671-5489(2014)03-0419-05