正倒向隨機比例系統的隨機最大值原理

邵 殿 國

(1.吉林大學 數學研究所,長春 130012；2.東北電力大學 理學院,吉林 吉林 132012)

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研究快報

正倒向隨機比例系統的隨機最大值原理

邵 殿 國1,2

(1.吉林大學 數學研究所,長春 130012；2.東北電力大學 理學院,吉林 吉林 132012)

利用經典變分方法、對偶方法和可料倒向隨機微分方程,考慮狀態方程為正倒向隨機比例方程的隨機最優控制問題,得到了該問題的隨機最大值原理.

隨機控制；隨機最大值原理；正倒向隨機比例方程；變分法

目前,關于隨機控制系統最大值原理的研究已取得許多結果[1-10].隨機延遲微分方程(隨機時滯微分方程)在科學與工業的很多領域內應用廣泛.近年來,隨機比例方程：

(1)

這種特殊的隨機延遲微分方程也受到廣泛關注[5].

Bismut[1]通過引入線性倒向隨機微分方程,給出了顯式解.Pardoux等[6]給出了更一般形式的倒向隨機微分方程,并證明了其解的存在唯一性.Peng等[7]得到了一類新型倒向隨機微分方程：可料倒向隨機微分方程.該隨機微分方程與隨機延遲微分方程之間存在對偶關系,可利用這種對偶關系得到隨機延遲系統的隨機最大值原理.當考慮金融領域大客戶投資問題時,即涉及利用正倒向隨機微分方程模擬投資行為.本文研究正倒向隨機比例系統的隨機最大值原理.

令(Ω,F,P,{Ft}t≥0)是一個完備的概率空間,其中Ft是d-維布朗運動{Bt}t≥0生成的信息流.給定T>0,|·|表示m中的范數,〈·,·〉表示內積.考慮正倒向隨機比例系統：

(2)

其中:f:[0,T]×n×n×U→n;σ:[0,T]×n×n×U→n×d;g:[0,T]×n×n×m×m×d×U→m;h:n→m.令U是k的非空凸子集.記Uab={v(·)∈U|v(t)}是Ft-適應的,且∞.Uab的元素稱為容許控制.ξ(·)和η(·)分別是x(·)和v(·)的初始路徑,且<+∞.為方便,記x(qt)為xq.

假設：

(H1)f,σ,g,h關于(x,xq,y,z,v)線性增長,f,σ,g,h在(x,xq,y,z)內連續可微、偏導數有界.f,g在v上連續,偏導數在(x,xq,y,z,v)內連續.

(H2)l在(x,xq,y,v)內連續可微、偏導數有界；h1在x上連續可微、導數有界；h2在y上連續可微、導數有界.

由假設(H1),對于任意的v(·)∈Uab,系統(2)有唯一解(x(·),y(·),z(·)).

定義效用泛函：

最優控制問題就是找最優控制v(·),使效用泛函J(v(·))取最小值.對系統(2)求變分,得到變分方程：

其中:fx=fx(t,x(t),x(qt),v(t));fxq=fxq(t,x(t),x(qt),v(t));σx=σx(t,x(t),x(qt),v(t));σxq=σxq(t,x(t),x(qt),v(t));fv=fv(t,x(t),x(qt),v(t)).對g取相同記號.

定理1假設(H1),(H2)成立,(x*,y*,v*)是控制問題的最優對,則可得可料正倒向隨機比例系統：

系統(3)的解(p(·),A(·))稱為伴隨過程.進一步可得

證明：對效用泛函求變分,得

(4)

其中v=t/q.

dA(t)=-[gyA(t)+F]dt+gz(t)A(t)dB(t).

(5)

(6)

取C=lx,D=lxq,F=ly,消除式(4)中x1和y1的變分項.將式(5),(6)代入式(4)中,有

(7)

由式(7)得Hamilton函數：

H=l(t,x,xq,y,v)+〈p,f(t,x,xq,v)〉+〈A,g(t,x,xq,y,z,v)〉+〈k,σ(t,x,xq,v)〉,

相應的伴隨方程為式(3).

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(責任編輯：趙立芹)

StochasticMaximumPrincipleofForward-BackwardStochasticPantographSystems

SHAO Dianguo1,2

(1.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China;2.CollegeofScience,NortheastDianliUniversity,Jilin132012,JilinProvince,China)

We made an investigation into the stochastic optimal control problem of the stochastic delayed system described by forward-backward stochastic pantograph equations with the aid of classical variational approach,duality method and the anticipated backward stochastic differential equations,obtaining the maximum principle for this problem.

stochastic control；stochastic maximum principle；forward-backward stochastic pantograph equation；variational approach

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.18

2015-03-09.< class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2015-03-25.

邵殿國(1976—),男,漢族,博士研究生,講師,從事隨機動力系統的研究,E-mail：shaodgnedu@163.com.

國家自然科學基金(批準號：11401089)和吉林省科技發展計劃項目(批準號：20130101065JC).

http://www.cnki.net/kcms/detail/22.1340.O.20150325.1812.001.html.

O211.63

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：1671-5489(2015)03-0451-03