分塊相鄰隨機矩陣最大特征值的極限性質

孫曉祥,杜宇靜

(吉林農業科技學院 文理學院,吉林 吉林 132101)

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研究簡報

分塊相鄰隨機矩陣最大特征值的極限性質

孫曉祥,杜宇靜

(吉林農業科技學院 文理學院,吉林 吉林 132101)

利用隨機矩陣的矩方法和譜分析理論研究分塊相鄰隨機矩陣最大特征值的極限,在一定矩條件假設下,得到了該矩陣最大特征值上極限的界.

分塊矩陣；相鄰矩陣；隨機矩陣；最大特征值

0 引言與主要結果

分塊矩陣在物理、圖論和無線電通訊等領域應用廣泛,目前已有許多研究成果[1-13].通常固定的分塊結構是預先給定的,而子塊一般假設是Wigner矩陣、Toeplitz矩陣和Hankel矩陣.文獻[1-2]研究了當子塊為Wigner矩陣時分塊矩陣的性質;文獻[3-6]研究了當分塊結構為Toepliz矩陣時分塊矩陣的相關性質.當矩陣元素為高斯分布時,Far等[12]利用運算值的自由概率定理建立了這種分塊矩陣極限譜分布的性質.本文利用矩方法在矩陣元素滿足一定的矩條件假設下,考慮子塊為矩形矩陣情況下分塊相鄰隨機矩陣最大特征值的極限性質.

定義n×n矩陣如下:

定理1在假設(H1)～(H3)下,有

(1)

1 定理1的證明

用矩方法證明定理1.首先,將矩陣元素截斷,有如下命題.

命題1如果不等式(1)在下列條件下成立,則其在定理1的假設下也成立:

對任意的1≤r

λ1(A+B)≤λ1(A)+λ1(B).

因此,

注意到

根據Markov不等式,對任意的ε>0,有

(2)

因此可以假設Mn的對角線元素全為零.選擇θn=ηn/2,令

由Markov不等式,有

(3)

從而有

(4)

綜上有

(5)

易驗證:

此外,

因此

選擇一列偶數k=2[(logn)2],這里[(logn)2]表示(logn)2的整數部分.

(6)

由命題1的假設條件2)和3),可斷定G(r,t)的每項不超過σ2rbt(ηnn1/2)k-2r-t.于是

(7)

經過計算可知

(8)

對式(8)最右端應用如下不等式(取a=t+1):

可知式(7)最右端有上界:

由于ηn→0,故有

從而

(9)

又因為k/logn→∞,式(9)是絕對可和的,所以利用Borel-Cantelli引理可知定理1的結論成立.

[1] Oraby T.The Spectral Laws of Hermitian Block-Matrices with Large Random Blocks [J].Electron Commun Probab,2007,12:465-476.

[2] Banerjee S,Bose A.Noncrossing Partitions,Catalan Words and the Semicircular Law [J].J Theoret Probab,2013,26(2):386-409.

[3] Gazzah H,Regalia P A,Delmas J P.Asymptotic Eigenvalue Distribution of Block Toeplitz Matrices and Application to Blind SIMO Channel Identification [J].IEEE Trans Inform Theory,2001,47(3):1243-1251.

[4] LI Yiting,LIU Dangzheng,WANG Zhengdong.Limit Distributions of Eigenvalues for Random Block Toeplitz and Hankel Matrices [J].J Theoret Probab,2011,24(4):1063-1086.

[5] Basu R,Bose A,Ganguly S,et al.Limiting Spectral Distribution of Block Matrices with Toeplitz Block Structure [J].Stat Probabil Lett,2012,82(7):1430-1438.

[6] Far R R,Oraby T,Bryc W,et al.On Slow-Fading MIMO Systems with Nonseparable Correlation [J].IEEE Trans Inform Theory,2008,54(2):544-553.

[7] Girko V L.Random Block Matrix Density and SS-Law [J].Random Oper Stoch Equ,2000,8(2):189-194.

[8] Müller R R.On the Asymptotic Eigenvalue Distribution of Concatenated Vector-Valued Fading Channels [J].IEEE Trans Inf Theory,2002,48(7):2086-2091.

[9] Bolla M.Distribution of the Eigenvalues of Random Block-Matrices [J].Lin Alg Appl,2004,377:219-240.

[10] Cottatellucci L,Müller R R.CDMA Systems with Correlated Spatial Diversity:A Generalized Resource Pooling Result [J].IEEE Trans Inf Theory,2007,53(3):1116-1136.

[11] Dette H,Reuther B.Random Block Matrices and Matrix Orthogonal Polynomials [J].J Theoret Probab,2010,23(2):378-400.

[12] Far R R,Oraby T,Bryc W,et al.Spectra of Large Block Matrices [J/OL].2006-10-09.http://xxx.lanl.gov/abs/CSIT/0610045.

[13] BAI Zhidong,Silverstein J W.Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices [M].New York:Springer-Verlag,2010:100-101.

(責任編輯：趙立芹)

LimitPropertiesoftheBlockRandomAdjacencyMatrix

SUN Xiaoxiang,DU Yujing

(SchoolofArtandScience,JilinAgriculturalScienceandTechnologyCollege,Jilin132101,JilinProvince,China)

We studied the limit of the largest eigenvalue of the block adjacency matrix using the moment method and spectral theory in random matrix theory.Under some moments assumptions,we obtained a bound of the super limit of the largest eigenvalue.

block matrix;adjacency matrix;random matrix;largest eigenvalue

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.21

2014-10-13.

孫曉祥(1967—),男,滿族,碩士,副教授,從事概率論與數理統計的研究,E-mail:jlnkusxx@163.com.通信作者：杜宇靜(1969—),女,漢族,博士,教授,從事概率論與數理統計的研究,E-mail:duyj219@163.com.

國家自然科學基金(批準號:11471068).

O211.4

：A

：1671-5489(2015)03-0461-04