隨機阻尼Zakharov系統(tǒng)的隨機吸引子

趙 昕，白 杰

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院,長春 130118；2.東北師范大學(xué)人文學(xué)院 國際商務(wù)學(xué)院，長春 130117)

?

研究簡報

隨機阻尼Zakharov系統(tǒng)的隨機吸引子

趙 昕1，白 杰2

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院,長春 130118；2.東北師范大學(xué)人文學(xué)院 國際商務(wù)學(xué)院，長春 130117)

考慮隨機阻尼Zakharov系統(tǒng),在帶有小隨機項產(chǎn)生攝動的情形下,應(yīng)用尾部估計方法得到了隨機動力系統(tǒng)的漸近緊性,并證明了n上無界域中隨機吸引子的存在性.

Zakharov系統(tǒng);隨機吸引子;尾部估計法

目前,關(guān)于隨機偏微分方程隨機吸引子的存在性研究備受關(guān)注[1-3].文獻[4]首先將吸引子對應(yīng)的泛化(隨機吸引子)引入到隨機偏微分方程中;文獻[5]研究了在有界域上一些隨機微分方程隨機吸引子的存在性;文獻[6]介紹了一種新方法研究在無界域上隨機擴散方程的隨機吸引子,通過證明漸近緊性,進而得到了L2(n)上的隨機吸引子;文獻[7]用這種方法研究了Benjamin-Bona-Mahony方程隨機吸引子的存在性.本文考慮如下帶有ε-小隨機項產(chǎn)生攝動的Zakharov系統(tǒng):

(1)

其中:E表示電子場;n表示電子密度.初始條件為

E(x,0)=E0(x),n(x,0)=n0(x),Et(x,0)=E1(x),nt(x,0)=n1(x),x∈n.

設(shè)(H,‖·‖H)為Hilbert空間,(Ω,F,P)為概率測度空間,φ(t,ω,·)是測度空間(Ω,F,P,(θt)t∈)中的隨機動力系統(tǒng).

定義1設(shè) D為由H中隨機子集構(gòu)成的集合,{K(ω)}ω∈Ω∈D.若在P測度意義下,對于幾乎所有的ω∈Ω,都存在tB(ω)>0,使得φ(t,θ-tω,B(θ-tω))?K(ω),?B∈D,?t≥tB(ω),則稱隨機集合{K(ω)}ω∈Ω為 D中的吸引集.

定義2設(shè) D為由H中隨機子集構(gòu)成的集合,{A(ω)}ω∈Ω∈D.如果對P測度意義下幾乎所有的ω∈Ω,均滿足下列條件,則稱隨機集合{A(ω)}ω∈Ω是隨機動力系統(tǒng)φ的 D-隨機吸引子:

1)A(ω)是緊集,且ω→d(x,A(ω))均可測,?x∈H;

2)A(ω)是不變集,即φ(t,ω,A(ω))=A(θtω),?t≥0;

引理1[8]設(shè) D為由H中隨機子集閉包構(gòu)成的集合,φ是H上測度空間(Ω,F,P,(θt)t∈)中的隨機動力系統(tǒng)φ(t,ω,·).若φ是H上 D-拉回漸近緊的連續(xù)隨機動力系統(tǒng),且{K(ω)}ω∈Ω是φ的閉隨機吸引集,則φ存在唯一的 D-隨機吸引子且A是H中的緊集.

設(shè)方程(1)的解為(E,n),對引理1進行如下推廣:

證明:實際上,由于條件1)保證了φt有界吸引集{K(ω)}ω∈Ω∈D的存在,故根據(jù)引理1,應(yīng)用Ascoli-Arzela定理和尾部估計方法,可得 D-拉回漸近集的緊性.

為應(yīng)用定理1,需分別驗證系統(tǒng)(1)滿足定理1中條件1),2),類似文獻[9]的方法,可得：

引理2[9]對于P測度意義下幾乎所有的ω∈Ω,存在{K(ω)}ω∈Ω∈D,使得{K(ω)}ω∈Ω是由系統(tǒng)(1)生成的聯(lián)系隨機動力系統(tǒng)φt的一個隨機集合.

引理3[9]若系統(tǒng)(1)的解(E,n)∈K(ω),則對于任意的ε>0,以及P測度意義下幾乎所有的ω∈Ω,都存在T(ε,ω)>0和N(ε,ω)>0,使得(E,n)滿足:

根據(jù)引理2和引理3,可得定理1所需的條件,進而可證明隨機Zakharov系統(tǒng)(1)隨機吸引子的存在性.

[1] Arnold L.Random Dynamical Systems [M].Berlin:Springer,1995.

[2] YAN Weiping,LI Yong,JI Shuguan.Random Attractors for First Order Stochastic Retarded Lattice Dynamical Systems [J].Journal of Mathematical Physics,2010,51(3):032702.

[3] Hani Z,Pusateri F,Shatah J.Scattering for the Zakharov System in 3 Dimensions [J].Communications in Mathematical Physics,2013,322(3):731-753.

[4] Crauel H,Flandoli F.Attractors for Random Dynamical Systems [J].Probability Theory and Related Fields,1994,100(3):365-393.

[5] SHEN Zhongwei,ZHOU Shengfan,SHEN Wenxian.One-Dimensional Random Attractor and Rotation Number of the Stochastic Damped Sine-Gordon Equation [J].Journal of Differential Equations,2010,248(6):1432-1457.

[6] Bates P W,LU Kening,WANG Bixiang.Random Attractors for Stochastic Reaction-Diffusion Equations on Unbounded Domains [J].Journal of Differential Equations,2009,246(2):845-869.

[7] WANG Bixiang.Random Attractors for the Stochastic Benjamin-Bona-Mahony Equation on Unbounded Domains [J].Journal of Differential Equations,2009,246(6):2506-2537.

[8] Bates P W,Lisei H,LU Kening.Attractors for Stochastic Lattice Dynamical Systems [J].Stochastics and Dynamics,2006,6(1):1-21.

[9] 許璐,閆衛(wèi)平.隨機時滯FitzHugh-Nagumo格點系統(tǒng)隨機吸引子的存在性 [J].吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2011,49(2):235-236.(XU Lu,YAN Weiping.Existence of Random Attactors for the Stochastic FitzHugh-Nagumo Systems with Delay on Infinite Lattice [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2011,49(2):235-236.)

(責(zé)任編輯：趙立芹)

RandomAttractorofStochasticDampedZakharovSystem

ZHAO Xin1,BAI Jie2

(1.CollegeofInformationTechnology,JilinAgriculturalUniversity,Changchun130118,China;2.SchoolofInternationalBusiness,CollegeofHumanitiesandSciencesofNortheastNormalUniversity,Changchun130117,China)

The authors dealt with the random attractor for the stochastic Zakharov system perturbed by a small random item.Based on the tail-estimate method,the asymptotic compactness of random dynamical systems was testified and the existence of a random compact invariant set was proved,which is a random attractor on unbounded domain inn.

Zakharov system;random attractors;tail-estimates method

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.22

2014-12-08.

趙 昕(1974—),男,漢族,博士,副教授,從事微分方程與動力系統(tǒng)的研究,E-mail:jlndzx@sina.com.通信作者：白 杰(1979—),女,錫伯族,碩士,講師,從事常微分方程的研究,E-mail:794773975@qq.com.

吉林省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:201215184).

O177.91

：A

：1671-5489(2015)03-0465-02