一類Lévy噪聲驅(qū)動倒向隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)最大值原理

賈秀利,關(guān)麗紅,閆 龍

(1.吉林工商學(xué)院 基礎(chǔ)部,長春 130507;2.長春大學(xué) 理學(xué)院,長春 130022;3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所,長春 130012)

?

研究簡報(bào)

一類Lévy噪聲驅(qū)動倒向隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)最大值原理

賈秀利1,關(guān)麗紅2,閆 龍3

(1.吉林工商學(xué)院 基礎(chǔ)部,長春 130507;2.長春大學(xué) 理學(xué)院,長春 130022;3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所,長春 130012)

利用凸變分法和對偶技術(shù),研究一類Lévy噪聲驅(qū)動的倒向隨機(jī)發(fā)展型偏微分方程的最優(yōu)控制問題,得到了該問題的隨機(jī)最大值原理.

Lévy噪聲;倒向隨機(jī)偏微分方程;隨機(jī)最大值原理

0 引 言

Lévy噪聲驅(qū)動的隨機(jī)偏微分方程可用于模擬金融、物理和生物等現(xiàn)象[1-5].文獻(xiàn)[6-7]研究了倒向隨機(jī)偏微分方程解的性質(zhì);文獻(xiàn)[8]研究了Lévy噪聲驅(qū)動的倒向隨機(jī)偏微分方程;文獻(xiàn)[8-9]研究了隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)最優(yōu)控制問題;文獻(xiàn)[10]研究了倒向隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)最優(yōu)控制問題.

本文考慮下述Lévy噪聲驅(qū)動的倒向隨機(jī)偏微分方程的隨機(jī)最優(yōu)控制問題:

(1)

其效用泛函為

(2)

1 預(yù)備知識

生成的濾流,(Z,Z )是可測空間,μ是其上的σ-有限測度,ζ∈Z.令X是一個Hilbert空間,其范數(shù)為‖·‖X.記MF(0,T;X)為所有Ft-適應(yīng)的X-值過程f={f(t,ω),(t,ω)∈[0,T]×Ω}的集合,使得

記L2(Ω,F,P;X)為所有X-值(Ω,F,P)上ξ隨機(jī)變量的集合,使得

令V和H是兩個可分的Hilbert空間,使得V嵌入到H,并且有關(guān)系:V?H=H*?V*,其中H*和V*分別是H和V的對偶空間.記‖·‖V,‖·‖H,‖·‖V*分別是V,H和V*的范數(shù),〈·,·〉為H的內(nèi)積,〈·,·〉為V和V*之間的對偶數(shù)量積.進(jìn)一步,記L(V,V*)為從V到V*的有界線性變換空間.

對于下述倒向隨機(jī)發(fā)展方程:

(3)

其中A:[0,T]×Ω→L(V,V*),b:[0,T]×Ω×V×H×Z→H,ξ:Ω→H,滿足下述假設(shè)條件:

(H1)(i)終值ξ∈L2(Ω,F,P;H),b(·,0,0,0)∈MF(0,T;H);

(ii)A滿足下述強(qiáng)制性條件:存在常數(shù)α和λ,使得

(iii)A是一致有界的:存在常數(shù)C,使得

在假設(shè)條件(H1)下,倒向隨機(jī)發(fā)展方程(3)存在唯一的適應(yīng)解(Y(·),z(·),γ(·,·)).

2 隨機(jī)最大值原理

令U是可分的Hilbert空間,Uad是U的非空閉凸子集.

定義1如果u(t)∈Uad,且對于幾乎所有的t∈[0,T],u(·)∈MF(0,T;U),則隨機(jī)過程u(·)稱為可行控制.所有可行域的集合記為A.

假設(shè):

(H2)ξ∈L2(Ω,F,P;H);算子A:[0,T]×Ω→L(V,V*)滿足假設(shè)(H1)中的條件(i),(ii);b:[0,T]×Ω×V×H×Z×Uad→H是可測函數(shù),b(·,0,0,0,0)∈MF(0,T;H);對于所有的(t,ω)∈[0,T]×Ω,b(t,ω,y,z,ζ(·),u)是Gteaux可微的,并且其Gteaux導(dǎo)數(shù)by,bz,bζ是連續(xù)的和一致有界的;

(H3)l:[0,T]×Ω×V×H×Z×Uad→是可測的,對于所有的(t,ω)∈[0,T]×Ω,l(t,ω,y,z,ζ(·),u)是Gteaux可微的,并且其Gteaux導(dǎo)數(shù)ly,lz,lζ是連續(xù)的和一致有界的;h:Ω×V→是可測的,對于所有的(t,ω)∈[0,T]×Ω,h(y)是Gteaux可微的,并且其Gteaux導(dǎo)數(shù)hy是連續(xù)的.

對于給定的可行對(u(·);y(·),z(·),ζ(·,·))(admissible pair,即當(dāng)u是可行控制時,(y(·),z(·),ζ(·,·))是方程(1)對應(yīng)的適應(yīng)解),定義下述相關(guān)的伴隨方程:

(4)

定義Hamiltion函數(shù)H:[0,T]×Ω×V×H×Z×Uad×V→為

H(t,y,z,ζ(·),u,k)=〈k,A(t)y〉+(k,b(t,y,z,ζ(·),u))H+l(t,y,z,ζ(·),u).

伴隨方程(4)可以用Hamiltion系統(tǒng)的形式給出

(5)

證明:令(u(·);y(·),z(·),ζ(·,·))為任意的可行對,則

(6)

方程(1)的變分方程為

令方程(1)的伴隨方程為

再令h′(y(0))=k(0),利用It公式計(jì)算k·y,并將其代入式(6)中,取

D=ly+k(t)·by,E=-(lz+k(t)·bz),F=-(lk+k(t)·bζ),

使得

(7)

[1] Kallianpur G,XIONG Jie.Stochastic Differential Equations in Infinite-Dimensional Spaces [C]//Lecture Notes-Monograph Series,Vol.26.Hayward,CA:Institute of Mathematical Statistics,1995.

[2] Krylov N V,Rozovskiǐ B L.Stochastic Evolution Equations [J].J Sov Math,1981(16):1233-1277.

[3] Albeverio S,WU Jianglun,ZHANG Tusheng.Parabolic SPDEs Driven by Poisson White Noise [J].Stochastic Process Appl,1998,74(1):21-36.

[4] Mueller C.The Heat Equation with Lévy Noise [J].Stochastic Process Appl,1998,74(1):67-82.

[5] Brzezniak Z,LIU Wei,ZHU Jiahui.Strong Solutions for SPDE with Locally Monotone Coefficients Driven by Lévy Noise [J].Nonlinear Anal Real World Appl,2014,17:283-310.

[6] Lü Qi,ZHANG Xu.General Pontryagin-Type Stochastic Maximum Principle and Backward Stochastic Evolution Equations in Infinite Dimensions [M].New York:Springer,2014.

[7] HU Ying,PENG Shige.Adapted Solution of a Backward Semilinear Stochastic Evolution Equations [J].Stoch Anal Appl,1991,9(4):445-459.

[8] ?ksendal B,Proske F,ZHANG Tusheng.Backward Stochastic Partial Differential Equations with Jumps and Application to Optimal Control of Random Jump Fields [J].Stochastics,2005,77(5):381-399.

[9] HU Ying,PENG Shige.Maximum Principle for Semilinear Stochastic Evolution Control Systems [J].Stochastics,1990,33(3/4):159-180.

[10] MENG Qingxin,SHI Peng.Stochastic Optimal Control for Backward Stochastic Partial Differential Systems [J].J Math Anal Appl,2013,402(2):758-771.

(責(zé)任編輯：趙立芹)

StochasticMaximumPrincipleforaClassofBackwardStochasticPartialEquationsDrivenbyLévyNoises

JIA Xiuli1,GUAN Lihong2,YAN Long3

(1.DepartmentofBasicCourse,JilinBusinessandTechnologyCollege,Changchun130507,China;2.CollegeofScience,ChangchunUniversity,Changchun130022,China;3.InstituteofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

Using convex variation method and a duality technique,we studied stochastic optimal control problem for backward stochastic partial differential equations with abstract evolution form driven by Lévy noises,and obtained the maximum principle of this problem.

Lévy noises;backward stochastic partial differential equations;stochastic maximum principle

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.23

2014-12-25.

賈秀利(1973—),女,漢族,碩士,副教授,從事微分方程的研究,E-mail:jiaxiaoyi888@126.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11171130).

O211.63

：A

：1671-5489(2015)03-0467-04