非線性系統隨機振動響應限界極大極小控制

張　巍，應曌中，應祖光

（1.浙江理工大學　經濟管理學院　實驗中心，杭州310018；2.浙江大學　竺可楨學院，杭州310058；3.浙江大學　航空航天學院力學系，杭州310027）

非線性系統隨機振動響應限界極大極小控制

張巍1，應曌中2，應祖光3

（1.浙江理工大學經濟管理學院實驗中心，杭州310018；2.浙江大學竺可楨學院，杭州310058；3.浙江大學航空航天學院力學系，杭州310027）

研究非線性系統隨機振動的限界極大極小最優控制。引入調控變量放大振動峰響應，用高階多項式作為性能指標函數，提高其中峰值占比，建立非線性隨機振動峰響應的極小化最優控制問題方程；應用隨機動態規劃原理建立HJB方程，考慮控制作用的有界性，確定半連續與跳變型極大極小最優控制律；最后通過數值結果，說明該最優控制能夠有效地抑制非線性隨機振動，并調控變量、控制界限、跳變型控制等對于控制效果的影響。

振動與波；最優控制；控制飽和；非線性隨機振動；峰響應降低

振動響應峰值的降低，例如地震等強激勵產生的振動幅值抑制，是工程結構控制的一個重要研究主題，對于提高結構的強度具有重要意義［1-3］。振動最大響應的最小化控制是一個極大極小控制問題［4］。然而，振動響應峰值難以解析地表達，導致最優控制設計的困難，有關研究相對很少。Soong等提出對于響應峰值的近似控制性能指標表達［4］，文［5］發展了響應峰值最優控制的調控策略，并給出理論分析與數值驗證。因實際的控制大小是有限的，需要考慮限界或飽和的最優控制問題，關于參外激系統響應的限界最優控制已有一定研究［6-10］。但非線性隨機振動的限界極大極小（最大響應最小化）控制策略尚有待于發展。

隨機動態規劃原理是確定非線性系統隨機振動最優控制的一個基本理論，響應峰值的極小化可以設計一定的控制性能指標通過縮放調控實現，控制飽和可作為一個約束結合到極大極小設計，其中限界的最優控制包括半連續與跳變情形。本文選用高階多項式作為性能指標函數，引入一個調控變量放大其中大響應；然后基于隨機動態規劃原理建立動態規劃（HJB）方程，結合控制限界約束條件，確定半連續與跳變型極大極小最優控制律；最后通過數值結果說明控制效果。

1　非線性系統隨機振動響應峰值的最優控制問題方程

考慮下列非線性隨機系統

式中X是位移向量，M、C分別是質量與阻尼陣，K0是非線性保守力，F0是高斯白噪聲，U是控制力向量，B0是其位置陣，控制的限界約束為U?［U1，U2］。對于振動峰值控制，引入一個調控變量xc，變換方程（1）并轉化為狀態方程［5］

系統（2）隨機最優控制的目標是極小化下列性能指標式中E［·］是期望算符，tf是控制的終時，R是對稱權參數陣，g（Z）30，ψ是控制終值。對于半連續限界控制，R正定；對于跳變控制，R取零。響應峰值通過變量xc放大，則g取高階多項式將提高指標（4）中峰值的占比，從而使J的極小化增強對于峰值的抑制。關于J切近峰值的分析見文［5］。因此，系統（2）和指標（4）組成一個限界的極大極小控制問題。

2　限界的極大極小半連續與跳變控制律

根據隨機動態規劃原理，建立系統（2）和指標（4）的HJB方程［11］

式中V是值函數，De是白噪聲強度陣。由式（5）左邊第二項泛函極小，并考慮控制U的限界約束條件，可得極大極小控制的最優反饋律。半連續型的限界最優控制律為

式中Ui、U1i、U2i、UVi分別是U、U1、U2、UV的第i個元數，UV=-R-1BT?V/?Z/2。跳變型的限界最優控制律為

將式（6）或（7）代入（5）得到關于V的方程，由此確定最優控制U*的跳變條件。適當選擇高階函數g，可得相應的值函數解，式（6）中的函數UV為

其中α、N是常數，對稱常數陣P由下列Riccati方程確定

式中AL是A的線性化系數陣，S是g的二次型系數陣。控制（6）與（7）都是有界的，前者保留了界限內的連續性控制律，而后者總是達到其界限，故代價也更高，兩者分別是相應極大極小控制問題的最優解。由式（6）或（7）確定最優控制，分別代入（1）可計算系統控制前后的響應，比較控制效果。

3　算例與控制效果

考慮單自由度非線性隨機系統

式中x是位移，m、c、k分別是質量、阻尼與線性剛度，k3是非線性剛度，f0是高斯白噪聲，u是控制力，限界約束為u?［u1，u2］。引入調控變量xc，變換方程（10）為狀態方程（2），對于指標（4），建立HJB方程（5），得到極大極小半連續型最優控制（6）與跳變型最優控制（7），分別代入（10）計算系統控制前后的響應。

設系統（10）的參數m=1 kg，c=1 Nsm-1，k=10 Nm-1，k3=10 Nm-3，u1=-5 N，u2=5 N，取xc=0.5 m，R=1 N-2，S=30 diag［1，4］m-2，α=0.3，N=1。分別按式（6）與（7）確定最優控制，用龍格-庫塔法計算受控與未控系統的位移，并計算相應的響應標準差，結果如圖1—圖5所示。圖1是隨機激勵樣本，圖2展示半連續限界控制前后的位移樣本，其響應峰值與標準差分別降低80.4%、82.0%（控制標準差為3.22），可見該限界極大極小控制達到好的非線性隨機振動抑制效果。圖3表明調控變量的減小（xc=0.1 m）可進一步降低振動位移，此時響應峰值與標準差分別降低85.8%、87.1%。圖4表明控制界限的適當擴大（u2=-u1=10 N）可改善振動控制效果，此時響應峰值與標準差分別降低84.4%、85.2%，但改進是有限度的。圖5展示跳變限界控制前后的位移樣本，其響應峰值與標準差分別降低87.3%、91.8%（控制標準差為5.0），可見在相同條件下跳變型控制效果優于半連續型控制，但控制標準差也更大。因此控制策略需要結合效果與成本綜合確定。

圖2　半連續控制前后位移（xc=0.5，u2=5）

圖3　半連續控制前后位移（xc=0.1，u2=5）

圖4　半連續控制前后位移（xc=0.5，u2=10）

圖5　跳變控制前后位移（u2=5）

4　結語

本文提出非線性系統隨機振動的限界極大極小最優控制策略。通過引入調控變量，放大振動峰響應，用高階多項式作為性能指標函數，并考慮控制作用的有界性，建立非線性隨機振動峰響應的極小化最優限界控制問題方程。應用隨機動態規劃原理建立HJB方程，結合控制限界約束條件，對半連續與跳變型限界控制分別得到兩類非線性隨機振動的極大極小最優控制律。數值結果表明，該最優控制能夠有效地抑制非線性隨機振動，通過減小調控變量可進一步提高控制效果，增大控制界限可有限度地改善控制效果，跳變型控制比半連續型控制更有效，但總控制作用耗費也更高。

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Optimal Bounded Control of Large Random Vibration Responses in Nonlinear Systems

ZHANGWei1，YING Zhao-zhong2，YING Zu-guang3
（1.Laboratory Center，School of Economics and Management，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China；2.Chu Kochen Honors College，Zhejiang University，Hangzhou 310058，China；3.Department of Mechanics，School ofAeronautics andAstronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

The optimal bounded minimum-maximum control for random vibration of nonlinear systems was studied.A variable was employed for rescaling system responses and a high-order power polynomial was used as the cost function of performance index for magnifying large vibration responses.The optimal bounded minimum-maximum control problem for nonlinear random vibration was expressed by a transformed differential equation and a performance index of the system. Then，the HJB equation was derived based on the random dynamical programming principle.The optimal bounded semicontinuous and switching control laws were obtained by solving the equation with the consideration of the control bound. The control effects for different variable values，control bounds，semi-continuous control and switching control were compared one-another.Numerical results show that the proposed control can effectively suppress the nonlinear random vibration.

vibration and wave；optimal control；control saturation；nonlinear random vibration；peak response reduction

O32；TB53

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.010

1006-1355（2015）05-0053-03+59

2015－02－28

國家自然科學基金項目（11432012）；浙江省自然科學基金項目（LY15A020001）

張巍（1965－），女，江蘇南通人，高級工程師，學士，主要從事信息系統與控制研究。

E-mail:zhweihz@zstu.edu.cn