小波去噪中噪聲估計失真判別方法

王　新，王建順

（河南理工大學　電氣工程與自動化學院，河南　焦作454000）

小波去噪中噪聲估計失真判別方法

王新，王建順

（河南理工大學電氣工程與自動化學院，河南焦作454000）

研究小波閾值去噪時存在的噪聲估計失真問題。當采用常見的閾值確定方法對含有較強高頻分量的信號進行小波去噪時，小波分析的頻帶能量泄漏現象會導致噪聲估計失真，從而使小波閾值去噪出現較大的偏差。從小波分解的d1細節層和d2細節層的相關性角度，揭示d2細節層頻帶能量泄漏對噪聲估計影響的規律，提出根據d1、d2細節層的最大相關系數判別噪聲估計失真的方法。最后，給出解決噪聲估計失真的方法。實驗表明，該方法可以很好地判別小波去噪中是否出現噪聲估計失真，可以避免出現去噪后信號有用信息損失嚴重的問題。

聲學；小波去噪；噪聲估計失真；閾值方法；頻帶能量泄漏

小波去噪是一種先進的去噪方法。小波閾值去噪法是小波去噪方法中應用較廣泛的一種方法，其去噪過程包括小波分解、去噪處理和小波重建三大步驟，其中去噪處理過程中的閾值確定方法是小波去噪的關鍵。常見的閾值確定方法有如下四種：長度對數閾值法（即sqtwolog）、基于Stein的無偏似然估計（SURE）閾值法（即rigrsure）、啟發式SURE閾值法（即heursure）和極小極大方差閾值法（即minimaxi）［1，2］。由于閾值確定方法與噪聲估計有著緊密地聯系，所以噪聲估計的準確性是小波去噪的關鍵。

由于噪聲估計一般是以小波分解的最高頻率頻帶（即d1細節層，以下簡稱d1層）的小波系數進行估計的［3］，所以當信號本身存在一定程度的高頻分量時（這些高頻分量不是噪聲信號），將會對噪聲估計產生影響。若有高頻分量處于d1層頻帶，則肯定會對該層的小波系數以及噪聲估計產生顯著的影響。因此，小波去噪時一般都會盡量避免高頻分量處于d1層頻帶。但是，往往會忽視處于最高頻率頻帶的相鄰頻帶（即d2細節層，以下簡稱d2層）的高頻分量對噪聲估計的影響。在實際系統中，因測量條件及其它因素所限，采樣頻率不宜過高，信號可能存在處于d2層的高頻分量的現象。關鍵是處于d2層的高頻分量是否會引起噪聲估計的失真。由于噪聲估計失真通常使噪聲估計遠大于真實值，從而導致信號小波去噪后有用信息損失嚴重，對小波去噪效果有惡劣影響，所以判別噪聲估計是否失真非常重要。小波分析存在頻帶能量泄漏現象，該問題在許多文獻中已有探討［4-6］。但是，頻帶能量泄漏現象對小波去噪影響的研究還不夠成熟，缺乏頻帶能量泄漏對噪聲估計的影響定量分析，尤其缺乏判別噪聲估計是否出現失真的方法。

為此，本文重點研究d2層中高頻分量的頻帶能量泄漏對噪聲估計和小波去噪效果的影響。主要成果在于從d1層和d2層小波系數的相關性角度，分析頻帶能量泄漏對噪聲估計影響的程度，提出噪聲估計失真的判別方法，并提出噪聲估計失真情況下的解決方法。

1　小波閾值去噪方法與噪聲估計

在小波閾值去噪過程中，去噪處理環節包括兩個步驟：一是根據閾值的確定方法計算閾值，二是根據該閾值采用作用閾值方法進行處理。

1.1閾值的確定方法

閾值的確定方法是小波去噪效果好壞的關鍵之一。常見的閾值確定方法有如下四種：sqtwolog、rigrsure、heursure和minimaxi，上述方法在MATLAB中也有介紹。其中sqtwolog方法和minimaxi方法與噪聲估計的關系最為直觀。例如，sqtwolog法的閾值計算公式為式中為噪聲估計，N為d1層小波系數的個數。λ作為小波分析的各細節層的閾值［7-10］。本文以sqtwolog法為例進行分析。

1.2作用閾值方法

作用閾值方法主要有硬閾值法和軟閾值法，此外還有一些改進方法。由于軟閾值法去噪后信號的小波系數在閾值λ處的連續性好于硬閾值法，所以軟閾值法更為常用。在作用閾值處理過程中，采用軟閾值法對小波系數進行處理后，得到的小波系數為

式中λ為閾值。以下分析采用的作用閾值方法均為軟閾值法［7-10］。

1.3基于小波系數的噪聲估計

一維含噪信號的模型可表示為

式中s（x）為觀測得到的含噪信號，f（x）為有用信號，n（x）噪聲信號，假定n（x）是服從的高斯白噪聲。

白噪聲n（x）的小波變換為

式中ψa（x）是尺度為a的小波函數。

因為

由此可見，白噪聲信號的||Wa（a，x）2的均值與尺度a成反比。隨著尺度的增大，白噪聲的小波變換系數是逐漸減小的。因此，通常情況下認為信號主要集中在小波變換的低頻頻帶，而噪聲主要集中在小波變換的高頻頻帶，并且可以由此來估計噪聲的方差。利用小波系數進行噪聲估計的常見方法為

所以

1.4噪聲估計失真的影響

由式（1）可知，當d1層小波系數的個數N一定時，sqtwolog法的閾值只與噪聲估計σ^有關，一旦出現噪聲估計失真，必然影響去噪效果。由式（8）可知，噪聲估計取決于d1層的小波系數，噪聲估計的前提條件是該層的小波系數只含噪聲信息。如果按照采樣定理來確定采樣頻率時，使d1層頻帶只含噪聲信息，而不包含有用高頻分量，那么理論上可以滿足噪聲估計的前提條件。

但是，在實際情況下，d1層的小波系數還可能包含來自d2層高頻分量的頻帶能量泄漏。通常情況下，d2層頻帶能量泄漏會導致噪聲估計失真，σ^會比實際值大，從而導致去噪閾值偏大，去噪后信號中有用信息出現損失。下面定量分析頻帶能量泄漏對噪聲估計的影響，判斷是否達到噪聲估計失真的程度。

2　頻帶能量泄漏對噪聲估計的影響

2.1實驗方法

為了定量分析頻帶能量泄漏對噪聲估計的影響，構造信號如下

2.2頻帶能量泄漏對噪聲估計的影響

由前面的分析和式（8）可以看出，N一定時噪聲估計只與d1層的小波系數緊密相關。由于信號）的

f1、f2、f3分量和分量都不處于d1層。所以，在理想情況下，可以認為其噪聲估計與這四個頻率分量無關，信號）的噪聲估計是相同的。但是，實際情況下卻不是這樣。

由于小波分析存在頻帶能量泄漏，x2（k）相對x1（k）而言，d1層的小波系數包含該層噪聲和f4分量在該層的能量泄漏兩種信息，前者是固有計算噪聲估計的依據，而后者對噪聲估計有一定的影響，是不希望有的因素。為了定量觀察f4分量對噪聲估計的影響，假定表示x2（k）的噪聲估計與的噪聲估計之比。這樣，可以觀察不同信噪比下變化對的影響，與的關系曲線如圖1所示。

可見，f4分量在d1層的能量泄漏信息會使噪聲估計增大，出現噪聲估計失真，并且基本上噪聲估計失真程度隨f4頻率值的增大而增大。對于同樣頻率的f4分量，信噪比SNR越大，f4分量對噪聲估計的影響越大。噪聲估計失真會使信號去噪后的有用信息損失嚴重，對小波去噪有惡劣影響。

因此，在小波去噪過程中，判斷噪聲估計是否失真是小波去噪的關鍵。

3　噪聲估計失真的判別方法

3.1最大相關系數計算方法

首先將信號做歸一化處理，然后進行小波分解并單支重構，得到重構后的d1、d2層小波系數，分別為Wf（J，k）和Wf（J-1，k），這里J為小波分解的層數，為單支重構后d1、d2層的點的個數）。根據Wf（J，k）和Wf（J-1，k），可以直接求其相關系數R（n），即［11］

改變n，可以改變d1、d2層的小波系數的相關系數。假定n=τ（0≤τ≤M1）時，相關系數R（n）最大，即R（τ）為R（n）的最大值。

3.2基于最大相關系數的噪聲估計失真判別方法

通過實驗仿真，可以得到信號x2（k）在不同信噪比下Δf4與R（τ）的關系，如圖2所示。由圖2可知，在同一Δf4下，R（τ）與信噪比SNR有關，SNR越大，R（τ）越大；在同一信噪比SNR下，R（τ）與Δf4近似成線性關系。

以上分析是在f4分量的幅值U4為3 V不變情況下，得到的和R（τ）隨Δf4變化的規律。同理，在f4分量頻率不變情況下，也可以得到和隨幅值U4變化的規律。由于在f4頻率相同情況下，U4增大，信號x2（k）歸一化處理后，f4分量在信號x2（k）中占的份量增大，所以和R（τ）基本上隨U4增大而增大。因篇幅所限，這里不再贅述。

鑒于以上特點，噪聲估計失真的判別準則為：若R（τ）≥ε，則噪聲估計失真；反之，則噪聲估計正確。這里，ε為一個閾值。

由于Δf4接近0時，信號x2（k）的f4分量在d1層的能量泄漏信息非常弱，對噪聲估計和最大相關系數R（τ）影響非常小。此時，信號x2（k）的最大相關系數R（τ）與信號x1（k）相接近。大量實驗發現，由于白噪聲具有隨機性，所以程序每次運行得到的R（τ）值不是定值，而是在一定范圍內變化的。在信噪比SNR=15～30情況下，信號x1（k）的R（τ）變化范圍為0～0.08。因此，可以參考該R（τ）變化范圍選擇判斷噪聲估計是否失真的閾值ε。

考慮d1層非噪聲微弱頻率分量和信噪比的影響，ε的取值可略做調整，一般取0.08≤ε≤0.1。

綜上所述，噪聲估計失真的判別方法及步驟如下：

（1）將待去噪信號作歸一化處理；

（2）將歸一化處理后的信號進行小波分解和單支重構，得到d1、d2層的小波系數Wf（J，k）和Wf（J-1，k）；

（3）根據Wf（J，k）和Wf（J-1，k），計算其最大相關系數R（τ）；

（4）確定ε的值，然后根據噪聲估計失真的判別準則確定是否存在噪聲估計失真。

3.3噪聲估計失真的處理方法

圖1　σ^r與Δf4的關系曲線

當噪聲估計失真出現時，不能根據原有的噪聲估計值進行小波去噪分析，需要采取措施使噪聲估計不再失真。從圖1可知，頻率為f4的分量越遠離d1層頻帶，其頻帶能量泄漏對σ^的影響越小。由于增加采樣頻率和小波分析的層數，可以使頻率為f4的分量遠離d1層頻帶，從而減弱頻帶能量泄漏對σ^的影響。所以，適當增大采樣頻率可以避免出現噪聲估計失真的現象。

鑒于此，在對實際信號進行小波閾值去噪處理過程中，在滿足采樣定理要求情況下，采樣頻率的確定還要考慮避免出現噪聲估計失真的現象。

4　實例分析

為了驗證上述方法的效果，下面以交-交變頻調速系統輸出電流為例進行分析。為了比較不同采樣頻率fs的分析效果，這里fs分別取2 500 Hz和5 000 Hz，采樣點個數為2 048。在小波分析中，仍選擇Daubechies 3小波，層數為4層。這樣，小波分解各細節層對應的頻帶頻率范圍如表1所示。

表1　頻帶頻率范圍

圖2　R（τ）與Δf4的關系曲線

fs=2 500 Hz時采集到的交-交變頻器輸出電流波形如圖3所示，其對應的幅值譜如圖4所示，為了觀察方便，圖中數據均做了歸一化處理。

圖3　輸出電流波形

圖4　輸出電流頻譜

由圖4可以看出，交—交變頻器的輸出電流諧波成分豐富含量較高，其中對應的小波分解d2層頻帶含有一定的諧波成分，對噪聲估計有一定的影響。根據本文提出的方法得到d1、d2層小波系數的最大相關系數R（τ）=0.312 2，根據噪聲估計失真的判別準則，此時做噪聲估計將會失真。為此，將采樣頻率提高為fs=5 000 Hz，這樣fs=2 500 Hz下的d2層頻帶變為fs=5 000 Hz下的d3層頻帶，此時得到d1、d2層小波系數的最大相關系數R（τ）=0.0721?？梢?，提高采樣頻率后，可以避免出現噪聲估計失真的現象。

5　結語

（1）由于小波分析存在頻帶能量泄漏影響，所以運用常見的閾值確定方法，對含有較強高頻分量的信號進行小波去噪時，信號中處于d2層的高頻分量對小波去噪的噪聲估計有較大的影響。它導致噪聲估計失真，出現噪聲估計值比實際值大許多的現象，而且高頻分量的頻率越接近d2層頻帶上限，其影響越大。噪聲估計失真會導致小波去噪后信號有用信息損失嚴重，產生不良的后果；

（2）通過小波單支重構后d1、d2層的小波系數的最大相關系數分析，可以判斷噪聲估計是否出現失真現象。當出現噪聲估計失真時，可以通過提高采樣頻率的方法排除d2層頻率分量能量泄漏的影響，達到小波去噪后信號有用信息無嚴重損失的目的。

［1］Donoho D.L.De-noising by soft-thresholding［J］，IEEE Transactions on Information Theory，l995，41（3）:6l3-627.

［2］肖方煜，湯偉，傅娜.自尋優閾值小波去噪方法［J］.信號處理，2012，28（6）：577-586.

［3］曲巍崴，高峰.基于噪聲方差估計的小波閾值降噪研究［J］.機械工程學報，2010，45（2）：28-33.

［4］王新，林家駿.小波分析中頻帶能量泄漏及對策研究［J］.遼寧工程技術大學學報，2005，24（5）：734-736.

［5］張君，韓璞，董澤，等.基于小波變換的振動信號分析中能量泄漏的研究［J］.中國電機工程學報，2004，24（10）：238-243.

［6］Peng Z K，Jackson M R，Rongong J A，et al.On the energy leakage of discrete wavelet transform［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23（2）:330-343.

［7］王新，朱高中.一種新型小波閾值法在信號消噪中的應用研究［J］.高電壓技術，2008，34（2）：342-345.

［8］代海波，單銳，王換鵬，等.基于改進閾值函數的小波去噪算法研究［J］.噪聲與振動控制，2012，32（6）：189-193.

［9］王宏強，尚春陽，高瑞鵬，等.基于小波系數變換的小波閾值去噪算法改進［J］.振動與沖擊，2011，30（10）：165-168.

［10］蘇成志，陳洪印，孟凡一，等.新閾值二進小波去噪算法在齒輪信號中的應用［J］.計算機工程與應用，2014，50 （18）：206-209.

［11］鄧禹，熊靜琪，孫銳，等.利用相關原理優化小波閾值去噪［J］.噪聲與振動控制，2009，29（1）：61-64.

Identification Method for Noise Estimation Distortion in Wavelet Denoising

WANGXin，WANG Jian-shun
（School of Electrical Engineering andAutomation，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，Henan China）

When the signals containing some high frequency components are denoised by using the wavelet denoising with conventional threshold selection methods，the frequency-band energy leakage in wavelet analysis will lead to the distortion of the noise estimation，so that the wavelet threshold denoising may contain large errors.In this paper，the noise estimation distortion in the wavelet threshold denoising was studied.In view of the relevance between the d1 detail level and the d2 detail level，the influence of the frequency-band energy leakage of the d2 detail level on the noise estimation was analyzed.The identification method for noise estimation distortion was proposed by using the maximum correlation coefficient of the d1 detail level and the d2 detail level.Finally，the method of restraining the noise estimation distortion was given.The results of test show that the noise estimation distortion can be distinguished by using this method，and the trouble of the useful information missing in the wavelet denoising process can be avoided.

acoustics；wavelet denoising；noise estimate distortion；threshold method；frequency band energy leakage

TN911.7

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.030

1006-1355（2015）05-0145-05+173

2015－01－30

國家自然科學基金項目（61403129）；河南省科技攻關項目（142102210048）

王新（1967－），男，河南省盧氏人。博士，教授，博士研究生導師，主要研究方向為狀態檢測與故障診斷、電氣傳動和智能儀器儀表等。

E-mail:wangxin@hpu.edu.cn

王建順（1988－），男，河南蘭考人。碩士研究生，主要研究方向為信號處理。

E-mail:wangjs8804@163.com