一類p-拉普拉斯Neumann問題正解的存在性

高婷梅

（陜西理工學院 數學與計算機科學學院，陜西 漢中 723000）

一類p-拉普拉斯Neumann問題正解的存在性

高婷梅

（陜西理工學院 數學與計算機科學學院，陜西 漢中 723000）

利用極小極大原理，證明了一類 p-拉普拉斯Neumann問題正解的存在性.

極小極大原理；Neumann問題；正解

1　引言及主要結果

本文考慮如下 p-拉普拉斯Neumann問題：其中Δpu是 p-拉普拉斯算子且 p＞1，Ω是RN中具有C2邊界的有界區域，n（x）是x∈?Ω處的外法向單位向量，λ＞0是參數.

當λ=1時，方程（1）被進行了廣泛的研究，并得出了很多有趣的結論［1-5］. 文獻［1］中，作者利用了上下解的方法，文獻［2-3］中，作者利用了Landesman-Lazer條件，文獻［4］對強共振問題進行了討論，文獻［5］應用極小極大原理得到了方程（1）的非平凡解.本文將λ=1推廣到一般的λ＞0，不僅可以得到方程（1）的非平凡解，而且還將證明方程（1）存在正解.

本文的主要結果如下：

（f1）f（x,0）=0且?t≠0,f（x,t）t＞0；（f2）?r＞0,?ar∈L∞（Ω）+,st:? ||t≤r,||f（x,t）≤ar（x）a.e.x∈Ω；

（f5）?δ＞0,q∈（1,p）及C＞0,st:? ||t≤δ,F（x,t）≥C||tqa.e.x∈Ω一致成立.則對每一個λ＞0，方程（1）至少存在一個正解.

2　主要結果的證明

引理1假設函數 f（x,t）滿足（f1）-（f5），則Iλ（u）滿足C條件.

于是由法都引理，有

然而，由（2）式可知，

且有

由（7）式可得，

所以，由（6），（8）及λ＞0，可推出

由Sobolev緊嵌入及必標準化過程，可知存在u∈W1,p（Ω）及的子序列（仍記為），使得un→u（n→∞）在W1,p（Ω）中，即Iλ（u）滿足C條件.

引理2假設函數 f（x,t）滿足（f1）-（f5），則當||t→+∞（t∈R）時，Iλ（t）→-∞.

則由引理2和引理3，?τ0＞0,st:

則有以下結論：

引理4［5］假設函數 f（x,t）滿足（f1）-（f5），則｛C0,C｝ 和D在W1,p（Ω）中是局部環繞的.

類似地，

由γ1,γ2,γ3的定義以及（14），（15），（16）式，?γ*∈Γ,st:Iλ|γ*

＜0.于是，結合（f1），?γ*∈Γ,st:

因為u0≠0是Iλ（u）的臨界點，則A（u0）=λf（x,u0），再利用非線性格林不等式，可得

所以，u0≠0是方程（1）的解.由正則性理論［6］，u0∈

因為條件（f1）成立，則有

［1］Alif M,Omari P.On ap-Laplician Neumann problem with asymptotically perturbations［J］.Nonlinear Anal,2002,51（3）: 369-389.

［2］Arcoya D,Orsina L.Landesmann-Lazer conditions and quasilinear elliptic equations［J］.Nonlinear Anal,1997,28（10）:1623-1632.

［3］Papalini F.A quasilinear Neumann problem with discontinuous nonlinearity［J］.Mathematische Nachrichten,2003,250（1）:82-97.

［4］Filippakis M,Gasinski L,Papageorgiou N S.Multiplicity results for nonlinear Neumann problems［J］.Canadian Journal of Mathemat?ics,2006,58（1）:64-92.

［5］Gasiński L,Papageorgiou N S.Nontrivial solutions for a class of resonantp-Laplician Neumann problems［J］.Nonlinear Anal, 2009,71（12）:6365-6372.

［6］Gasinski L,Papageorgiou N S.Nonsmooth critical point theory and nonlinear boundary value problems［M］.Boca Raton:chapmanand Hall,CRC Press,2004.

［7］Aizicovici S,Papageorgiou N S,Staicu V.The spectrum and index formula for the Neumannp-Laplician and multiple solutions for problems with crossing nonlinearity［J］.Discrete Contin Dyn Syst,2009,25（2）:431-456.

［8］Vázquez J L.A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations［J］.Applied Mathematics and Optimization,1984, 12（1）:191-202.

Existence Result on Positive Solution for a Class ofp-Laplacian Neumann Problems

GAO Ting-mei
（School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,China）

Using the minimax principle,the author of this paper obtained a positive solution for a class ofp-Laplacian Neumann problems.

minimax principle；Neumann problems；positive solution

177.91

A

1008-2794（2015）02-0091-05

2014-02-25

通訊聯系人：高婷梅，助教，碩士，研究方向：非線性泛函分析，E-mail：gtmgtmgtm@126.com.