一類奇異攝動反應擴散方程數值模擬中的參數估計

包小兵，陳振榮

一類奇異攝動反應擴散方程數值模擬中的參數估計

包小兵，陳振榮

（池州學院數學與計算機學院，安徽池州247000）

針對一類奇異攝動反應擴散方程，使用Shishkin網格方法進行求解，其中的網格過渡點參數較難確定，使用粒子群（PSO）算法估計存在計算速度慢的缺點，提出了基于差分進化（DE）算法的過渡點參數估計。通過具體的數值實驗，結果表明：與PSO算法相比，計算精度相當，計算速度明顯提高，說明所提方法的可行性與有效性。

奇異攝動反應擴散方程；Shishkin網格；粒子群算法；差分進化算法

DOI：10.13420/j.cnki.jczu.2015.06.007

本文考慮如下的奇異攝動反應擴散方程：

其中0＜ε＜＜1，函數b（x）和f（x）是充分光滑的，且b（x）≥β＞0。眾所周知，當ε→0時，問題（1）的精確解在區間［0，1］的兩端存在邊界層。

對于奇異攝動問題（1），一些常用的數值方法很難得到理想的數值結果。因此，Shishkin網格方法和Bakhalov網格方法，越來越被廣泛地用來數值求解上述奇異攝動反應擴散方程（1），見文［1-3］。

眾所周知，差分進化算法［5］（簡稱DE）它已被廣泛應用到各種參數估計的求解，見文［6-9］。考慮到差分進化算法具有較快的收斂速度，本文在文［4］的基礎上，利用DE算法對Shishkin網格參數進行優化計算，并與粒子群算法的計算結果進行比較和分析。

1　Shishkin網格的構造與離散格式的建立

為了建立問題（1）的迎風差分格式，首先構造出Shishkin網格。

設Shishkin網格過渡點為：

其中N為對網格的剖分數，且為4的倍數，θ為待確定的參數，我們首先將區間分成三個子區間］，然后對區間進行等分，分別對區間進行

N 4等分，則網格可記為：

其網格步長為：

基于以上網格GN，可建立如下迎風差分格式

其中Ui為u（xi）的近似解，

2　基于差分進化算法的Shishkin網格參數估計

由區間［0，1］上的N+1個點構成網格GN

再對網格GN加密一倍得到網格G2N：

我們知道，微分方程數值解的誤差可用如下式子來表示

其中‖‖·為向量范數。然而，一般情況下，微分方程的精確解U*很難得到，故常用

來估計誤差，其中UN（θ）為問題（1）在網格GN下的數值解，U2N（θ）為問題（1）在網格G2N下的數值解。

顯然，參數θ的取值將影響到EN的大小，為使其盡可能小，構造如下的目標函數：

本文將使用DE算法估計出（4）式中的參數θ，然后求解方程組（3），得到問題（1）的數值解。

3　數值實驗與結果分析

考慮奇異攝動反應擴散方程：

為了驗證差分進化算法數值求解這類問題的優點，在相同條件下與基本粒子群算法［4］進行比較。差分進化算法的參數設置為：種群規模為40，交叉因子為0.5，交叉概率為0.1，最大迭代次數為40次。粒子群算法的參數設置為：學習因子c1=c2=1.2，粒子數為50，最大迭代次數為40次。

下面，我們分別使用PSO算法和DE算法估計參數θ，計算結果如表1、表2所示。

表1　PSO算法獲得的網格參數、誤差及耗時（單位：s）

表2　 DE算法獲得的網格參數、誤差及耗時（單位：s）

實驗表明，使用DE算法估計參數θ與使用PSO算法估計參數θ的誤差相當，但計算速度明顯較高。可以看出，N=16，ε=2-5、2-8、2-9時，誤差和參數θ的值幾乎相等，但計算耗時差異較大，由此可知本方法性能和效果較優。圖1給出了N=16，ε=2-9時，PSO算法和DE算法的迭代曲線。

4　結論

對于奇異攝動問題的數值方法，目前以層適應網格方法的應用最為普遍，其中Shishkin網格方法因為結構簡單而備受關注。對于奇異攝動反應擴散方程的Shishkin網格方法，本文在文［4］的基礎上，提出了奇異攝動問題數值模擬中參數估計的差分進化算法，并與基本粒子群算法進行了比較，數值結果表明差分進化算法的計算效率明顯優于基本粒子群算法。

圖1　N=16，ε=2-9時的迭代曲線

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［責任編輯：桂傳友］

TP18

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1674-1102（2015）06-0021-02

2015-03-02

池州學院自然科學研究項目（2014ZR005）；安徽省大學生創新項目（AH201411306088）；全國大學生創新創業訓練計劃項目（201511306034）。

包小兵（1981-），男，安徽廬江人，池州學院數學與計算機學院講師，碩士，研究方向為智能計算。