1自由度8桿單鉸LEMs構型的研究

王　強， 曹　毅, 2, 3, 4， 陳桂蘭

(1. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；

2. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室， 上海 200240；

3. 哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室， 黑龍江 哈爾濱 150080；

4. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室， 江蘇 無錫 214122)

1自由度8桿單鉸LEMs構型的研究

王強1， 曹毅1, 2, 3, 4， 陳桂蘭1

(1. 江南大學 機械工程學院， 江蘇 無錫 214122；

2. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室， 上海 200240；

3. 哈爾濱工業大學 機器人技術與系統國家重點實驗室， 黑龍江 哈爾濱 150080；

4. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室， 江蘇 無錫 214122)

提出一種Lamina Emergent Mechanisms(LEMs)機構綜合方法，對1自由度8桿LEMs構型進行研究，該方法能夠求解包含單鉸轉動副，以及機架和主動件變換的LEMs機構綜合問題.首先，通過構造平面運動鏈的桿組鄰接矩陣，求解基于1自由度8桿的所有平面機構的可能連接方式.其次，基于桿件和自由度的數目，分析包含各級Assur桿組的所有裝配方式，構建桿組鄰接矩陣的框架.再次，依據一定的約束條件，將第一級及之后的桿組依次裝配到主動件和機架或者前級桿組上，并且同步辨識同構體，從而獲取僅含轉動副的所有平面機構構型.最后，用相應的柔順片段代替剛性片段，完成LEMs構型綜合.

平面折展柔順機構(LEMs)； 機構綜合； 鄰接矩陣

Lamina Emergent Mechanisms(LEMs)是由美國學者Larry L. Howell及其團隊提出的一種從平面材料中制造，并且能夠浮出制造平面的新型機構[1].此種機械裝置通過使柔性部位變形來實現所需的運動，因此是一種柔順機構.LEMs在擁有其他柔順機構優點的同時，具有以下無可比擬的優勢：(1)用簡單的拓撲結構實現精密復雜的機械任務；(2)采用成本較低的加工工藝(如剪切、沖孔、落料等)進行加工；(3)LEMs的平面特性使得其在儲藏和運輸成本方面亦頗具優勢.圖1所示為一種4桿LEMs，采用了一種平面轉動副——Lamina Emergent Torsion (LET).

圖1　一種4桿LEMsFig.1　A four-bars LEMs

目前國內外研究主要集中于LEMs的運動副設計及驅動方式的選擇.文獻[2]設計了一種目前常用的轉動副LET，該轉動副通過材料的變形獲得所需運動.文獻[3]研究了兩種適用于金屬薄板的轉動副RUFF(Revolute U-form Flexure)和TUFF(Torsional U-form Flexure).文獻[4]提出了一種能同時承受拉、壓應力的轉動副.文獻[5]基于剛體代替法設計了新型多層LEMs，并且運用偽剛體模型和LET的彈簧剛度模型，對其進行輸入輸出之間關系的研究.

由于構件數目相同，并且能夠實現確定的相對運動的機構不止一種，所以產生了如何選擇的問題，因此機構的結構類型綜合是機構學的重要研究內容[6].同樣，對LEMs進行結構類型綜合，不僅能夠啟發人們創新、發明新的LEMs，同時還可以對現有的機構進行優化，因此，對LEMs的結構類型綜合就顯得十分必要.自圖論首次被應用到機構構型綜合之后，機構構型綜合便有了長足發展.文獻[7]基于圖論法綜合得出16種8桿1自由度運動鏈.文獻[8]采用Franke簡明標記法，在一般情況下避免了同構問題，并且將其運用于9桿2自由度運動鏈的綜合.文獻[9]則采用縮圖法首次綜合出一共230種10桿1自由度運動鏈.文獻[10]通過二副桿轉化法得到839種11桿2自由度運動鏈.文獻[11]建立了連桿拓撲圖的規范表示法，并且提出了基于最大周長環路的同構識別方法.文獻[12-13]運用有限對稱群法計算出4～12桿、1～3自由度的運動鏈數目.文獻[14]基于麥基型算法得到基本環路為1～6、自由度為1～4的運動鏈數目.文獻[15-16]將Assur桿組作為鄰接矩陣的基本元素，提出了桿組鄰接矩陣的定義，并將其用于平面機構的綜合，給出了一種機構綜合的新方法，該方法的優勢是能夠同步辨識同構體，且在綜合的過程中包含了主動件和機架變換的問題.文獻[17]提出了一種自動創建連桿機構回路方程的算法，根據該算法，得出了71種8桿機構.文獻[18-19]的研究提出了兩種柔順機構的綜合方法：轉換剛體綜合和柔順綜合.其中轉換剛體綜合是將已知的剛體機構用柔順機構替代，在替代過程中分兩種情況：(1)直接用柔順機構替代剛體機構；(2)先將復雜的剛體機構分解成相對簡單的結構，然后再用相似的柔順機構替代.

綜上所述，目前對LEMs研究主要集中在運動副的實現上，同時各國學者對機構綜合特別是平面機構綜合提出了許多研究方法，但是在LEMs構型綜合方面研究不足.針對上述研究現狀，本文擬采用Assur桿組鄰接矩陣法，進行平面連桿機構的結構類型綜合，綜合完成之后再將其轉換成LEMs平面狀態，以期豐富LEMs構型綜合理論.

1　桿組分類

由機構的組成原理可知，機構是由一個或若干個自由度為零的運動鏈依次連接到主動件和機架上而組成的.這個自由度為零的運動鏈就稱為桿組或Assur桿組.一般情況下，依據桿組中所含構件數目，可將桿組分為2桿組、4桿組以及6桿組[20]，如表1所示，桿組簡圖中實心圓表示桿組外副，空心圓表示內副.

表1　各類型桿組Table 1　Different types of groups

2　桿組鄰接矩陣

與傳統鄰接矩陣中以構件為基本元素不同，桿組鄰接矩陣中基本元素為各Assur桿組，即：

(1)

3　LEMs構型綜合研究

3.1總體綜合過程

首先，依據機構總體構件數與各級桿組所含構件數的數學關系，分析基于1自由度8桿的所有桿組組合情況.其次，根據上述組合情況，搭建桿組鄰接矩陣對角線元素，且同步辨識同構體.再次，將第一級以及之后的各桿組依據一定的約束條件依次連接到主動件、機架或前級桿組上，且同步辨識同構體，直至將全部桿組均連接完成，從而獲得含單鉸的1自由度8桿機構所有構型.最后，用相應的柔順片段代替剛性片段，完成LEMs構型綜合.

3.2桿組裝配的約束條件

根據機構組成原理，將各級桿組依次連接到主動件、機架或前級桿組上，逐級構造桿組鄰接矩陣，并且同步辨識同構體，最終獲得所有構型.

當桿組依次裝配到主動件和機架或者前級桿組時，要依據一定的約束條件：

(1) 桿組的外副必須全部連接到前級桿組或者主動件或者機架上；

(2) 桿組必須連接到運動已經確定的節點上；

(3) 不得將桿組的外副全部連接在同一構件(包括主動件與機架)上.

3.3桿組元素的裝配連接組合

3.3.1單自由度機構構件數與桿組數關系

由于2桿組中構件數為2， 4桿組和6桿組中構件數分別為4和6，主動件和機架的構件數為1，所以平面機構的總構件數n與各桿組數之間的關系為

n-2=2nⅡ+4nⅣ+6nⅥ

(2)

式中：nc為各桿組的構件數(c=Ⅱ, Ⅳ, Ⅵ).

基于式(2)，以1自由度8桿機構為例，可由主動件、機架和3個2桿組，或1個2桿組加1個4桿組，或1個6桿組組成.由如下桿組鄰接矩陣ATi(i=1, 2, …, 15)表示：

3.4主動件與機架的連接方式

默認主動件與機架相連，根據上述ATi(i=1, 2, …, 15)連接關系，在該節中，主動件與機架的連接關系可用如下鄰接矩陣ADi(i=1, 2, …, 15)表示

3.5第一級桿組與主動件和機架的連接方式

對由6桿組組成的機構，當第一級桿組連接到主動件和機架時，就完成了構型綜合，現討論如下.

3.6第二級桿組與前各元素之間的連接方式

由AG2開始綜合，可以得到如下連接方式：

由AG3開始綜合，可以得到如下連接方式：

辨識同構體：將AF31與AF7中m=01且j=02的構型相對比發現，其各自的2桿組和4桿組分別連接到各自的主動件和機架上，區別僅是連接順序不同，最終結果相同，故為同構體，因此刪除AF31.在這一節中共有10種不同連接方式.

由AG4開始綜合，可以得到如下連接方式：

上述連接情況與上一節中類似，AF41與AF7中m=02且j=01的構型為同構體，故刪除AF41.在這一節中共有10種不同連接方式.

由AG5開始綜合，可以得到如下連接方式：

此節中由AG5出發綜合所得共6種不同構型.

由AG6開始綜合，可以得到如下連接方式：

辨識同構體：

AF57=AF41

由對比可知，AF57與AF41僅僅是連接順序不同，最終結果相同，因此為同構體.在這一節中由AG6出發綜合所得共10種不同連接方式.

3.7第三級桿組與前各元素之間的連接方式

開始綜合由3個2桿組組成的8桿機構中最后一個2桿組所有的連接方式.

理論上向量Ti一共有以下14種可能：

上述向量中的q均能取2個值，因此T2, T4, T8, T10均有2種不同的連接方式.在T12中，在前面2個2桿組中各取1個構件相連，去除1種重復情況，因此T12有3種不同連接方式.

圖2　AF1未連上最后1個2桿組時的構型Fig.2　The configuration that AF1haven’t connected the last groupⅡ

同理可得，由AF2至AF6綜合所得的不同連接方式分別有14, 13, 12, 11, 10種.

綜上所述，由3個2桿組組成的1自由度8桿機構共有9+14+13+12+11+10=69種構型，由1個2桿組和1個4桿組組成1自由度8桿機構一共有14+10+10+6+10=50種構型，由1個6桿組組成的1自由度8桿機構共有30種構型.因此，包含機架和主動件變換的1自由度8桿機構共有149種不同構型.

3.8LEMs構型綜合

由上述步驟所得1自由度8桿單包含主動件和機架變換問題的機構共149種，基于目前常用的LEMs轉動副，采用相應柔順片段替代綜合所得的構型，轉化為LEMs平面狀態，完成LEMs構型綜合.以其中一種為例，結果如圖3和4所示.

圖3　平面8桿機構及處于平面狀態的8桿LEMsFig.3　Structure of an eight-bar mechanism and its LEMs in planar

圖4　8桿LEMs的CAD模型及處于浮出狀態的8桿LEMsFig.4　CAD model of an eight-bar LEMs and its emergent state

4　結　語

本文采用平面機構綜合問題的方法來研究LEMs構型綜合問題.基于桿組鄰接矩陣，以8桿機構為例，對構型綜合問題進行研究，最終得到包含主動件和機架變換的149種全鉸鏈平面8桿機構.選取其中一種平面8桿機構，采用相應柔順片段替代綜合所得的構型，將其轉換成LEMs平面狀態，并得到其CAD模型及實體模型.本文所述綜合過程僅含有單自由度單鉸運動鏈，多自由度含復合鉸鏈的LEMs構型綜合是今后的研究方向.

[1] JACOBSEN J O, WINDER B G, HOWELL L L, et al. Lamina emergent mechanisms and their basic elements [J]. Journal of Mechanisms and Robotics, 2010, 2(1):1-9.

[2] JACOBSEN J O, CHEN G M, HOWELL L L, et al. Lamina emergent torsional (LET) joint [J].Mechanism and Machine Theory, 2009, 44(11): 2098-2109.

[3] FERRELL D B, ISAAC Y F, MAGLEBY S P, et al. Development of criteria for lamina emergent mechanism flexures with specific application to metals [J]. Journal of Mechanical Design, 2011, 133(3): 031009-031009-9.

[4] WILDING S E, HOWELL L L, MAGLEBY S P. Introduction of planar compliant joints designed for combined bending and axial loading conditions in lamina emergent mechanisms [J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 56(11): 1-15.

[5] 邱麗芳，楚紅巖，楊德斌，等.基于偽剛體模型的多層LEMs建模與仿真[J].農業機械學報，2013，44(9)：255-260.

[6] 曹惟慶.連桿機構的分析與綜合[M].2版.北京：科學出版社，2002.

[7] FREUDENSTEIN F, DOBRJANSKYJ L. On a theory for the type synthesis of mechanisms [J]. Applied Mechanics, 1964(1):420-428.

[8] DAVIES T H, CROSSLEY F E. Structural analysis of plane linkage by Franke’s condensed notation [J]. J Mechanisms, 1966(1):171-184.

[9] WOO L S. Type synthesis of the plane linkages [J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 1967, 89(1): 152-172.

[10] MRUTHYUNJAYA T S. Structural synthesis by transforma-tion of binary chains [J]. Mechanism and Machine Theory, 1979, 14(4): 221-231.

[11] DING H, HUANG Z. The establishment of the canonical perimeter topological graph of kinematic chains and isomorphism identification [J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2007, 129(9): 915-923

[12] TUTTLE E R, PETERSON S W, TITUS J E. Enumeration of basic kinematic chains using the theory of finite groups [J]. Journal of Mechanical Design, 1989, 11(1): 498-503.

[13] TUTTLE E R. Generation of planar kinematic chains [J]. Mech Mach Theory, 1996, 31(4): 729-748.

[14] SUNKARI R P, SCHMIDT L C. Structural synthesis of planar kinematic chains by adapting a Mckay-type algorithm [J]. Mechanism and Machine Theory, 2006, 41(9):1021-1030.

[15] 李樹軍，戴建生.基于Assur桿組元素的平面機構的拓撲描述[J].機械工程學報，2011，47(19)：8-14.

[16] 李樹軍，戴建生.基于桿組鄰接矩陣的平面機構綜合方法[J].機械工程學報，2012，48(13)：13-18.

[17] PARRISH B E, MCCARTHY J M, EPPSTEIN D. Automated generation of linkage loop equations for planar 1-dof linkages, demonstrated up to 8-bar[C]// Proceedings of the 2014 ASME International Design Engineering Technical Conference & Computers and Information in Engineering Conference, 2014.

[18] BERGLUND M D, MAGLEBY S P, HOWELL L L. Design rules for selecting and designing complain mechanism for rigid-body replacement synthesis[C]//Proceedings of the 2000 ASME International Design Engineering Technical Conference， 2000.

[19] HOWELL L L．柔順機構學[M]．余躍慶，譯．北京：高等教育出版社，2007．

[20] 熊濱生.現代連桿機構設計[M].北京：化學工業出版社，2005.

Research for Single Joint LEMs Types with One Degree of Freedom and Eight Bars

WANGQiang1,CAOYi1, 2, 3, 4,CHENGui-lan1

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;

2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China ;

3. State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China;

4. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi 214122, China)

A structural synthesis method of Lamina Emergent Mechanisms (LEMs) with revolute joint is proposed, which can apply to the research for single joint LEMs types of one degree of freedom and eight bars with the frame and driver link transformation. First, the LEMs in the plane can be equivalent to the planar kinematic chains, and the group-based adjacent matrix of the planar kinematic chains is constructed to solve all possible connection types of planar mechanism which are given the number of bars and degree of freedom. Then, according to the number of bars and degree of freedom, analysis all the combination of Assur groups, in order to set up the frame of the group-based adjacent matrix, the first stage and later groups are assembled to the driver link and frame or former groups. The isomorphism is identified in synchronism, and the connections of planar mechanism with only revolute pair are obtained. Finally, the obtained planar kinematic chains are restored to LEMs in the planar.

lamina emergent mechanisms(LEMs); structural synthesis; adjacent matrix

1671-0444(2015)06-0795-07

2014-10-20

國家自然科學基金資助項目(50905075)；教育部中央高校基本科研業務專項基金重點項目資助項目(JUSRP51316B)；機械系統與振動國家重點實驗室開放課題資助項目(MSV201407)；機器人技術與系統國家重點實驗室開放基金資助項目(SKLRS-2012-MS-07)；江蘇省高校“青藍工程”優秀青年骨干教師人才基金資助項目；江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室開放課題資助項目(FM-201402)；江蘇省普通高校學術學位研究生科研創新計劃項目資助項目(KYLX-1115)

王強(1989—)，男，浙江嘉興人，碩士研究生，研究方向為機器人機構學和柔順機構. E-mail: jewelzor@163.com

曹毅(聯系人)，男，副教授， E-mail: caoyi@jiangnan.edu.cn

TH 122

A