重視解題后反思，提高學生的思維能力

蔣佑上

《普高數學課標》明確要求教師要“注重提高學生的數學思維能力，強調培養學生反思遷移能力”。重視學生的題后反思能力的培養可以有效避免解題的錯誤，深化、掌握解題思路；是對思維進程、思維結果進行的再認識、調整和提高的過程；是優化解題方法，引申、拓廣題目結論，提高分析問題、解決問題的能力；培養學生思維的深刻性、廣闊性、批判性和靈活性；達到舉一反三、融會貫通的目標。解題后我們怎樣反思比較有效呢？我認為可以從以下幾個方面進行。

一、反思思考過程

回顧解題的思考過程，對解題思路、分析、運算過程、語言的表述進行反思，理清思維的障礙和突破點。具體可以提出幾個問題反思：1.本題運用了哪些思維方法？2.解題過程中運用到哪些知識和技能？3.哪些步驟比較容易發生錯誤？原因何在？如何防止？4.解決問題的關鍵何在？如何進行突破？解題過程中最初遇到哪些困難？后來又是如何解決的？有哪些成功的經驗和失敗的教訓？

解：設所求點為P（x，y），∵PF1⊥PF2，∴P點在以F1F2為直徑的圓上，故有x2+y2=25的圓上，又P（x，y）在橢圓上，有+=1。聯立上面兩方程得P（-3，±4）、P（3，±4）。

做完本題可做如下思考：由于求解的是一個點，因此可以設定點的坐標，然后尋找該點所需要滿足的條件，利用方程方法求解。解題過程中運用到圓的方程、點與曲線的位置關系、求兩曲線交點等知識技能，易錯點是題意可能曲解為“求與焦點的連線互相垂直的點”。防止誤入歧途的方法是逐字逐句審題，解決問題的關鍵是寫出以F1，F2為直徑的圓的方程。

二、反思一題多解

本題求解中，用好“所求的點與兩焦點的連線互相垂直”這一條件是解題的關鍵，它可以通過圓、斜率、面積、向量、勾股定理等形式來表達，比較各種解法中用交軌法求解最簡單。當然在反思一題多解的各種方法的過程中，也復習了向量、面積等相關內容，發散了學生思維，開拓他們的視野。

三、反思拓展變式

對典型題目要充分利用題目資源，改變題設、結論或圖形，拓展變式，發展多向思維，進一步培養學生思維的深刻性、廣闊性和靈活性。如解完上面例題，可對此題進一步分析：本題所求解的是以F1，F2為直徑的圓與橢圓交點的坐標，可判斷交點的個數，如果c>b，則有4個交點；如果c=b，則有2個交點；如果cb>0）上的一點，∠PF1F2=15°，∠PF2F1=75°，則橢圓離心率是多少？

四、反思多題同解

通過題后反思，小結了成功的經驗和失敗的教訓，突破了思維的難點，逐步推廣到一類問題可以用同樣的思考方法解決。如解決判斷三角形的形狀習題中，通過反思歸納，無非應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形。依據已知邊角關系去判斷，主要有兩條途徑：1.利用正余弦定理把已知條件轉換為關于邊的關系。2.利用正余弦定理把已知條件轉換為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角關系，期間要注意運用三角形內角和定理及相關的誘導公式。在兩邊有相同因式的等式變形中，不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解。又如利用導數求解某函數有關單調性、極值、最值問題，或已知條件涉及單調性、極值、最值，有關題型很多，但解題時都要涉及函數求導，利用數形結合，且都要在定義域內求解，等等。一個數學題目，在解答后除了進行以上各步的反思外，還可以進一步聯系拓廣，進行綜合、歸納、提升，找出共性和規律，提煉哲學觀點，領悟數學的主要思想方法和本質特征。經常進行這樣的歸納反思，可以達到觸類旁通，“窺一斑而知全豹”的效果，做一題會一類，學生的學習效率將大大提高，對知識的理解將更加深刻。

總之，學生反思能力的培養要從點到面，循序漸進，逐步提高意識，形成習慣。反思的形式和時機因人因題有所不同，可以解完題后馬上開始，也可以等知道正確解答后進行；可以每題都反思，也可以有針對性地進行反思；可以從多方面進行反思，也可以從一兩方面進行反思，每個同學可以根據具體情況靈活進行。作為數學教師要有意識多安排、指導學生進行題后反思，努力提高學生做題效率，發展學生的數學思維能力，提升學生的數學素養。

（作者單位：福建省大田縣第五中學）