考慮誤差的行星滾柱絲杠副滾柱承載分布

馬尚君，劉 更，付曉軍，張文杰，喬 冠

(陜西省機電傳動與控制工程實驗室(西北工業大學)，710072西安)

行星滾柱絲杠副(planetary roller screw mechanism，PRSM)是一種可將旋轉運動轉換成直線運動的機械傳動裝置［1］，廣泛應用于直線機電作動系統［2-3］、醫療設備［4］和精密機床［5］等需要直線作動的場合.建立考慮誤差的滾柱螺紋牙承載分布計算模型對于PRSM參數設計和研究其傳動性能具有重要意義，但目前關于PRSM的研究主要集中于運動學［6］、接觸特性［7］及傳動效率［8］和傳動精度［9］等方面，關于滾柱承載分布的研究還不深入.楊家軍等［10］基于赫茲接觸變形與軸向變形的關系，建立了承載分布計算公式，并進一步研究了PRSM剛度特性.Jones等［11］采用直接剛度法，計算了絲杠側和螺母側螺紋承載分布，研究了滾柱和螺紋牙數目對PRSM剛度的影響規律.Rys等［12］將滾動體等效成矩形單元，建立了剪切力作用下絲杠側和螺母側承載分布計算公式，并與有限元解進行了對比驗證.上述研究為PRSM承載分布和傳動性能研究奠定了理論基礎，但均未計入誤差影響，而且螺紋結構參數等因素對滾柱承載分布的影響規律研究尚不充分.

本文基于文獻［10］承載分布求解思路，即在絲杠受軸向拉力和螺母受軸向壓力作用下，其相對應的絲杠伸長量和螺母的壓縮量與在第i個和第i+1個螺紋牙處的赫茲變形的軸向分量之差相等，考慮誤差影響構建PRSM滾柱承載分布計算模型，并進一步研究負載、接觸角、螺旋升角、滾柱螺紋牙數和螺紋副材料彈性模量比等因素對滾柱承載分布的影響規律.

1 PRSM滾柱承載分布建模

1.1 模型假設

根據PRSM結構特點和傳動原理，作如下假設:1)多個滾柱承載分布相同;2)絲杠側與螺母側承載分布一致，且絲杠側和螺母側誤差分布相同;3)絲杠和螺母材料屬性一致，滾柱材料屬性不同于絲杠和螺母;4)在軸向載荷作用下，幾何誤差不會導致絲杠、螺母和滾柱接觸角發生變化.

1.2 考慮誤差的PRSM滾柱承載分布建模

在PRSM傳動中，滾柱螺紋牙型通常加工成球面，多個滾柱同時參與嚙合，以提高承載能力和傳動平穩性.滾柱螺紋牙具有多體多點接觸特征.基于模型假設，滾柱與絲杠和螺母的接觸狀態如圖1.

圖1 考慮誤差的滾柱承載分布模型

圖1為滾柱第i個螺紋牙在絲杠軸向力Fsi和螺母軸向力Fni作用下的平衡狀態，實線和虛線分別表示滾柱螺紋牙與絲杠和螺母螺紋牙接觸發生彈性變形前后的狀態.a點和b點為第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙與螺母的接觸點，c點和d點為第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙與絲杠的接觸點.σi+1和σi分別表示第i+1個螺紋牙與第i個螺紋牙總的幾何誤差.εa、εb、εc和εd分別表示 4個接觸點的軸向偏差.δi+1和δi分別表示第i+1個螺紋牙與第i個螺紋牙彈性變形量.由圖1可知，滾柱相鄰螺紋牙上接觸點a和b的幾何誤差在軸截面的法向分量分別為σi+1/sinβ和σi/sinβ，同理，滾柱相鄰螺紋牙上接觸點a和b的彈性變形量在軸截面的法向分量分別為δi+1/sinβ和δi/sinβ.根據力平衡關系可知［13］

其中:Fsi和Fni分別為滾柱第i個螺紋牙在絲杠側和螺母側所受軸向力，Pj為第j個螺紋牙所受法向力，β為接觸角，λ為螺旋升角.F為總軸向力.總軸向力與滾柱螺紋牙載荷的關系可以表示為

其中:M為滾柱數量，N為單個滾柱上螺紋牙數目.

由圖1幾何關系可知，第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙的幾何誤差在軸向的分量分別為σi/sinβcosλ和σi+1/sinβcosλ，則第i個螺紋牙和第i+1個螺紋牙產生的彈性變形量在軸向的分量分別為δi/sinβcosλ和δi+1/sinβcosλ.

由于在第i到i+1個螺紋牙之間，PRSM受到絲杠及螺母對滾柱的軸向拉力及壓力作用，故在i與i+1螺紋牙處的絲杠側和螺母側的軸向偏差分別為

式(3)和式(4)等號右邊第一項表示第i個螺紋牙的兩個接觸點含誤差的相對軸向偏差，第二項表示第i+1個螺紋牙的兩個接觸點含誤差的相對軸向偏差.根據赫茲接觸理論可知［14］

式(5)、(6)中，fs、fn分別表示兩接觸側剛度系數.

根據PRSM受力狀態，將絲杠和螺母分別等效為圓柱和空心圓柱，則絲杠受到的軸向拉伸量和螺母受到的軸向壓縮量分別為

其中:Esr、Enr分別為兩接觸物體材料的當量彈性模量，As和An分別為絲杠和螺母的有效接觸面積，p為螺距.

根據赫茲接觸變形與軸向變形關系，在絲杠受軸向拉力和螺母受軸向壓力作用下，相對應的絲杠伸長量及螺母的壓縮量與在第i到i+1個螺紋牙的赫茲接觸變形量的軸向分量之差相同.

將式(1)、(2)、(5)～(8)代入式(3)、(4)，再將式(3)和式(4)相加，可得考慮誤差的滾柱螺紋牙承載分布計算模型:

由式(9)可見，誤差項(等式右邊第二項)直接影響接觸點接觸狀態，導致滾柱螺紋牙各接觸點承載分布發生變化.

1.3 模型驗證

為了驗證本文模型的正確性，并與文獻［11］采用直接剛度法的計算結果進行對比，故采用文獻［11］初始參數(如表1所示).直接剛度法是將PRSM等效成一個彈簧系統，根據接觸點變形、剛度和力的關系建立矩陣方程，求解各接觸點力.本文是根據PRSM兩接觸側相鄰螺紋牙變形協調關系導出了含誤差的承載分布計算模型.文獻［11］求解承載分布沒有考慮誤差影響，故式(9)中等號右邊第二項為零，計算結果如圖2所示.

表 1 PRSM 參數［11］

由圖2可見，本文滾柱承載分布計算結果與文獻［11］計算結果吻合很好，特別是滾柱各螺紋牙承載比例范圍和前幾個螺紋牙承載變化趨勢吻合程度較高，故驗證了本文所建模型的正確性.

圖2 滾柱各螺紋牙承載比例對比

2 PRSM滾柱承載分布規律

2.1 隨機誤差分布

為了便于研究，將各個螺紋牙載荷Fi對總載荷F進行量綱一化，并假設PRSM的幾何誤差是一種隨機誤差，且服從正態分布，圖3給出了平均誤差為 0，標準方差Sd=0.002 7 μm 的誤差曲線圖.

圖3 滾柱螺紋牙隨機誤差分布

2.2 不同軸向力對承載分布的影響

滾柱螺紋牙承載分布與負載大小直接相關，選取負載為 5、10、20、50、80 kN，接觸角和螺旋升角分別為45°和11.532 6°，采用圖3所示誤差分布.Es/Er=1∶1，表示絲杠和滾柱材料彈性模量相同.計算結果如圖4所示.

圖4 載荷對滾柱螺紋牙承載分布的影響

由圖4可見，在相同誤差分布下，負載越小，滾柱承載分布波動越大，而且前3個螺紋牙承載比例相差較大.當負載達到50 kN以上時，滾柱螺紋牙的承載分布基本保持不變，且波動減小.隨著負載增大，各個螺紋牙的承載比例變化減小，這恰好反映了PRSM在承受較大軸向載荷時，能夠保持較高的傳動精度和平穩性的特點.結合圖3可知，正誤差螺紋牙承載較大，說明負誤差能夠改善螺紋牙承載分布，而且負誤差更有利于降低前3個螺紋牙承載比例，從而避免過載導致牙斷裂和出現脫嚙現象.

2.3 接觸角對承載分布的影響

選取接觸角分別為 25°、30°、35°、40°、45°和50°，負載為50 kN，螺旋升角、誤差分布和材料彈性模量比不變.接觸角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規律如圖5所示.

圖5 接觸角對滾柱螺紋牙承載分布的影響

由圖5可見，取不同接觸角值，滾柱螺紋牙承載分布變化趨勢保持不變.接觸角越大，前3個螺紋牙承載比例變化越大，均呈增大趨勢，這主要是因為接觸角增大，剛度系數fs和fn均減小.在相同誤差分布和負載下，接觸角越小，滾柱螺紋牙承載分布相對更均勻，而且在給定接觸角下，負誤差更有利于降低前3個螺紋牙承載比例.

2.4 螺旋升角對承載分布的影響

選取螺旋升角分別為 2.336 9°、4.666 0°、6.979 8°、9.271 0°和 11.532 6°，對應螺距分別為p=1、2、3、4、5，負載為 50 kN，接觸角、誤差分布和材料彈性模量比不變.接觸角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規律如圖6所示.

對比圖6和圖5可知，誤差分布和螺旋升角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規律與接觸角相似，負誤差更有利于降低前3個螺紋牙承載比例，螺旋升角越大，對前3個滾柱螺紋牙承載分布影響越大.當螺旋升角為2.336 9°時，滾柱螺紋牙承載比為 0.005 4～0.014 6，螺旋升角為 11.532 6°時，滾柱螺紋牙承載比為 0.001 7～0.035 1.可見，螺旋升角較小時，螺紋牙承載分布更加均勻.與此同時，螺旋升角的大小決定了PRSM的直線進給速度，因此，在進行結構參數設計時，應綜合考慮速度指標和承載要求.

2.5 滾柱螺紋牙數對承載分布的影響

選取滾柱螺紋牙數分別為5、8、10、15和20，考察其對滾柱螺紋牙承載分布的影響.接觸角和螺旋升角分別為 45°和 11.532 6°，負載為50 kN，誤差分布和材料彈性模量比不變.計算所得承載分布結果如圖7所示.

圖7 滾柱螺紋牙數對滾柱承載分布的影響

由圖7可得，滾柱第1個螺紋牙承載比例最大，隨著螺紋牙數的增大，各螺紋牙承載比例逐漸降低，載荷主要集中在前3個螺紋牙上.在本例所取參數條件下，當螺紋牙數＞8時，后面各螺紋牙承載比例基本保持不變，而且誤差對承載比例的影響較小，是導致承載波動的主因.由此，在PRSM結構參數設計中，在滿足結構承載條件下，應盡量減小滾柱螺紋牙數，因為牙數越多，滾柱結構尺寸越大，使得整個螺母尺寸變大，PRSM總的行程減小，而且螺紋牙接觸點越多會產生更多的摩擦損耗和摩擦熱，進而降低PRSM的傳動效率.

2.6 材料彈性模量比對承載分布的影響

本節假定螺母和絲杠的材料彈性模量相等，考察材料彈性模量比在1∶10和10∶1之間變化時滾柱螺紋牙承載分布規律.負載為50 kN，接觸角、螺旋升角、誤差分布不變.計算結果如圖8.

圖8 材料彈性模量比對滾柱承載分布的影響

由圖8可以看出，在相同誤差分布下，隨著絲杠(或螺母)彈性模量的增大，滾柱螺紋牙承載分布均勻性變差，第1個螺紋牙承載比例較快增大，且當絲杠(或螺母)彈性模量小于滾柱彈性模量時，前3個螺紋牙承載比例明顯下降.因此，在給定誤差分布下，降低絲杠(或螺母)彈性模量，特別是保證Es/Er＜1，可有效地改善滾柱螺紋牙承載分布.這是因為絲杠(或螺母)彈性模量剛度降低，絲杠或螺母易于變形，前幾個螺紋牙承載分布集中程度降低，可將更多負載傳遞到后面各螺紋牙.但是，根據PRSM結構特點和傳動原理可知，若滾柱和螺母嚙合時產生的彈性變形量過大，會導致滾柱相對于螺母發生軸向位移［15］，并產生較大滑動摩擦，最終降低傳動效率和位置精度.所以，為了達到改善滾柱螺紋牙承載分布的目的，通常僅在絲杠側保證Es/Er＜1即可.

3 結論

1)建立了考慮誤差影響的PRSM滾柱螺紋牙承載分布計算模型，系統分析了不同負載F、接觸角β、螺旋升角λ、滾柱螺紋牙數N和材料彈性模量比Es/Er對滾柱螺紋牙承載分布的影響.

2)在相同誤差分布下，負載越小，滾柱螺紋牙承載分布波動越大，而且前3個螺紋牙承載比例相差較大.隨著負載增大，各個螺紋牙的承載比例變化減小.

3)接觸角和螺旋升角對滾柱螺紋牙承載分布的影響規律相同，隨著二者的增大，對前3個滾柱螺紋牙承載分布影響越大.在相同誤差分布和負載條件下，接觸角和螺旋升角越小，滾柱螺紋牙承載分布相對更加均勻.

4)隨著螺紋牙數的增大，各螺紋牙承載比例逐漸降低，載荷主要集中在前3個螺紋牙上，且滾柱第1個螺紋牙承載比例最大.

5)降低絲杠彈性模量，特別是保證Es/Er＜1可有效地改善滾柱螺紋牙承載分布.該分析方法可擴展至考慮絲杠、滾柱和螺母材料均不相同的情況.

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