由四邊形的分類所引發(fā)的思考

陳安寧

【摘 要】分類思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)用分類討論思想，通過正確分類，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密地解答，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。

【關(guān)鍵詞】分類思想 ? ?原因 ? ?對(duì)策 ? ? ?四邊形

一、問題的提出

在中知網(wǎng)上不經(jīng)意間拜讀了陳祥彬老師發(fā)表在《課程·教材·教法》（2010）一篇題為《在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法》的論文。該論文在介紹分類思想方法時(shí)，有如下一段文字：分類必須遵循三條基本原則：一是標(biāo)準(zhǔn)同一性原則;二是不重復(fù)、不遺漏的原則;三是層級(jí)性原則。例如，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中的四邊形分類，首先應(yīng)將四邊形分成平行四邊形、梯形和任意四邊形，再將平行四邊形分成一般的平行四邊形和長(zhǎng)方形（特殊的平行四邊形），最后將長(zhǎng)方形分成一般的長(zhǎng)方形和正方形（特殊的長(zhǎng)方形）。筆者覺得陳老師在對(duì)四邊形分類時(shí)，沒有遵循其論文所提出的標(biāo)準(zhǔn)同一性與不重復(fù)、不遺漏的原則。一是這里所要?jiǎng)澐值乃倪呅伪旧砭褪侨我馑倪呅危筒荒茉趧澐值淖痈拍钪性俅纬霈F(xiàn)任意四邊形（重復(fù)）;二是沒有明確劃分標(biāo)準(zhǔn)，導(dǎo)致劃分出平行四邊形和梯形后，剩下的四邊形無法準(zhǔn)確描述，就用任意四邊形來代替，這是極其不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹９P者由此想到在教《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論》等課程時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)概念分類提出的思考題：任意四邊形可以劃分為哪些特殊的四邊形？學(xué)生的回答令筆者感到很是意外，答案五花八門。除了平行四邊形和梯形外，有不規(guī)則四邊形、特殊四邊形、長(zhǎng)方形（矩形）、菱形、任意四邊形等等，基本上沒有回答準(zhǔn)確的，即兩組對(duì)邊都不平行的四邊形！這說明在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)分類思想重視不夠，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)所學(xué)概念含混不清、外延模糊等。這些問題的存在激發(fā)了作者進(jìn)一步思考、探究的愿望，以求找到這種現(xiàn)象產(chǎn)生的根源及解決策略。

二、原因分析

分類的思想方法是指把被研究的某個(gè)數(shù)學(xué)問題看成一個(gè)整體，然后根據(jù)一定的分類標(biāo)準(zhǔn)將整體劃分為不相容的幾部分，通過對(duì)各個(gè)部分的分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)原問題的解決。那么學(xué)生為什么對(duì)諸如四邊形分類這樣的問題回答不準(zhǔn)確，甚至回答比較離譜呢？筆者在課后與學(xué)生進(jìn)行交流，并與同行進(jìn)行研討，經(jīng)過深刻反思，歸納主要有如下原因：

1.在概念教學(xué)中，教師對(duì)數(shù)學(xué)概念分類的意義、標(biāo)準(zhǔn)、原則、方法解釋不到位

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，教師對(duì)概念為什么要進(jìn)行分類及分類的意義未做說明，只是將所學(xué)概念進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類，讓學(xué)生知道就行了，至于分類的標(biāo)準(zhǔn)、原則及方法等只字不提，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)僅僅停留在比較低的層面上。例如自然數(shù)、四邊形、三角形等概念的分類。

2.教師對(duì)分類思想滲透不夠，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)分類思想體會(huì)、領(lǐng)悟不透徹，不會(huì)運(yùn)用分類思想解決問題

理解與掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。但是在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)概念的教學(xué)是不盡如人意的，以致學(xué)生在學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出概念不清、運(yùn)算不準(zhǔn)、推理不嚴(yán)、畫圖不明等現(xiàn)象。一個(gè)很重要的原因就是有的教師在概念教學(xué)中不注重分類思想的滲透，學(xué)生對(duì)所學(xué)概念的來龍去脈不清楚，對(duì)概念之間的關(guān)系比較模糊，無法體會(huì)、領(lǐng)悟分類思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用，也就無法準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵與外延。

三、加強(qiáng)分類思想教學(xué)的對(duì)策

1.在概念教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生明確分類的意義，逐步滲透分類意識(shí)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)經(jīng)常會(huì)遇到分類問題，當(dāng)知識(shí)積累到一定程度就需要運(yùn)用分類、歸納的思想來幫助學(xué)生厘清概念間的關(guān)系，建構(gòu)自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。如數(shù)的分類、圖形的分類、代數(shù)式的分類、函數(shù)的分類等。這就需要教師在日常教學(xué)中根據(jù)學(xué)生實(shí)際，結(jié)合教材特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)情景，啟發(fā)誘導(dǎo)，遵照循序漸進(jìn)、逐步深化的原則，有意識(shí)地突出分類思想，并在具體知識(shí)中努力體現(xiàn)、揭示分類思想的本質(zhì)，從而逐步滲透分類意識(shí)，使學(xué)生逐步領(lǐng)悟和接受解決問題中的分類思想，體會(huì)分類的基本原則（不重復(fù)不遺漏），明確分類思想是解決某些數(shù)學(xué)問題的一種重要的、有用的思想方法，體會(huì)分類的完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性。如前文提到的四邊形分類，只要學(xué)生明確了分類的標(biāo)準(zhǔn)——對(duì)邊是否平行，那么分出平行四邊形（兩組對(duì)邊都平行）、梯形（一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不平行）后，學(xué)生自然就會(huì)知道剩下的只能是兩組對(duì)邊都不平行的四邊形。如若不然，對(duì)象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。

2.在教學(xué)過程中讓學(xué)生體會(huì)分類思想，進(jìn)而總結(jié)與強(qiáng)化分類思想

一方面，數(shù)學(xué)教材中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生通過類比、觀察、分析、綜合、概括等方式，在學(xué)習(xí)中逐漸體會(huì)分類思想的本質(zhì)， 增強(qiáng)學(xué)生的分類意識(shí)，逐步形成對(duì)數(shù)學(xué)分類思想的理解和應(yīng)用能力。如解參數(shù)方程及不等式，探究三角形的某些屬性時(shí)，就必須對(duì)參數(shù)及三角形的形狀進(jìn)行分類討論，等等。另一方面，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，分類討論往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問題變得異常簡(jiǎn)單，解題思路非常清晰，步驟非常明了。因此，強(qiáng)化分類思想方法就成了數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)很重要的任務(wù)。教師在教學(xué)有關(guān)可以滲透分類思想的內(nèi)容時(shí)，要讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到：只有通過分類討論后，采取分而治之的方法各個(gè)擊破，得到的結(jié)論才可能是完整的、正確的，也才有可能理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。同時(shí)，通過解題教學(xué)，不斷強(qiáng)化分類討論的意識(shí)，讓學(xué)生吸收、內(nèi)化分類思想的精髓，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性，從而提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)，最終達(dá)到對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。

總之，數(shù)學(xué)中的分類討論思想是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想，自覺地重視和加強(qiáng)分類思想的教學(xué)，是實(shí)施素質(zhì)教育的基本要求，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神與探索精神的重要途徑。在教學(xué)中，我們要多研究、多實(shí)踐、多探索，讓學(xué)生更好地掌握好數(shù)學(xué)中的分類思想。

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳祥彬.在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法[J].課程·教材·教法，2010（7）：38.

[2]肖柏榮，潘娉姣.數(shù)學(xué)方法論及其教學(xué)示例[M].南京：江蘇教育出版社，2008：68.