小學(xué)階段如何處理“極限”？

張奠宙

小學(xué)數(shù)學(xué)教材里有一些內(nèi)容涉及無(wú)限，一向多有爭(zhēng)論。本文擬談一些不同看法，就教于方家。

人教社2014版教材六上的“數(shù)學(xué)廣角”欄目里有以下的題目：

計(jì)算：

接著是兩句對(duì)話(huà)：

“從圖上可以看出，這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1。”

“有些問(wèn)題通過(guò)畫(huà)圖，解決起來(lái)更直觀。”

結(jié)論是：

讀了以上文字，說(shuō)明小學(xué)數(shù)學(xué)里已經(jīng)正面地提出無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)了。教材能夠說(shuō)得清楚嗎？值得關(guān)注。

一、這段教材容易引起混亂

這段教材內(nèi)容涉及無(wú)限過(guò)程，但教材不作任何提示。現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，多半“不作正面敘述，讓學(xué)生依靠生活經(jīng)驗(yàn)自己去發(fā)現(xiàn)”。這對(duì)一些淺顯的概念建立，自然可行。但是對(duì)于已經(jīng)具備初步邏輯思考能力的六年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，尤其是對(duì)涉及無(wú)限這樣的超經(jīng)驗(yàn)課題，就需要在邏輯上把事情說(shuō)得更清楚些。由于學(xué)生沒(méi)有關(guān)于“無(wú)窮”的基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備，也沒(méi)有關(guān)于“無(wú)限”的生活體驗(yàn)作支撐，學(xué)生對(duì)上述的幾句話(huà)，只能去“猜”，以至產(chǎn)生一些思想混亂。

首先，“計(jì)算：…”的提法本身就有問(wèn)題。無(wú)窮級(jí)數(shù)意味著是無(wú)限多項(xiàng)相加。這在小學(xué)數(shù)學(xué)里從來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)。也就是說(shuō)，“計(jì)算”二字，從來(lái)都是有限項(xiàng)的計(jì)算，無(wú)窮多項(xiàng)是不能相加的。然而，教材對(duì)此沒(méi)有任何說(shuō)明。學(xué)生于是只好“猜”，認(rèn)為這是前有限項(xiàng)不斷相加的過(guò)程：

這是一個(gè)無(wú)限的計(jì)算過(guò)程，沒(méi)完沒(méi)了、萬(wàn)世不竭。

接著，教材的對(duì)話(huà)說(shuō)：“從圖上可以看出，這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1。”

這個(gè)“總和“是什么意思？又是突然冒出來(lái)的。無(wú)窮項(xiàng)相加能不能加完？有沒(méi)有“總和”？教材仍舊不加解釋。教材編者的意思是，從圖形來(lái)看，不斷相加形成的無(wú)限數(shù)列，越來(lái)越接近于1，而且無(wú)限地接近1。這個(gè)數(shù)1，就是“無(wú)限項(xiàng)之和”。這意味著，無(wú)限項(xiàng)都已經(jīng)加完。跨過(guò)了潛無(wú)限的鴻溝，完成了無(wú)限相加的過(guò)程。

最后，教材里又突然出現(xiàn)等式：

這一等式中，左邊原本是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，右邊是一個(gè)數(shù)字1。這兩個(gè)不同性質(zhì)的對(duì)象，怎么可以相等？教材編者的意圖還是要求學(xué)生“猜”：等式左邊所寫(xiě)的式子已經(jīng)不是無(wú)窮級(jí)數(shù)本身了，而是指無(wú)窮級(jí)數(shù)的“和”。“和”是一個(gè)數(shù)，所以可以相等。

總之，這段教材，要學(xué)生先猜“什么是無(wú)窮級(jí)數(shù)”;二猜“什么是無(wú)窮級(jí)數(shù)之和”，三猜“無(wú)窮級(jí)數(shù)本身與它的‘和’是同一個(gè)表示式”。明明白白的數(shù)學(xué)，成了模糊的“謎語(yǔ)”，未免失當(dāng)。

教材編者會(huì)爭(zhēng)辯，我們只是看一個(gè)例子，用圖形顯示它有“和”是1。但是，小學(xué)生看到的只是“不斷加”“不斷接近于1”，并沒(méi)有達(dá)到那個(gè)“總和”。這就是說(shuō)，教材這樣的寫(xiě)法，令人疑竇叢生。事實(shí)上，根據(jù)王永春的一次測(cè)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)[1]，能夠依照編者意圖給出此題答案的學(xué)生只占 31.33%，可見(jiàn)，教材內(nèi)容未被學(xué)生充分理解。

二、關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的閱讀材料的建議

小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容不宜過(guò)多。無(wú)窮級(jí)數(shù)不是小學(xué)生所必須知道的事情。不過(guò)，不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)。為優(yōu)秀學(xué)生寫(xiě)一段無(wú)窮級(jí)數(shù)的閱讀材料，也是有必要的。小學(xué)數(shù)學(xué)要符合六年級(jí)小學(xué)生的認(rèn)知水平，不可能正面討論極限，只能大體描述，不求嚴(yán)格。但是對(duì)于無(wú)限過(guò)程，要盡量說(shuō)清楚。

不妨設(shè)想，在數(shù)學(xué)廣角欄目里，有一頁(yè)的標(biāo)題就是“無(wú)窮級(jí)數(shù)的和”。內(nèi)容為：

我們把形如以此類(lèi)推。

如果這一數(shù)列能夠隨著加項(xiàng)的增加無(wú)限地接近一個(gè)常數(shù)A，而且彼此的距離要多小就可以有多小，我們就說(shuō)A是無(wú)窮級(jí)數(shù)的和。

例如：無(wú)窮級(jí)數(shù)

即此無(wú)窮級(jí)數(shù)之和是1。

并非無(wú)窮級(jí)數(shù)都有有限的“和”。如：

就不會(huì)以一個(gè)有限的數(shù)作為“和”。事實(shí)上，只要將它逐項(xiàng)與下列無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行對(duì)比，就可以看出，它的部分和數(shù)列會(huì)無(wú)限增大：

（注意：后一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都小于前一個(gè)級(jí)數(shù)的相應(yīng)項(xiàng)，但是括弧里的項(xiàng)加起來(lái)都是。無(wú)限多個(gè)加起來(lái)就會(huì)越加越大而無(wú)止境了。）

總之，在這段文字里，沒(méi)有提“計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)”，也沒(méi)有用“總和”的字樣，避免誤會(huì)，只把能說(shuō)清的盡量說(shuō)得清楚些，使人可以琢磨、理解。至于一時(shí)說(shuō)不清的，如極限概念，也只好定性地描述，不去過(guò)多地涉及。

三、關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)里有關(guān)無(wú)限過(guò)程的一些認(rèn)識(shí)

小學(xué)數(shù)學(xué)里不可避免地要涉及無(wú)限過(guò)程。因?yàn)樽匀粩?shù)是無(wú)限的，直線(xiàn)是可以無(wú)限延長(zhǎng)的。不過(guò)，這兩個(gè)無(wú)限都是沒(méi)完沒(méi)了的潛無(wú)限。小學(xué)生憑直覺(jué)可以想象，接受起來(lái)沒(méi)有困難。至于極限是有限數(shù)的變化過(guò)程，小學(xué)數(shù)學(xué)有兩處要涉及：一是“圓面積公式”的導(dǎo)出，二是分?jǐn)?shù)表示為無(wú)限循環(huán)小數(shù)。

圓面積公式的導(dǎo)出，多采用劉徽的割圓法，但那只是定性地描述，直觀地觀察內(nèi)接正多邊形面積隨邊數(shù)增加無(wú)限逼近圓面積的過(guò)程，沒(méi)有定量地進(jìn)行計(jì)算。至于通過(guò)剪拼、轉(zhuǎn)化為矩形面積，需要用直線(xiàn)段代替圓弧，只能依靠直觀觀察，無(wú)法定量地推導(dǎo)，因而談不上有多少極限思想。

比較復(fù)雜的是無(wú)限循環(huán)小數(shù)。這不得不涉及定量的極限計(jì)算。尤其是對(duì)0.9999999… =1 ，存在著許多爭(zhēng)議。我們認(rèn)為，各種認(rèn)識(shí)沒(méi)有對(duì)錯(cuò)之分，也不是用“極限思想”就可以統(tǒng)一的，關(guān)鍵在于把 0.9999999… 看作怎樣的對(duì)象。一般說(shuō)來(lái)，有以下四種。

1. 0.9999999… 是一個(gè)沒(méi)完沒(méi)了的潛無(wú)限過(guò)程。

這種認(rèn)識(shí)來(lái)源于自然數(shù)，一個(gè)比一個(gè)大，沒(méi)完沒(méi)了。然而1是一個(gè)數(shù)，過(guò)程怎么可以等于一個(gè)數(shù)？所以0.9999999…=1 是不成立的。許多人持這種觀點(diǎn)，并不是錯(cuò)誤。但是我們要向他們解釋不能局限于此。

2. 0.9999999… 是一個(gè)循環(huán)無(wú)限小數(shù)。

這種認(rèn)識(shí)把無(wú)限小數(shù)當(dāng)作一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象。現(xiàn)在要問(wèn)0.9999999…=1 是否成立，就要問(wèn)什么是無(wú)限小數(shù)之間的相等。不妨把常數(shù) 1也看作一個(gè)無(wú)限小數(shù) 1.00000… ，然后依照無(wú)限小數(shù)相等的規(guī)則去看它們是否相等就好了。

3. 0.9999999… 是一個(gè)數(shù)列。

在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中，實(shí)數(shù)系的對(duì)象可以是無(wú)限小數(shù)，可以是戴德金分割，也可以是“基本列”，即滿(mǎn)足柯西收斂準(zhǔn)則的數(shù)列（基本列都是收斂的，有有限的極限值）。這時(shí){0.9，0.99， 0.999，… }和{1，1，1，1，…} 都是基本列。那么，什么是兩個(gè)基本列相等呢？就是它們的極限相等。因此0.9999999… = 1就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本列的極限值是否相等的問(wèn)題。其實(shí)，極限為1的數(shù)列多得很，它們彼此都是等價(jià)的。例如{0.9，0.99，0.999，… }={ 1.1，1.01，1.001，1.0001，…}它們都等于基本列{1，1，1，1，…}。這就是說(shuō)，0.9999999… =1，是指兩個(gè)基本列相等，它們的極限都是1。

4. 0.9999999… 是無(wú)窮級(jí)數(shù)。

這時(shí)0.9999999… 被看作無(wú)窮級(jí)數(shù) ++ +… ，它的部分和數(shù)列是

Sn = 1- ，n=1，2，3，…. Sn 有極限1。

按照無(wú)窮級(jí)數(shù)理論，部分和如果有極限值A(chǔ)，就稱(chēng)A為無(wú)窮級(jí)數(shù)之“和”。這樣一來(lái)，0.9999999… =1就是指0.9999999… 以1為它的和，等式兩邊都是一個(gè)數(shù)。

值得注意的是：無(wú)窮級(jí)數(shù)的“和”不過(guò)是其部分和數(shù)列存在極限的同義語(yǔ)，一個(gè)規(guī)定而已。和，依舊是在被不斷地逼近，并沒(méi)有說(shuō)完成了無(wú)限多項(xiàng)相加的操作。

通過(guò)以上四種看法，我們有以下的結(jié)論：

首先，把0.9999999…看作一個(gè)過(guò)程，是很自然的事，并非錯(cuò)誤。說(shuō)0.9999999…在過(guò)程中一直小于1，也是對(duì)的。但是，我們不應(yīng)局限于此，還可以有另外的看法，應(yīng)該多角度地觀察和思考。

其次，后三種看法，都會(huì)用到極限概念，但是處理方法并不相同。0.9999999…=1 的意義各有不同。所謂相等，各有各的含義。除了數(shù)值的相等之外，還可以有無(wú)限小數(shù)的相等，數(shù)列的相等。

最后，無(wú)窮級(jí)數(shù)的處理，結(jié)合圖形表示，可以有“無(wú)限項(xiàng)之和”。由于只有0.9999999…看作無(wú)窮級(jí)數(shù)，才有“無(wú)窮項(xiàng)之和”的說(shuō)法，給人以“可以達(dá)到無(wú)窮”的意象。看起來(lái)似乎跨越了無(wú)限的鴻溝，但究其實(shí)質(zhì)，只不過(guò)是數(shù)列有極限的一種說(shuō)法。并不是真的“加了無(wú)窮次”，得到了“無(wú)窮多項(xiàng)相加的結(jié)果”。也就是說(shuō)，我們只是把部分和數(shù)列的極限值叫作“和”而已。有極限，不意味著能到達(dá)無(wú)窮，完成了無(wú)窮的操作。

總之，0.9999999… =1的各種說(shuō)法都有其存在的意義，容許共存。不要只奉一種說(shuō)法作為正確的典范，而否定其他的說(shuō)法。

至于0.9999999… =1 的許多所謂論證，只是一些說(shuō)明而已。例如

設(shè)x= 0.9999999…，10x = 0.9999999… ×10 ?= 9.999999…

由于 10x–x = 9， 所以 x=1。這些所謂證明都是經(jīng)不起推敲的。因?yàn)槭裁词菬o(wú)限循環(huán)小數(shù)的相乘，還沒(méi)有定義過(guò)，而那又是很復(fù)雜的事情。

參考文獻(xiàn)：

[1]王永春，再論極限思想[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015，（5）：50.

（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 ? 200241）