關于人教版教材中兩個習題的探討

戎松魁

人民教育出版社2014年出版的義務教育教科書六年級《數學》中有兩個習題值得探討。

習題一 “參賽作品共有125幅，一等獎6幅，二等獎占參賽作品的16%，三等獎的數量比二等獎的數量多4%。提出用百分數解決的問題，并進行解答。”（六年級上冊第93頁練習19的第10題）

根據題中所給條件，容易算得二等獎的數量為20幅，又根據“三等獎的數量比二等獎的數量多4%”，可以得到算式20×（1+4%）=20.8（幅），就是說三等獎的數量是20.8幅。顯然，獲獎作品數量應當是整數幅，不可能是20.8幅，可見這個習題出了問題。究其原因，主要問題是出在“4%”這個數據上。一般來說，舉辦一次書法作品或美術作品比賽，在獲獎數量分配上，三等獎的數量不可能只比二等獎數量多4%。如果我們將“4%”改成“80%”（或更大一點的百分數），則可得到三等獎的數量是36幅（或更多一點），不會出現“三等獎作品是20.8幅”的尷尬。與教科書配套的《教師教學用書》在該題的“編寫意圖”中指出，要使學生“進一步提高解決百分數實際問題的能力”。那就首先要使提出的問題與實際生活情況基本相符，然而該題所給出的條件與實際情況完全不相符合，因此難以提高學生解決實際問題的能力。

如果說習題中的問題是教材編寫者的粗心所致，那么與教材配套的《教師教學用書》第175頁上所寫的“編寫意圖”更是令人費解。“編寫意圖”中指出：“第10題，讓學生根據相關信息，提出用百分數解決的問題。既可以培養學生選擇合適的條件提出問題的能力，又可以回顧之前所學的相關的百分數知識，理清數量之間的關系，進一步提高解決百分數實際問題的能力。例如，一等獎占參賽作品的百分之幾？二等獎和三等獎分別有多少幅？二等獎比三等獎多百分之幾？一等獎比二等獎、三等獎分別多百分之幾？獲獎的作品占參賽作品的百分之幾？”

根據已知條件已經知道一等獎6幅，由計算得出二等獎20幅，三等獎20.8幅，在這種情況下，怎么能求出“二等獎比三等獎多百分之幾”呢？又怎么能求出“一等獎比二等獎、三等獎分別多百分之幾”呢？在教材中出現這樣的問題真的令人難以相信。

習題二 ?“甲、乙兩個足球隊之間近期的5場比賽成績如右表。如果兩個隊現在進行一場比賽，請預測一下哪個隊獲勝的可能性大。為什么？”（六年級下冊第99頁練習21第7題）

該題早在2006年義務教育課程標準實驗教科書《數學》六年級下冊第113頁上就出現了。當時與該教材配套的《教師教學用書》在第165頁上給出了這樣的答案：“從兩隊的歷史戰績來看，各是兩勝一平兩負，不相上下;從這一點來判斷，兩隊獲勝的可能性都是二分之一。但是，仔細觀察可以發現：在離比賽最近的兩場比賽中均是乙隊獲勝，說明最近乙隊的狀態好于甲隊，由此可以預測：乙隊獲勝的可能性稍大一些。這種判斷也有一定道理。”

筆者曾撰文（發表在《中小學數學（小學版）》2014年第12期上）指出，《教師教學用書》所說的“兩隊獲勝的可能性都是二分之一”是錯誤的，說“乙隊獲勝的可能性稍大一些”也是不完整的。像這樣的習題是不宜作為小學生的練習的。然而，在2014年人教社出版的義務教育教科書《數學》六年級下冊第99頁上又出現了這個習題。題目并沒有變，而答案進行了修改。在與新課本配套的《教師教學用書》第205頁的“編寫意圖”中給出了如下的答案：“第7題，答案不唯一，只要理由相對合理即可。從兩隊的歷史戰績來看，各是兩勝一平兩負，不相上下，兩隊獲勝的可能性差不多;從進球數看，在所有比賽中，甲隊比乙隊多進一球，甲隊進球能力有可能會比乙隊強些，甲隊獲勝的可能性大一些;但是，仔細觀察可以發現，最近的兩場比賽中均是乙隊獲勝，而且進球數也增加了，說明最近乙隊的狀態好于甲隊，因此預測乙隊獲勝的可能性稍大一些。”

“編寫意圖”指出該題的“答案不唯一”，這里似乎給出了3個答案。為了敘述方便，把答案進行編號。答案1：兩隊獲勝的可能性差不多。答案2：甲隊獲勝的可能性大一些。答案3：乙隊獲勝的可能性稍大一些。由于在每個答案前都給出了“相對合理”的理由，因此“編寫意圖”中認為這三個答案都是對的。

此題果真有這樣三個答案嗎？值得探討。

首先我們來分析答案2和答案3。

如果甲同學如“編寫意圖”中所說的那樣對比賽情況作了分析，然后回答：“甲隊獲勝的可能性大。”部分教師就會按“編寫意圖”所說，認為他分析得有理，給予“答案正確”的評價。

而乙同學如果也如“編寫意圖”中所說的那樣對比賽情況作了分析，然后回答：“乙隊獲勝的可能性稍大一些。”同樣會獲得“答案正確”的評價。這樣一來，從不同的角度進行分析，可以得出完全不同的答案，這兩個答案都正確嗎？

事實上，甲同學在分析中看到甲隊的有利條件，而沒有看到乙隊的有利條件，分析問題并不全面，因而得到的結論并不可靠。同理，乙同學只看到乙隊的有利條件，沒有看到甲隊的有利條件，得到的結論也不可靠，而且兩位同學都沒有考慮到甲、乙兩隊獲勝的可能性可能相等的情況。因此，這兩個答案都不能說是正確的答案。

我們再來考察答案1：“兩隊獲勝的可能性差不多。”這里并沒有回答哪一隊獲勝的可能性大，而是使用了“差不多”這一模糊的概念來給出答案。“差不多”與“差得多”并無明確的界線，這里“獲勝的可能性差不多”是什么意思呢？似乎囊括了“甲隊獲勝的可能性比乙隊大”“乙隊獲勝的可能性比甲隊大”“甲、乙兩隊獲勝的可能性相同”這些情況，如果這樣，答案1也包含了答案2和答案3。因此，“編寫意圖”中說“答案不唯一”，并給出了這樣三個答案是不妥的。值得注意的是，在答案2中說“甲隊獲勝的可能性大一些”，而在答案3中說“乙隊獲勝的可能性稍大一些”，這里分別用“大一些”和“稍大一些”表示比較結果。這樣的差別是怎么得到的呢？

事實上，“編寫意圖”中對5場比賽情況的分析還是有可取之處的。但不能把分析的結果割裂開來當作該題的三個答案。如果我們把分析的結果“綜合”起來就會發現：僅僅根據甲、乙兩隊前面5場這樣的比賽結果，我們無法正確預測“下一場比賽哪個隊獲勝的可能性大”。

足球比賽的情況比較復雜，各隊上場隊員隨時可以調整，連比賽場地（主場、客場）都會影響比賽結果。足球場上的情況也可以說是瞬息萬變的。特別是對于兩個實力相當的球隊來說，如果僅僅根據前5場比賽結果，要預測下一場比賽哪一個隊獲勝的可能性大，并要說出“為什么”，真的不是一件容易的事。從《教師教學用書》對該題答案的修改可以看出，有些教師也難以給出該題的正確答案，為什么要小學生來解這樣的題呢？如果我們對學生各種不同的預測都給予肯定的評價，那將不利于培養學生全面分析問題的能力。為此，筆者再次建議，像這樣的習題應該從小學數學課本中刪去。

（杭州師范大學教育學院 ? 311100）