運算律，為何只在加法和乘法中討論？

錢紅明 嚴育洪

“望”：病例觀察

一位教師把“加法交換律”和“乘法交換律”、“加法結合律”和“乘法結合律”分別整合成一節課教學。

教學“加法交換律”之后，作為過渡，教師讓學生猜想“在其他運算中是否也有交換律”。

在探究過程中，學生發現乘法有交換律，減法和除法不滿足交換律。然而，有一位學生認為也有減法交換律和除法交換律，例如：18-2-3=18-3-2，18÷2÷3=18÷3÷2。

教師一看，傻了眼，不知如何解釋，只好含糊地說道：“這是減法和除法的性質，與運算律無關。”

……

“問”：病歷記錄

筆者課后問執教教師：“你認為有減法交換律和除法交換律嗎？”

執教教師答道：“書上說沒有，只有加法性質和除法性質。”

“在‘18-2-3=18-3-2’和‘18÷2÷3=18÷3÷2’中，‘2’和‘3’不是交換位置了嗎？”筆者笑著問道。

“是啊。我也搞不懂為何沒有減法交換律和除法交換律？”執教教師一臉困惑。

筆者追問：“真的如你所說，運算性質與運算定律之間沒有關系嗎？”

執教教師缺乏自信地答道：“這個我也吃不準，總在想減法和除法的運算性質為啥不叫減法和除法的運算定律……”

……

“切”：病理診治

運算定律與性質是計算教學中的一個特殊的學習內容，是四則運算的“等價變化”規律，一般在整數四則運算中探究相應的定律與性質，在小數、分數四則運算中進行推廣。

在運算律單元中，教材編排順序大都是“加法交換律→加法結合律→乘法交換律→乘法結合律→乘法分配律”，這是按照“運算”來安排的。上述課例中，教師按照“規律”來重組教材，好處是學生容易聯想到“在其他運算中是否也有交換律”，有利于學生發散思維、類比思維、創新思維和整體思維的培養，也有利于過渡到乘法交換律的教學。也就是說，乘法定律可以讓學生基于加法定律類比出來，同樣，減法性質與除法性質的關系也可以通過類比得到。在教材重組中，加、減法的運算定律和性質的教學可看作“教學結構”階段，乘、除法的運算定律和性質的教學就可看作“運用結構”階段。

正因為重組教材之后的教學相對開放，有學生想到了減法交換律和除法交換律。根據前一篇文章所述，交換律只是指“兩個元素參加運算”的情況，所以“a-b-c=a-c-b”依然屬于加法交換律和結合律的推廣，引入負數之后，它可以變式為“a-b-c=a+（-b）+（-c）= a+（-c）+（-b）=a-c-b”，同樣，“a÷b÷c= a÷c÷b”依然屬于乘法交換律和結合律的推廣，引入分數之后，它可以變式為“a÷b÷c=a××= a××= a÷c÷b”。由此可見，上述課例中教師所說的“這是減法和除法的性質，與運算律無關”，前半句說對了，后半句說錯了。

由此，我們還可以看出，基本運算律之所以不涉及減法和除法運算，一是因為在自然數集中，減法與除法運算不是封閉的，所以不能討論關于它們的運算定律問題;二是因為在引入負數后，減法運算封閉了，從而把減法納入了加法的范疇，同樣在引入分數后，除法運算封閉了，從而把除法納入了乘法的范疇。也就是說，加法和乘法的運算定律已經涵蓋了減法和除法，在理論上已具完備性，所以不用再對減法和除法的“運算律”單獨討論。這就是執教教師的困惑——“為何沒有減法交換律和除法交換律”的理由。

此時，可能有人會問：“a-b-c =a-（b+c）”這一減法的運算性質和“a÷b÷c= a÷（b×c）”這一除法的運算性質也能與五個運算定律掛上關系嗎？確實，它們都可以通過運算定律推導出來：

不僅運算性質與運算定律之間息息相通，而且運算性質之間同樣息息相通，例如“a-b-c=a-c-b”這一減法性質亦可由“a-b-c= a-（b+c）”這一減法性質推導出來，同樣，“a÷b÷c= a÷c÷b”這一除法性質亦可由“a÷b÷c=a÷（b×c）”這一除法性質推導出來。

由此可見，規律是基本的，而性質是規律的延伸和推廣。減法或除法的運算性質在數的理論系統中，不是源，只是流，因此與基本運算律不可等量齊觀。從數學史看，我們的祖先在給出運算的定義之后，最主要的基礎工作就是研究該運算的性質。在運算的各種性質中，最基本的幾條性質，通常稱為“運算定律”。由此可知，運算定律是運算體系中具有普遍意義的規律，可作為推理的依據，如上述根據運算定律來證明運算的其他性質，根據運算定律和性質來證明運算法則的正確性等。這就是執教教師的困惑——“減法和除法的運算性質為啥不叫減法和除法的運算定律”的答案。

基本的運算定律涉及了加法運算和乘法運算，單一的加法運算和乘法運算中包含了交換律和結合律，而分配律是加法運算和乘法運算的混合運算。無疑，分配律一直以來是教學的難點。

在小學數學中，分配律是重要的算術運算性質，它聯系了乘法和加法兩種算術運算，溝通了這兩種運算之間的關系。然而，分配律簡單地說成乘法分配律，隱去了分配律中的加法運算，給學生“加法在分配律中的作用比乘法在分配律中的作用小”的錯覺。在國外的數學書中，稱分配律為“加法之上的分配律”或“關于加法的乘法分配律”或“乘法對加法的分配律”，國內有些數學著作也稱分配律為“加乘分配律”，拓展到減法運算時再稱為“減乘分配律”，這樣的命名可能更利于學生理解。在此，我們就可以根據“乘法對加法的分配律”這一名稱，抓住其中的“分配”兩字，來幫助學生記憶和運用：先把a分配給b與c，并分別與b和c相乘得到兩個積后再做和的過程。當然，也可以說成：先把“（b+c）”分成兩部分，然后把b和c分別配給a相乘，最后合起來（如下圖）。

對乘法分配律而言，它也可以推廣到兩個數的差跟一個數相乘：a×（b-c）= a×[b+（-c）]= a×b+ a×（-c）= a×b-a×c，有的書上也稱乘法對于減法的分配性質。但是對于除法，沒有“a÷（b±c）= a÷b±a÷c”這個分配性質，因為從意義上來說，除法是不可以分配的，除法是平均分，所以除法不可以。如果這樣轉化一下：a÷（b±c）= a×，a÷b±a÷c= a×±a×=a×（±），我們不難發現“”與“±”并非一回事。

到此，可能有人會說，“（a±b）÷c=a÷c±b÷c”這個不是除法分配律嗎？其實，它的真身依然是乘法分配律：（a±b）÷c=（a±b）×=a×±b×= a÷b±a÷c。

最后，順便一提的是，在數學運算中常常需要把分配律倒過來用，不能叫作“應用了乘法的分配律”，只能講是“逆用了乘法分配律”。因為它不再是“分配”，而是“合成”。其“分配”過程可以用來解釋多位數乘法計算法則，其“合成”過程則體現著化歸思想，如“78×2.1+2.2×21”可以轉化成“78×2.1+22×2.1”，進而轉化成“（78+22）×2.1”，即“100×2.1”。

（江蘇省無錫市碩放實驗小學 214142

江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214191）