經歷圖形認知過程 積累思維活動經驗

宋健泳 范新林

數學是思維的科學，數學教學的重要任務之一就是要幫助學生積累思維經驗、發展思維能力。這里所說的思維經驗，主要是指思維活動中所獲得的過程性體驗。可見，思維經驗的積累與學生在數學學習中的思維參與程度密切相關，思維介入越積極，所獲得的體驗也就越深刻。那么在具體的教學實踐中，思維經驗該如何體現？教師又應該如何幫助學生積累思維經驗？筆者將結合“平面圖形的認識”的教學作一些探討。

“平面圖形的認識”是“圖形與幾何”領域的重要內容。小學階段認識的平面圖形包括：線和角、三角形、四邊形、圓和扇形等。一般來說，認識圖形的特征需要經歷的數學活動包括描繪、抽象、分類等。因此，在設計和開展這些數學活動時，教師應該具有明確的目標意識和過程意識，這是有效積累思維經驗的前提。

一、在圖形的描繪中提取思維的元素

思維的元素是指思維活動的基本構成單位，如概念、命題等。在圖形認知的思維活動中，基本的思維元素是點、線、面、體，教師可以通過圖形的描繪認識這些基礎的幾何概念。

事實上人們對圖形的抽象就是從描繪物體的外部形象開始的，也就是將三維空間的物體用線條描繪在二維平面。同樣，小學生認識圖形首先也要經歷描繪圖形的過程。教材中針對小學生的思維特點，一般將生活中的三維物體處理成圖片的形式呈現（如圖1，“角的初步認識”人教版二上第39頁），從而簡化了抽象的過程。

教材中的圖片是靜態呈現的，描繪圖形則是一個動態的過程。這就需要教師在教學中改變圖片的呈現方式，使學生借助觀察、操作等實踐活動經歷從實物圖片中描繪、勾勒數學圖形的過程，從而積累思維經驗。

圖1

1.出示課本實物，找一找課本封面的角在哪里？學生大都指向角的頂點。

2.多媒體呈現課本圖片，并動態演示（隱去原圖，留下一個點，如圖2）。請學生判斷是不是角。

學生都認為這只是一個點，不是角。

3.進一步思考，怎樣畫才能形成一個角？學生認為還要畫上兩條邊（動態演示，圖3）。

4.用水彩筆描出右面圖中（圖4）的角。

5.反饋后多媒體動態演示（圖5）。

6.說一說數學中的角是什么樣的。

從上述教學活動中可以看到，盡管“點、線、面、體”這些概念非常抽象，學生卻可以通過描繪和勾勒在自然而然的狀態下提煉出來。可見，描繪對于圖形的抽象是極其重要的，這是從生活到數學的抽象，因而是最直接、也是最本源的思維經驗。除此以外，在教學活動中還拓寬了學生的思維視角。如一開始學生只關注局部，他們把物體“尖尖的部分”看成是角，這是源于生活中對桌角、墻角等的認識，與作為幾何圖形的“角”是不同的。但是，錯誤也是一種經驗。在動態演示（舍去實物的圖片背景）中，學生逐步認識到“尖尖的部分”只是一個點，只是“角”的一個部分。要完整地表示一個“角”，需要關注圖形的整體，即還要在“點”的基礎上輔上兩條邊。顯然，這樣的認識是直觀的，也是深刻的。

二、在圖形的抽象中實現思維的聚焦

經歷圖形的描繪過程使學生認識了平面圖形的構造方式——點和線的組合。但要深入了解圖形，還需要進一步抽象圖形的基本特征。所謂抽象，就是“對同類事物抽取其共同的本質屬性或特征，舍去其非本質的屬性或特征的思維過程”。這個取舍的過程從思維的角度講就是一個聚焦的過程。以“長方形和正方形的認識”的教學為例，過程如下：

1.呈現用各種顏色彩紙剪成的四邊形（圖6），從中找出長方形。

圖6

學生一致認為圖①、圖③和圖⑦是長方形，對圖④是不是長方形有爭議，大多數同學認為它是正方形而不是長方形。

2.討論：圖①、圖③和圖⑦顏色不同、大小不同，為什么它們都是長方形？你們是怎么判斷的？

討論后學生的意見趨于一致，即兩條標準：四個角都是直角、相對的邊相等。

3.對圖①、圖③和圖⑦進行操作驗證（量一量、折一折）。

4.進一步討論：圖④是一個正方形，如果用長方形的標準去判斷，它符合要求嗎？

經過充分討論和思辨，學生開始認可圖④也是一個長方形。

5.思考：正方形是特殊的長方形，特殊在哪里？

從本質上講，圖形的抽象就是舍去顏色、質地等物理屬性，研究形狀、大小、位置關系等數學屬性。對于長方形和正方形，學生在一年級時已有了初步認識（圖7）。這節課的教學任務是認識長方形和正方形的特征，其中難點在于理解和接受“正方形是特殊的長方形”這一具有從屬關系的概念。為此，一方面教學中有意識地設置了一些干擾因素，如不同的顏色、不同的大小、擺放的角度，還包括長方形的形狀也有所區別。這樣設計的意圖在于延長思維聚焦的體驗過程，即擺脫一些非本質因素的影響，有選擇地將思維關注點逐步聚焦于決定圖形特征的兩個要素：邊和角。或者說，讓學生充分理解只要符合對邊相等、四個角都是直角的四邊形，不管是什么顏色、多少大小、長的、扁的、正著放、斜著放都叫長方形;同樣，判斷一個四邊形是不是正方形也只要看是不是符合四個直角、四邊相等就可以了，與其他因素無關。另一方面，在這個過程中學生還學會了用一個確定的標準去進行判斷，并以此認識了長方形和正方形之間的從屬關系，突破了教學難點。判斷是一種較高層次的思維形式，在這里也可以理解為是一種思維經驗的具體體現。

三、在圖形的分類中梳理思維的脈絡

分類是認識事物的一種重要的方法。分類的基礎是比較，在認識圖形的教學中分類的過程就是通過比較不斷尋找圖形之間共性和差異的思維過程，也是對圖形本質特征的認識不斷深化的過程。如果從思維的角度看，分類活動包含了思維的起點、“拐”點、條理和層次等，我們稱之為思維的“脈絡”。如三角形的分類：

1.出示下圖（圖8），給圖中的三角形分一分類。

圖8

反饋：

方案一：圖④、圖⑦為一類;圖①、圖②、圖③、圖⑤、圖⑥為一類;

理由：有直角的分一類，沒有直角的分一類;

方案二：圖④、圖⑦為一類;圖③、圖⑥為一類;圖①、圖②、圖⑤為一類;

理由：有直角的分一類;有鈍角的分一類;都是銳角的分一類;

方案三：圖②、圖⑥、圖⑦為一類;圖①、圖③、圖④為一類;圖⑤為一類;

理由：有兩條邊一樣長的分一類;三條邊都一樣長的分一類。

2.比較這四種不同的分法，你有什么發現？

學生討論后得出：前兩種方案都是根據三角形的“角”來分類的，方案三則是根據“邊”的長度來分類的。

3.揭示：如果按“角”分，一般分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。想一想，一個三角形會不會既是直角三角形又是銳角三角形？

生：有可能，因為直角三角形里也有銳角。

生：不可能。任何一個三角形里都有銳角的，銳角三角形必須三個都是銳角。所以直角三角形不可能是銳角三角形。

師：也就是說如果按“角”分類，那么一個三角形不可能同時具備兩類不同的特征。這樣的關系我們可以用一幅圖來表示。（呈現圖9）

4. 揭示：如果按“邊”分，有兩類特殊的三角形：等腰三角形、等邊三角形。想一想，等邊三角形是不是等腰三角形？

生：是的。只要兩條邊長度相等就是等腰三角形，等邊三角形三條邊的長度都相等，當然也是等腰三角形。

師：我們可以把等邊三角形看作是特殊的等腰三角形。它們的關系也可以用怎樣的圖來表示呢？（呈現圖10）

分類時首先要考慮的是確定分類的標準，這是思維的起點。對于平面圖形來說，分類的主要標準是“邊” 和“角”。其中，按“邊”分類主要考慮的是條數、長度和位置關系（如對邊是否平行）;按“角”分類則主要考慮直角，如有沒有直角（本質上還是邊的位置關系——鄰邊是否垂直）或者以直角為“分水嶺”。這樣的經驗在前面的學習中學生其實已經有所感悟，因而在上述案例中可以看作是思維經驗的運用。教學中要求學生陳述分類的理由，分享分類的經驗，這是幫助學生體驗思維邏輯性和條理性：思維的起點（分類的標準）不同，所得到的結論迥然相異。進一步，教師還要引導學生感悟思維的層次性，即按照這兩種標準分類后，各類三角形相互之間的關系是不一樣的。按角分類重點關注的是“差異性”，所分得的三類三角形是“互不兼容”的并列關系;按邊分除了關注差異還要關注“共性”，如等邊三角形既然三條邊都相等，則必然其中有兩條邊相等，也就是具備了等腰三角形的特征，這是一種從屬關系（包含關系）。這種思維經驗的積累將為學生后繼學習中研究圖形之間的關系打下良好的基礎。

綜上，可以看到思維經驗是一種基于主觀的、富有感性特征的過程性體驗。盡管它是一種隱性的數學素養，但在教學中幫助學生有效積累思維的經驗也并非無跡可循。只要教師有意識地展開數學知識的發生過程，積極引導學生展開思維活動，那么思維層面的體驗與感悟將不斷豐富、不斷積淀，最終會形成特有的數學思維方式，并逐步建立一定的數學直觀。

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