探索知識的海洋，激蕩思維的琴弦

崔平社

摘 要： 2014年11月，在西安高新一中開展了全國“聚焦課堂”活動，參與講課的三位老師分別來自清華附中、上海北郊高級中學、西安高新一中，本節課教學的主要內容是理解函數零點的定義及方程的根與函數的零點之間的聯系，了解“函數零點存在”的判斷方法，對新知識加以應用；滲透由特殊到一般的認識規律，提高學生的抽象和概括能力，領會數形結合、化歸等數學思想；認識函數零點的價值所在，使學生認識到學習數學是有用的，培養學生認真、耐心、嚴謹的數學品質；讓學生在自我解決問題的過程中，體驗成功的喜悅.三位的展示雖然在知識背景、教學習慣上不盡相同，但是卻折射出相同的教學理念，作者結合對新課程的理解，試從他們成功的亮點談談認識和體會，供大家參考.

關鍵詞： 函數性質 同課異構 方程

一、案例分析

1.情景導入——“形態各異”.良好的開端是成功的一半，一節課也是如此.如果能夠在數學課堂上創設好的數學問題情境，讓學生懷著求知的欲望和愉悅的心情學習數學知識，就會使學生變苦學為樂學、變被動為主動探索，課堂就會充滿朝氣、活力.

案例1：醉不成歡慘將別（復習式）

T：請判斷一元二次方程2013x■-2015x+1=0是否有實數解？

S■：因為△=（2015）■-4×2013>0，所以方程有實數解.

T：很好！還有其他方法嗎？

S■：令f（x）=2013x■-2015x+1，由f（0）=1>0，f（1）=-1<0，頂點在x軸下方，所以方程有實數解.

T：這位同學將解決方程問題轉化為函數問題，回答正確！還有哪位同學有其他見解？

S■：判斷一元二次方程2013x■-2015x+1=0可以通過兩個函數y■=2013x■與y■=2015x-1的交點有無進行，顯然兩圖像有兩個交點，所以方程有實數解.

同學們通過不同的角度回答問題，從本質上解決了我們今天要講的第一個概念——函數的零點，請看函數的零點的定義（略）.

案例2：忽聞水上琵琶聲（發現式）

T：你如何看待y=2x-1？

S■：直線.

S■：一次函數.

T：作出直線y=2x-1，不難得出直線與x軸交點的橫坐標為■，■你是如何得到的？

S■：直線y=2x-1與x軸交點的橫坐標.

S■：y=2x-1對應方程的解.

T：■也是今天我們要講的函數f（x）=2x-1的零點.請看函數的零點的定義（略）.

史寧中教授認為：問題往往是看出來的，而不是證出來的，牛頓覺得“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”.

案例3：尋聲暗問彈者誰（設疑式）

T：方程3x■+6x-1=0的解？（學生有些遲疑）

T：有五次方程求根公式嗎？（學生搖搖頭）

T：（微笑）不刁難大家了！其實在1825年，挪威學者阿貝爾（Abel）證明了：一般的一個代數方程，如果方程的次數n≥5，那么此方程不可能用根式求解.即不存在根式表達的一般五次方程求根公式.這就是著名的阿貝爾定理.

學生釋然.

T：但今天我們想借助函數解決這個問題，求出它的近似解.

學生此時有些迫不及待.在講授某些新知識前，教師可先提出一些與學生已有知識相聯系而暫時有無法解答的問題，讓學生產生懸念，急于要了解問題的結果，使學生一開始就對新問題的學習產生濃厚的興趣.

2.探究過程——“千姿百態”.在教學中，問是很重要的，進而應該是有技巧的.好的問題對于激發學生的思維，活躍課堂氣氛，鞏固學生所學知識，提高學生能力起到積極的作用.

案例1：轉軸撥弦三兩聲（實問和虛問）

T：請看下面一段文字填空，然后請三位同學作答.

若函數y=f（x）在區間[a，b]？搖？搖？搖？搖？搖？搖 ，并且 ？搖？搖？搖？搖？搖？搖 ，則在（a，b）內，函數y=f（x）？搖？搖 ？搖有一個零點，即相應的方程f（x）=0在（a，b）內 有一個實數解.

S■：圖像連續不間斷.

S■：區間端點值相反即f（a）f（b）<0.

S■：至少……

T：上面這段話就是零點存在性定理.

“實問”即針對教學內容和知識點間的內在聯系進行提問，一般用于難度較大或較抽象的新知識學習過程中.“虛問”是似問非問，巧設迷霧，但要虛中有實，一般用于活躍課堂氣氛.對于一些重要的概念，一般水平的學生往往以為能記住、背熟就算是懂了，其實不然，教師在課堂上應針對一些知識提出一系列題意明確、清楚的問題，誘發學生思考、理解，幫助他們克服盲目自滿情緒，達到突破、分散難點，提高學習效率的目的.

案例2：弦弦掩抑聲聲思（啟發性提問）

T：函數y=f（x）在區間[a，b]上有f（a）f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）上是否一定存在零點？

S■：不一定，比如分段函數.

T：很好！還有哪些函數？

S■：反比例函數.

T：很典型！那需要添什么條件可使得函數y=f（x）在區間（a，b）上是一定存在零點？

S■：函數y=f（x）為連續函數.

T：由存在性定理能確定區間上零點的個數？

S■有1個3個5個等.

T：你說的都是奇數，有偶數嗎？

S■：有！上臺我畫.

T：不錯！什么條件下函數y=f（x）在區間（a，b）上有且僅有一個零點？

S■：函數y=f（x）在區間（a，b）上為單調函數.

T：好的，以上回答從本質上解釋了零點存在性定理.

教師通過提問啟發學生發現問題；通過追問啟發學生發現認識過程中自相矛盾之處，從而掌握正確知識；通過啟發學生提出問題，在自我評價與集體評價相結合的評價方式中有效提高自我學習的能力.

案例3：低眉信手續續彈（階梯式提問）

T：（回到課前提出的問題）判斷方程3x■+6x-1=0是否有實數解？

S■：有，因為f（0）=-1<0，f（1）=8>0，f（0）f（1）<0，根據零點存在性定理，該方程有解.

T：有幾個？

S■：有一個，因為函數f（x）=3x■+6x-1為單調增函數.

T：能否寫出一個有解的閉區間？

S■：根據第一位同學所講應該是[0，1].

T：能否將有解的閉區間[0，1]再縮小？S■：[0，■].

T：以上幾位同學回答得都很漂亮！當然，根據今天所學的定理我們可以將有解區間進一步縮小，最后達到方程的近似解.

在課堂教學過程中，教師的提問應該要由低層次的機械記憶、認知類問題逐步過渡到深層次的分析理解、綜合應用、鑒賞評價類的問題，這樣一系列的“階梯式”提問方式，可以讓學生的思考由表及里，從而養成從機械記憶到深層思考的良好習慣，拓展學生思維的深度.

二、教學感悟

合理的問題設置，猶如一顆石子投向平靜的湖面，總能激起學生思維的“千層浪”，成為發展學生思維能力，提高課堂教學效率的有效途徑；尊重學生的思維過程，因為他們時刻在創造，過多地將自認為自然的解法技巧強制灌輸給學生，不但不能達到預期效果，反而容易挫傷學生學習的積極性.可以這樣說，新課堂要努力引導學生播種生命的理想，探索知識的海洋，激蕩思維的琴弦，收獲人生的幸福.