數學思想在大學課堂教學中的滲透

張律文　王令群

摘 要： 在高校課堂教學過程中，數學思想的滲透是當前教育教學研究中的一個新課題，也是提高教學質量的又一重要途徑，它有助于進一步發展學生的智力和思維能力，培養學生的積極創新意識.本文就數學思想在大學教學活動中的滲透方法和若干應用范例作探討，分析滲透數學思想的重要意義.

關鍵詞： 數學思想 大學課堂教學 滲透方法

新世紀中國大學生迎來了更多的機遇和挑戰，快速發展的時代對當今大學生掌握知識的質和量有了更高的要求.著名科學家華羅庚說：“只教會了學生知識，沒有發展學生思維的教師不是好教師.”在當今大學課堂教學中，大學生思維能力的培養與數學思想的滲透有著更緊密的聯系.從某種意義上說，在課堂教學中滲透數學思想比單純地傳授某一知識更重要，它不僅能提高學生分析和解決數學問題的能力，還能啟發和幫助引導學生將這種能力遷移到對其他學科的學習和深層研究上，從而讓學生終身受益.

一、常用的幾種基本數學思想

數學思想是對數學概念、理論和方法的本質認識.大學教師只有明確了各種數學思想的含義和本質，才能在課堂教學中得心應手地滲透這些思想.常用的基本數學思想有以下幾種：

（一）分類思想

分類思想是依據數學對象本質屬性的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的一種數學思想.如空間解析幾何與向量代數中的向量線性運算、向量積、曲面及其方程等內容的分類，幾何圖形及其位置關系的分類，數學分析中的極限、導數和微分、積分等內容的分類.分類思想還體現在概念的定義中，如函數間斷點的分類：

函數間斷點第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點？搖第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點？搖

運用分類思想時，要注意分類的對象既不重復又不遺漏，還要注意每次分類必須保持同一標準.例如對“推理”這一概念的分類，如果按照推理的運動過程劃分，則推理可以分為歸納推理、演繹推理和類比推理三類；如果按照其結論真實程度劃分，則推理可分為可靠推理（結論為真）與似真推理（結論可能真，也可能假）兩類.

分類思想的運用有助于學生歸納和鞏固所學的知識，使知識更條理化、系統化，從而形成一個網絡化的知識結構.同時，還有利于提高學生的解題思維能力，在解答較復雜的問題時可以運用分類思想，把復雜問題分解成幾個簡單問題，從而找到問題解答的正確途徑.

（二）類比思想

類比思想是指在兩類不同的事物或兩個不同的數學問題之間進行比較，找出若干相同或相似點以后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方法.類比思想在數學教學中有著廣泛應用，具體表現在數與式之間、平面與立體之間、一元與多元之間、低次與高次之間、相等與不等之間、有限與無限之間.數學中有不少定理、法則往往是先用類比的思想方法引入，然后加以嚴格證明的.比如在平面直角坐標系下有：直線的一般方程，Ax+By+c=0；

通過類比但未得到證明所引出的結論并不一定真實，需經演繹證明.盡管如此，它在課堂教學中仍有著舉足輕重的作用.

1.解釋性作用

類比能把已知對象的明確性和可理解性遷移到所研究的對象上，使學生更易于理解那些較難的知識.比如，設力F與位移S成θ角，物體在力F的作用下產生位移S，因而力F對物體所做的功為|F|·|S|cosθ.此例說明，力對物體所做的功，可以看做力F和位移S這兩個向量的某種運算的結果.類比這個例子的明確性和可理解性，引出向量數量積的概念，可以使學生加深對該概念的理解，從而使所學知識更鞏固、更扎實.

2.探索和發現作用

如前所述，與平面里的點與線、線與線的關系類比，學生可以探索在空間里點、線、面相互間的關系和性質，并通過類比得出一系列結論（推測性的），然后深入探討并加以論證，會掌握一部分結論的真假，從而激發學生進一步探尋和發現新知識研究新知識的興趣.

學生在運用類比思想解決問題時，根據需要，有時對概念、結論進行類比，有時對方法進行類比.

（三）化歸思想

在數學研究中，對一個新問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個已經解決的問題或容易解決的問題，這種解決問題的思想叫做化歸思想.如解析幾何，就是將幾何問題通過建立直角坐標系化歸為代數問題，再由代數問題化歸為方程求解問題.

教師在課堂教學中滲透化歸思想，可以幫助學生尋求解決新問題的突破口，加深對知識內在聯系的認識，訓練學生思維的靈活性，培養學生辯證分析的觀點，使學生認識到事物都是可以互相轉化的.各學科的學習也是如此，關鍵是把握事物間的內在聯系，尋求問題轉化的途徑.一旦完成了轉化，問題就納入到了一個熟悉的渠道，解決起來自然水到渠成.

（四）歸納思想

研究一般性問題時，先研究幾個簡單的、個別的、特殊的情況，從中歸納發現一般的規律和性質，這種從特殊到一般的思維方法被稱為歸納思想.很多數學知識的發生過程就是歸納思想應用的過程.運用歸納思想，可以培養學生觀察事物、歸納發現規律的能力；可以培養學生透徹分析、概括事物的能力，從而使學生對有關知識的認識更深入，理解更透徹.

二、數學思想滲透的途徑及方法

明確了常用的基本數學思想的含義，那么在課堂教學中如何滲透呢？筆者認為，應抓住整個課堂教學的全過程.在教學過程中，不失時機地進行滲透.課堂教學的過程是師生共同活動的過程，教師要精講，學生要精練.教師傳授知識，講解題目，揭示解題規律；學生應同步思維，鞏固知識，進行技能訓練.具體說來，有以下幾條途徑：

（一）教師在傳授知識時滲透

數學知識包括數學概念、公式、定理……這些知識的形成，都有一個過程.教師在課堂教學中，應重視知識形成的過程.在其中滲透數學思想，是一條重要的滲透途徑.任何知識形成的過程，一般都是由感性到理性，由具體到一般，由舊知到新知，由簡單到復雜……根據這一規律，教師可以滲透歸納思想.根據知識由舊知到新知，由簡單到復雜的形成規律，反過來逆向思維，新知也可以化歸為舊知，復雜也可以化歸為簡單，教師可以滲透化歸思想.下面就歸納思想和化歸思想在傳授知識時的滲透方法舉例如下：

1.歸納思想的滲透

由上述兩例看出，滲透化歸思想的關鍵應抓住兩點：一是明確朝什么方向化歸，即化歸成什么問題；二是采取什么手段和方法化歸.抓住了以上兩點，化歸的目的就達到了.

（二）教師在對學生進行技能訓練時滲透

在將數學思想滲透到教學過程中，師生共同活動，教師主導（設問、啟發、引導）、學生主體（動口、動手、動腦）、訓練主線（思維、技能、訓練），一一得到充分體現，課堂氣氛活躍.對學生進行技能訓練或實驗課教學中，抓住訓練良機，再一次向學生滲透數學思想.因此，教師的任務主要是設計好體現數學思想的訓練課題和實驗方案，讓學生通過訓練或實驗，激發思維，更好地掌握運用數學思想，增強應用能力和實踐能力，進一步樹立積極創新的意識.

數學思想在課堂教學中的滲透，自然對教師提出了更高的要求：既要加強學習，不斷提高專業水平以適應教學需要；更要認真鉆研教材，挖掘教材中滲透數學思想的因素，設計好如何“滲透”的具體措施和體現數學思想的技能訓練習題.

綜上所述，數學思想在課堂教學中的滲透，大大調動了學生在學習中運用數學思想的積極性，使學生分析和解決數學問題的能力得到了迅速提高，有助于進一步發展大學生的思維能力、研習能力和創新意識，同時也為課堂教學的改革和教學質量的提高起到了極大的促進作用.筆者深信：只要全體教師都認真研究它、實踐它，不斷探索，不斷總結，那么數學思想在課堂教學中的滲透，必將大大提高大學教學質量.

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注：本文所舉教學實例均參考《高等數學》（同濟大學應用數學系主編）（高等教育出版社）（普通高等教育“十五”國家級規劃教材）版次：1978年3月第1版2002年7月第5版印次：2005年11月第17次印刷.