“歸一問題”的有效教學嘗試

張冬梅

新人教版教材三年級上冊第71頁例8是一道乘除兩步計算解決問題的題目，如下：

兩步計算解決問題對三年級學生來說并不陌生，因為在二年級下冊時就已經接觸過，但這道題和二年級的兩步計算解決問題相比，又有所不同，它是先求出1個碗的價錢（單位數量），再求出8個碗的總價，這屬于歸一問題中的正歸一類型。在例8下面的 “想一想”中，還出現了反歸一問題，它是例題的變式問題，也是先求出1個碗的價錢（單位數量），但第二步與例題不同，要求30元里包含幾個這樣的單位。這樣的安排便于學生更好地理解，解決這類問題的關鍵是要先求出單價（單位數量），也就是“一份數”。

教學前，筆者選取學校三年級其中一個班，用“媽媽買3個同樣的碗用了18元，如果買8個這樣的碗，需要多少錢？”這道題做了前測，全班40位學生的測試情況如下表所示：

從前測中可以發現，班級中有16位同學不會正確列式，大多是用一步計算來解決的，其中有8位同學是用算式“18×8”來解決的，還有6位同學是用“3×8”等算式來解決，還有兩位同學無從下手。從他們的算式中可以看出，他們還沒有感悟到其中隱藏的 “一份數”這一概念。在得數等于48的24位同學中，有同學是直接用算式“8×6”來解決的，但卻說不清楚這個“6”是哪來的，從中可以看出，這些學生對歸一問題中這個“一份數”是有意識的，但認知還不夠清晰。歸一問題中的“一份數”是解題和建模的關鍵所在。因此，教師要讓學生理解并掌握歸一問題的基本結構和數量關系，必須是在充分感悟“一份數”的基礎上。那么如何讓學生去真正感悟呢？對此，筆者嘗試對“歸一問題”進行了教學實踐。

一、在新知學習中感知“一份數”

在例題中，一個碗的價錢是其中的單位數量，也就是“一份數”，教師要想讓學生去感知這個單位數量，在解題過程中可以借助圖示語言、思維表述、對比活動，讓學生去感知“一份數”，感受數量之間的內在關系，從而幫助他們建立起清晰的問題解決模型。

（一）借助圖示語言

圖示語言，就是把題目呈現的信息和問題，通過直觀形象的符號信息展示出來。為了便于學生畫圖，筆者把例題在原有基礎上進行了改編，如下：

1.在畫圖中感受

在讀取了信息和問題后，有學生已經知道了該怎么解決，而部分同學還是很茫然，面對三個信息，不知道該從何下手。于是，筆者放慢教學速度，讓不會做的學生畫一畫信息和問題，從中尋找解題的突破口。而讓會做的學生先把答案寫在括號里，然后再把自己的思考過程用圖展示出來。通過畫圖，學生已經感受到了“一份數”的存在。

2.在說圖中感知

反饋時，筆者分別出示了實物圖、圓圈圖和線段圖。

讓學生說說是怎么畫的，你看懂了嗎？通過反饋，學生從示意圖中清楚地感受到了要解決買5個這樣的碗需要多少錢，先要知道其中1個碗的價錢。為了讓學生對“1個碗的價錢”這個單一量的感知更清晰，筆者在出示了其中一位學生的線段圖后，指導其余學生一起學畫線段圖。先在黑板上畫出“買2個同樣的碗用了12元”，然后問學生：“買5個這樣的碗需要多少錢該怎么畫？”學生回答：“畫5段。”筆者又問：“每段有多長？”學生回答和上面的每一段一樣長。從學生的回答來看，學生已經真正感知到了其中的“一份數”。

（二）借助思維表述

在解決問題教學過程中，引導學生正確表述自己所理解的數量關系，結合具體情境闡述自己的解題思路也是一個相當重要的過程，它能促進學生的思維從直觀感知上升到數學理解。在兩步計算解決問題中，教師更應重視學生解決問題思路的表述，尤其是中間問題，在歸一問題中，也就是“一份數”的來龍去脈。

1.在口頭表達中感受

在學生嘗試列式后，教師要給學生提供充分的交流機會。在出示了算式“12÷2=6（元），5×6=30（元）”后，通過“你的想法是怎么樣的，你看懂了嗎？他先解決了什么問題”，讓學生完整說說“先算什么，再算什么”。通過交流，再一次把“一份數”凸顯出來。

2.在書面表述中感知

教師還可以在學生闡述想法時，借鑒老教材的教法，把問題的解決步驟通過板書呈現出來，如下：

1個碗多少錢？12÷2=6（元）

5個碗多少錢？5×6=30（元）

這樣，通過把分步解決的問題板書出來，讓學生對“一份數”的感知更深刻。

（三）借助對比活動

在例題后的“想一想”中，還出現了反歸一問題“18元可以買3個碗，30元可以買幾個同樣的碗？”這是以對比編排的形式來呈現的，怎樣利用好教材設計的“對比”，讓學生在對比活動中加深對“一份數”的理解，獲得分析和解決歸一問題的基本方法呢？我們可以在教學時，在解決了“買5個這樣的碗需要多少錢？”后，讓學生根據“媽媽買2個同樣的碗用了12元”，也來提一個問題，根據學生的提問，出示如“36元可以買幾個這樣的碗”，同樣讓學生列式后說說思考過程。

1.在相同處感受

在列式解決了以上兩道題后，教師可以讓學生說說兩道題之間的相同點，通過對比，學生發現，在解決這兩道題時，都是先解決“買1個碗多少錢”的問題，通過對比歸納，再次突出“1個碗多少錢”這個“一份數”。

2.在規律中感知

在對比練習后，再次安排了一個體會個數和錢數的關系活動，根據學生的回答，依次分個數和錢數兩列板書，買1個碗是6元錢，買2個碗是12元錢，買3個碗是18元錢，依次類推，讓學生發現，當買的碗的個數越來越多，錢的總數也越來越多，當錢的總數越來越少，買的碗的個數也越來越少，但其中不變的是1個碗的價錢，通過找規律再次去深刻感知“一份數”。

二、在鞏固學習中豐富“一份數”

在一些生活問題中，“一份數”無處不在，它不僅僅是指“1個碗的價錢”，還可以表示不同的含義，像“平均每分鐘做6只紙飛機、平均每組有6位同學、平均每分鐘做6道題”都是“一份數”。教材中“做一做”呈現的“一份數”也有別于例題：

在這道題中，“平均每天看8頁”就是其中的“一份數”，筆者認為，這道題設計的目的不但要讓學生熟練歸一問題的解題規律，更重要的是要豐富學生對“一份數”的認知。在深刻研讀了教材的練習后，筆者在鞏固學習中設計了一個連線題，想通過這三道題，達到豐富學生對“一份數”的認知目的。

（一）在反饋中豐富“一份數”

在呈現的三個問題中，第1、2小題比較簡單，在學生連線后，分別說說想法，特別是先解決了什么問題？在說想法的過程中去豐富學生對“一份數”的認識。第3小題對部分學生來說有難度，這里出現了一個干擾數據“8分鐘”，受此影響，有學生連了第1個算式。在反饋中，學生明白了其實要解決的問題是“照這樣計算，做完30道口算題需要幾分鐘”的問題，如果用第1個算式來解決，那么要解決的問題是“照這樣計算，8分鐘可以做幾道題？”在分別出示了這兩個數學問題后，讓學生找一找這兩題有什么相同的地方，通過比較，學生發現，在解決這兩道題時，都是要先解決“平均每分鐘做幾道題”，在這里，“平均每分鐘做6道題”是其中的“一份數”，利用錯誤資源，再一次豐富學生對不同于“1個碗多少錢”的“一份數”的認知。

（二）在歸納中豐富“一份數”

在解決了第3小題這個難點后，筆者又設計了這樣一個環節，那就是找出這三道題有什么相同的地方，通過比較，學生發現在解題時都先用“18÷3=6”算出了“一份數”，那么“18÷3=6”在不同的題目中表示的含義一樣嗎？讓學生再一起說一說，在第1題中，“18÷3=6”表示“平均每分鐘折6只紙飛機”，第2題中，“18÷3=6”表示“平均每組有6位同學”，而第3題則表示“平均每分鐘做6道題”，而在生活實際中，“18÷3=6”還可以表示不同的“一份數”，通過歸納總結，再一次豐富了學生對“一份數”的認知。

三 、在拓展學習中深化“一份數”

在教材的練習中，還有這樣一道題：

其中的第1小題，既可以用歸一的方法也可以用倍比的方法來解決，但這兩種方法的共通之處是都先解決了“一份數”的問題，在歸一方法中，筆者把“平均每名同學擦4塊玻璃”看作“一份數”，而在倍比方法中，卻把“3名同學擦12塊玻璃”看作了“一份數”，這是對傳統意義上“一份數”的深化，筆者在拓展練習中設計此類練習，在感知、豐富“一份數”的基礎上，深化對“一份數”的認識。設計練習如下：

這是一道可以用正歸一、反歸一和倍比三種方法來解決的問題。在反饋時，先進行正歸一和反歸一的比較，鞏固本課的新知。在此基礎上，重點通過交流、畫圖去理解倍比方法，溝通歸一和倍比方法，深化學生對“一份數”的認識，從而幫助學生靈活運用模型，正確解題。

（一）在溝通中深化“一份數”

正歸一和反歸一的方法對學生來說很容易理解，但正歸一和倍比方法有什么相同之處，學生是很難去發現和歸納的。于是，在理解倍比方法“8÷2=4 ，4×10=40（元）”時，筆者讓學生嘗試著去畫一畫、圈一圈，借助圖示來解釋算式的意義。通過幾何直觀，學生理解了這種方法其實是把“2張票多少錢”看作了“一份數”，8里面有4個2，也就是要付4個10元。

通過這道題，學生找到了歸一和倍比方法的相同之處，也深化了對“一份數”的認識。

（二）在拓展中深化“一份數”

除了讓學生理解可以把“2張票多少錢”看作“一份數”，還需要讓學生認識到，在解決一些生活實際問題時，也可以把“3個蘋果多少錢、4個人一共折了幾個紙飛機”看作“一份數”，通過教師舉例、學生交流，深化對“一份數”的認識，在尋找更多“一份數”的基礎上，還可以讓學生通過合作，去提一些既可以用歸一方法來解決的問題，也可以用倍比方法來解決的問題，在具體的問題情境中深化學生對“一份數”的認識。

在課堂教學后，筆者又對參與前測的班級進行了后測，測試題分別是：

1.小林讀一本故事書，3天讀了24頁，照這樣的速度，7天可以讀多少頁？

2.同學們大掃除，3名同學擦12塊玻璃。照這樣計算，教室里共有36塊玻璃，一共需要幾名同學？

3.把3本相同的書摞起來，高度是18毫米。如果把9本這樣的書摞起來，高度是多少毫米？

全班40位學生的測試情況如下表：

在3題全部做對的學生中，第3小題很多學生是用倍比方法解決的。在做對2 題的學生中，有兩位學生是出現了計算錯誤，而方法是正確的。還有一位學生做對1題，一位學生全錯，需要進行個別指導。從后測結果來看，讓學生在新知學習中感知“一份數”，在鞏固學習中豐富“一份數”，在拓展學習中深化“一份數”，大部分學生對“一份數”有了清晰和深入的認識。當然，從后測中也能看到問題：做對的學生是真的掌握了這類問題，還是只是在套用這個模型；一旦把題目換成歸總問題，學生還會不會靈活解決；教師的教學策略應如何進行調整；練習應如何進行有效設計；等等。這是我們接下來要思考并努力的方向。

（浙江省平湖市乍浦天妃小學 314200）