“倍的認識”一課的教學與思考

周興華 蔡宇清

“倍”是小學階段非常重要的一個概念，“倍的認識”這節課便是認識“倍”的概念的起始課，近些年來也倍受大家的追捧，在知網中以 “倍”作為關鍵詞進行檢索，會檢索到上千篇文章，可見它的受喜愛程度。為了對“倍的認識”的教學有更好的認識，筆者近期整理了一些文獻，通過對文獻資料的梳理，讓筆者對“倍”的教學研究再一次進行了思考。

一、教師眼中的“倍”

從眾多發表的文章中，我們可以發現，多數教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關系的一種表達方式，其數學核心思想是：用一個量去刻畫另一個量?！氨丁贝碇鴥蓚€數量間的比較關系，它產生的前提和基礎是兩者比較，而關鍵是要把其中一方以另一方為標準，分成相同的幾份。[1]“倍”是學生在刻畫兩個量之間關系的時候，第一次從絕對數量的比多少，到相對數量的關系的轉變。對于中高年級即將接觸到的“分數”“百分數”“比”甚至以后的函數等內容的學習，起著至關重要的作用。還有教師認為：“倍”是刻畫兩個量之間關系的眾多表達方式中的一種，和其他的刻畫方式屬于同等位置，應該和眾多的刻畫方式建立起聯系，并將“倍”的刻畫方式準確地納入到表達關系這一知識體系當中。

目前，從研究現狀來看，多數一線教師對“倍”的理解到了“關系”的層面，北京教育學院劉加霞老師認為“倍”是從加法結構到乘法結構的轉折點。小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構基礎上產生的高層次的數學認知結構。乘法結構不是指單一的認識乘法，而是一個概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關的倍、最大公因數、最小公倍數、運算律甚至面積、體積、表面積、速度等概念和定律。[2]從現狀來看，從乘法結構的角度去進一步研究“倍”未必不是一個新的研究方向，我們既可以從乘法結構聚焦到“倍的認識”，也可以從“倍的認識”輻射到乘法結構。

二、教師在教學時關注到了什么

（一）學生學習的基礎

美國著名認知心理學家奧蘇伯爾說：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學?！币痪€教師在“倍”的教學時，能從學生的已有認知出發，幫助學生建立新舊知識之間的聯系。教材中“倍”的概念是依據乘除法知識中“幾個幾”“份”的概念擴展而來的，通過兩個數量的比較，由“份”引出“倍”，使學生初步認識“倍”的含義，這就是學生已經具備了的認識“倍”的基礎。[3]針對“倍”的意義理解，就是要讓學生對乘法意義中的“幾個幾”與新知“幾倍”形成關聯。教師應引導學生運用已有知識經驗來認識概念的本質，建立新舊概念間的聯系，以促進知識的有效遷移。

（二）教學情境

北師大版教科書以快樂的動物為情境，通過問題串一步步引導學生對不同動物的只數進行比較，從而認識“倍”的概念。人教版教科書則是讓學生在用小棒拼擺圖形的過程中建立“倍”的概念。在實際的教學中，教師進一步把它轉換成了各種各樣有趣的情境，有的以猜數游戲開始，有的先利用拍手歌激趣，有的是先動手擺不同顏色的圖片再發現數量關系的問題，有的是比較不同事物的數量關系，有的是比較物體的長度關系，有的創設挑戰三個卡通人物帶來的數學問題的情境，等等。無論什么樣的問題情境，目的都是讓學生在其感興趣的情境中，獲得積極的情感體驗，在感受數學的魅力的同時掌握“倍”的概念。

（三）從關系入手，理解“倍”的意義

前文中提到，多數教師把“倍”看成是刻畫兩個量關系的一種表達方式。因此教師往往從研究關系入手，來理解“倍”的意義。例如北京海淀教研室的郭麗軍老師在教學時先出示3個紅圓片、3個黃圓片，問兩種圓片的數量有怎樣的關系？然后增加3個黃圓片，再讓學生說一說3個紅圓片和6個黃圓片又有怎樣的關系。學生最先會發現多少的關系，然后教師慢慢地引導學生從多少的關系過渡到倍的關系，也就是讓學生的思維從加法結構上升到乘法結構。

（四）注重動手操作，利用畫圖表征，促進“倍”的理解

教師一般通過引導學生畫一畫、比一比等操作活動，引發、激活學生頭腦中的原有認知，并使之外顯；然后引導學生進行討論和交流，從“幾個幾”的角度初步認識“倍”的含義。認知心理學認為，概念形成其實可以概括為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現抽象概念在思維過程中的具體再現。在這兩次必備轉換過程中形成完整表象是最重要的一個環節。但由于低年級學生表達能力的欠缺，讓學生通過畫圖表征來表達出自己構建的概念表象就顯得尤為重要。畫圖表征在實物操作與抽象思維之間架起了橋梁，讓學生在圈一圈、畫一畫中初步建立“倍” 的表象，有利于學生有效表達自己構建的概念表象。

（五）在不斷對比與抽象中， 逐步理解“倍”的意義

烏申斯基說：“比較是一切理解和一切思維的基礎。我們正是通過比較來了解世界上的一切的……”通過畫圖等手段初步認識了“倍”后，如何讓學生進一步理解“倍” 的概念呢？這就需要在不斷對比與抽象中，舍棄各種非本質的特征，在變化中抓住“不變”， 而這“不變” 就是它們的量性特征，就是“倍” 的本質。許多教師會設計多個比較的環節，例如：一份數不變，幾份數在變，倍數也隨之變化；一份數在變，幾份數也在變，倍數卻不變。通過比較，引導學生逐步明晰和把握概念的本質，使認知和理解走向深入。

三、“倍”的認識的新思考

雖然我們認識了“倍”的本質，雖然我們了解了學生的學習基礎，但是對于“倍”的理解，學生還是有一定困難的，雖然學生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但這并不表示學生真正認識、理解了“倍”，在運用時仍然會出現許多困難。這首先受到兒童自身的認知結構水平的影響，從加法結構到乘法結構，學生認知結構需要發生一定程度“質”的變化。倍的學習是發生質的變化的第一次機會，學生學習“倍”都要經歷從加法結構到乘法結構的轉變，認知結構的轉變是學生學習的最大困難。[4]其次是因為該知識點本身的難度，“倍”不是單一的乘法結構，它是乘法意義的拓展延伸，但同時也包含對除法意義的理解，這無疑會對初次理解“倍”的概念的學生造成一定的困難。

學校最近開展了“課堂觀察”研究，通過教師和學生一對一的課堂細致觀察，我們還發現了學生在學習“倍”的過程中有如下三個問題。

（一）學生對“關系”不理解

“關系”一詞在現代漢語詞典中的解釋是：事物之間相互作用、相互影響的狀態。日常生活中我們經常會用到這個詞，感覺理解起來很簡單，但孩子對于用在數學背景中的“關系”一詞并不是很理解，大多數學生聽到教師提出的問題“它們之間有什么關系？”時表現出了聽不懂的狀態，所以教師在這時不妨停一停，可以舉個例子來進一步說明，這樣學生才能更好地繼續下面的學習。

（二）理解“倍”的概念不能只通過觀察

通過對文獻的梳理，我們發現許多一線教師都是讓學生直接通過觀察靜止的事物來找數量之間的關系，例如黑板上擺好的教具或畫好的簡單圖形。當教師在黑板上擺出6個紅色圓片和3個白色圓片時，學生會很快說出6比3多3或者3比6少3，但很難想到6里面有2個3，或者是6是3的2倍，這也恰恰說明了兒童的認知從加法結構上升到乘法結構是十分困難的。怎樣能讓學生自然地過渡呢？通過嘗試，我們發現“動手操作”是一個可行的辦法。課前為學生準備一些可以擺動的學具，例如最簡單的小圓紙片，學生在擺一擺學具的過程中，會非常自然的產生分堆的想法（如下圖），他們會把3個白紙片擺成1堆，把6個紅紙片擺成兩堆，這里的“一堆”就是“1份”或者叫作“1倍量”最好的形體展示，這樣學生從形上更自然地想到6里面有2個3，這就是學生腦子中最初的“倍”。

許多教師為了讓學生更好地理解“倍”，看清數量之間的關教師一上課就讓學生去圈一圈，然后直接引出了“倍”的概念。筆者認為這樣做也許有點太快了，“倍”的認識需要一個時間的等待，我們不妨放慢腳步，在學生初步建立“倍”的概念時，能通過教師的引導動手擺一擺，其實擺出的“1堆”和圈出的“1份”能達到異曲同工之妙，而動手擺一擺會讓學生對“倍”的認識更加深刻。

（三）“倍”難于表達

學生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但在描述時仍然會出現許多困難。認識“倍”就要求學生能夠理解“倍”的含義并學會表達“倍”。在表達“倍”時，我們不要急于給學生標準的表達形式，而要等待。根據學生的年齡特點，學生的理解能力前于學生的表達能力，所以我們認為學生表達不清楚是正常的。在表達“倍”的時候，我們可以嘗試用畫圖的方式進行多個角度的表達以加深理解。

“倍的認識”一課不是一節新課，但是作為一名青年教師，我們需要有把它看成一節新課去研究的意識，我們更需要有站在前輩的肩膀上去思考、去研究、去創新的精神。

注釋：

[1] 高麗杰.從“形”到“數”，在不斷對比與抽象中認識“倍”[J].小學教學（數學版），2010（1）.

[2][4]劉加霞.從加法結構到乘法結構：“倍”是轉折點——評析高麗杰老師的“倍的初步認識”[J]. 小學教學，2010（07～08）.

[3]顧曉東. 基于已有經驗的意義關聯——“倍的認識”教學反思與改進[J].小學教學參考，2014（1）.

（中國農業科學院附屬小學 100081）