一道解析幾何題的探究

于澤國

根據原國家教委《普通高等學校招收少數職業技術學校畢業生的規定》和原勞動部《天津職業技術師范學院單獨招生辦法》文件規定，采取單獨命題、單獨考試錄取的辦法，從技工院校優秀畢業生中招生，為職業教育培養“雙證書、一體化”的職教師資，下面對單獨招生考試中出現的一道解析幾何題進行探究.

一、考題再現

2014年天津職業技術師范大學招生考試的19題為：直線L：y=kx+1與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B，（1）求實數K的取值范圍；（2）是否存在實數K，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出K的值，若不存在則說明理由.本道題目是一個良好的素材，可供學生學習，教師研討.本文將探究該考題知識點，并適當改編.

二、解法呈現

評析：從以上解答過程，我們可以看出，問題①要求較基礎，問題②要求考生有較強的分析和計算能力，該考題的背景為直線與圓錐曲線的關系.

三、知識點分析

直線與圓雉曲線位置關系的基礎知識為：

（1）直線與圓雉曲線位置關系可通過對直線方程與圓雉曲線方程組成的二元二次方程組的解的情況來討論.

（2）若方程組消元后得到一個一元一次方程，則相交于一個公共點.值得注意的是，直線與二次曲線只有一個公共點時，未必一定相切，還有其他情況，如拋物線與平行（或重合）于其對稱軸的直線，雙曲線與平行于其漸進線的直線，它們都只有一個公共點，位置不相切，而是相交.

（3）直線與圓雉曲線的位置關系，還可以利用數形結合，以形助數的方法解決.

本考題第②問，考查學生在運用知識和方法的過程中表現出的能力，著力考查學生的數學素養、潛能和邏輯思維能力.本題從直徑所對圓周角為直角入手得到PA⊥PB，再由韋達定理得到關于k的方程，進而解出k的值，但計算過程較復雜.

四、考題改編

此直線與雙曲線無交點，故L不存在.本題為我校參加天津職業技術師范大學2015年單獨招生考試班的二模試題，讓筆者和一些老師出乎意料的是，班上基礎較好的學生也沒有用判別式驗證，所以得出了錯誤的結論.本題的關鍵點在于求出k的值，并不能說明滿足題意的直線存在，一定要用判別式驗證.

天津職業技術師范大學單獨招生考試，十分注重基礎知識和基本技能的考查，對圓錐曲線等主干知識均已解答題形式出現，考題源于課本，高于課本，重視能力，有一定的廣度和深度，教師在平時的講解過程中應做到分析合理、講解到位、注重基礎，從而使學生真正理解數學問題的內在聯系.