以排列組合解題談數學教學過程

盧夏冰

摘 要： 什么是數學教學過程？教學論認為：數學教學過程既是一種特殊的認識過程，又是一種促進學生全面發展的過程，是認識與發展相統一的活動過程。新課程標準下數學教學過程可做這樣的表述：數學教學過程是師生雙方在數學教學目的指引下，以數學教材為中介，教師組織和引導學生主動掌握數學知識、發展數學能力、形成良好個性心理品質的認識與發展相統一的活動過程。

關鍵詞： 數學教學 排列組合 轉化

數學教學過程還可以這樣表述：從結構來看，它是一個以教師、學生、教材、教學目的和教學方法為基本要素的多維結構；從功能來看，它是一個教師引導學生掌握數學知識、發展數學能力、形成良好心理品質的認識與發展相統一的過程；從性質來講，它是一個有目的、有計劃的師生相互作用的雙邊活動過程。

排列組合作為高中代數課本的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學”的難點。相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但由于學生認知水平、思維能力在一定程度上受到限制，一時還不太適應。從而導致學生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”。針對這一現象，筆者在日常教學過程中經過嘗試總結出一些想法與各位同行交流。

學生“怕”學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，解決問題的關鍵是將抽象問題具體化，不妨將原題轉換一下，讓學生走進題目中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。不僅激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性，讓學生在具體問題分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，從而做到以不變應萬變。當然，具體教學過程中一定要注意題目轉換的等價性、可操作性。

下面就教學過程中的兩個難點通過兩個特例做進一步說明。

1.占位子問題

例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

①仔細審題：在轉換題目之前先讓學生仔細審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目：在審題的基礎上，為了激發學生興趣進入角色，將題目轉換為：

讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準備好放在講臺前），要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③解決問題：這時我再選另一名學生安排這5位學生坐位子（學生爭著上臺，積極性得到極大提高），班上其他同學都積極思考（充分發揮學生的主體作用和主觀能動性），努力“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學們有了統一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學，種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據乘法原理得到結果為=20（種）。這樣原題就得到了解決。

④學生小結：接著我讓學生之間互相討論，根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤老師總結：對于這一類占位子問題，關鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2.分組問題

④老師總結：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進行排列。

以上是一節課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學效果比較顯著），進一步活躍課堂氣氛，更全面地調動學生的學習積極性，發揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題、解決問題。

新課程標準下教師已經不再是單純地傳授知識，而是幫助學生吸收、選擇和整理信息，帶領學生管理人類已形成和發展的認識成果，激勵他們在繼承基礎上發展；教師不單是一個學者，精通自己的學科知識，而且是學生的導師，指導學生發展自己的個性，督促其自我參與，學會生存，成才成人。教師的勞動不再是機械重復，不再是課堂上千篇一律的死板講授，代之而行的是主持和開展種種認知性學習活動，師生共同參與探討數學的神奇世界；新課程標準下的教師不再是學生知識的唯一源泉，而是各種知識源泉的組織者、協調者，他們讓學生走出校門，感受社會和整個教育文化。可以說，促進人的發展，促進文化和科學技術發展，促進社會生產發展，是新課程標準下數學教師的根本任務。