直線與圓錐曲線位置關系高考綜合題初探

柏文峰

前言引入：直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了高中解析幾何中直線，圓錐曲線兩章的知識內容，還涉及函數、方程、不等式、三角函數、平面向量，平面幾何等許多知識，形成了軌跡、最值、弦長、對稱、范圍、參系數等多種問題，對于考查學生的數學思維能力、計算能力、推理能力等是一個很好的平臺，因而成為解析幾何中綜合性最強、能力要求最高的內容，也成為高考的重點和熱點.

高考目標：掌握直線與圓錐曲線的位置關系，運用函數與方程、等價轉化、分類討論等思想方法，解決有關定點、定值、最值、參數范圍等簡單的實際問題等.

高考重點：直線與圓錐曲線中的弦長，面積，角度，最值、值域、參數范圍問題，定點、定值，以及探究性問題等.

高考難點：圓錐曲線與三角、函數與方程、不等式、數列、平面向量等知識的綜合應用.

要點梳理：

1.直線與圓錐曲線的位置關系

（1）直線與橢圓的位置關系的判定方法：

將直線方程與橢圓方程聯立，消去一個未知數，得到一個一元二次方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.若Δ>0，則直線與橢圓相交；若Δ=0，則直線與橢圓相切；若Δ<0，則直線與橢圓相離.

（2）直線與雙曲線的位置關系的判定方法：

將直線方程與雙曲線方程聯立，消去y（或x），得到一個一元方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.

①若a≠0，當Δ>0時，直線與雙曲線相交；當Δ=0時，直線與雙曲線相切；當Δ<0時，直線與雙曲線相離.

②若a=0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.

（3）直線與拋物線的位置關系的判定方法：

將直線方程與拋物線方程聯立，消去y（或x），得到一個一元方程ax■+bx+c=0（或ay■+by+c=0）.

①當a≠0時，用Δ判定，方法同上.

②當a=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，只有一個交點.

2.有關弦長問題

有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，簡化運算.

（1）斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點p■（x■，y■），p■（x■，y■），則所得弦長|p■p■|=■|x■-x■|或|P■P■|=■|y■-y■|，其中求 |x■-x■|與|y■-y■|時通常使用根與系數的關系，即作如下變形：

|x■-x■|=■，

|y■-y■|=■.

（2）當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算（利用兩點間距離公式）.

3.弦的中點問題

有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，韋達定理，中點坐標公式“設而不求法”簡化運算.

題型一：直線與圓錐曲線的位置關系

【例1】若曲線y■=ax與直線y=（a+1）x-1恰有一個公共點，求實數a的值.

解：聯立方程y=（a+1）x-1y■=ax.

（1）當a=0時，此方程組恰有一組解為x=1y=0.

（2）當a≠0時，消去x，得■y■-y-1=0.

①若■=0，即a=-1，方程變為一元一次方程-y-1=0.

方程組恰有一組解x=-1y=-1，②若■≠0，即a≠1.

令△=0，得1+■=0，可解得a=-■，

這時直線與曲線相切，只有一個公共點.

綜合上述可知，當a=0，-1，-■時，直線與曲線y■=ax恰有一個公共點.

探究提高：本題設計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數■=0，即a=-1的可能性，從而漏掉兩解.

本題用代數方法解完后，應從幾何上驗證：

①a=時，曲線y■=ax即為直線y=0，此時已知直線y=x-1恰有一個交點（1，0）；②當a=-1時，直線y=-1與拋物線y■=-x的對稱軸平行，恰有一個交點（代數特證）.

題型二：圓錐曲線的弦長問題

【例2】已知△ABC的頂點A，B在橢圓x■+3y■=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l.

（Ⅰ）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；

（Ⅱ）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程.

解：（Ⅰ）因為AB∥l，且AB邊通過點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x，設A，B兩點坐標分別為（x■，y■），（x■，y■），由x■+3y■=4y=x得x=±1，

所以|AB|=■|x■-x■|=2■，

又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，于是h=■，

所以S■=■|AB|·h=2.

（Ⅱ）設AB所在直線的方程為y=x+m，

由x■+3y■=4y=x+m得4x■+6mx+3m■-4=0，因為A，B在橢圓上，所以△=-12m■+64>0，設A，B兩點的坐標分別為（x■，y■），（x■，y■），則x■+x■=-■，x■x■=-■，所以|AB|=■|x■-x■=■，

又因為BC的長等于點（0，m）到直線l的距離，即|BC|=■，

|AC|■=|AB|■+|BC|■=-m■-2m+10=-（m+1）■+11，所以當m=-1時，AC邊最長（這時△=-12+64>0），此時AB所在直線的方程為y=x-1.

探究提高：本例主要考查直線與二次曲線相交所得弦長問題的解法，弦長公式、整體代入等運算方法和運算技巧，解答此類問題要注意避免出現兩種錯誤：（1）對直線l斜率的存在性不作討論而直接設為點斜式，出現漏解或思維不會造成步驟缺失.（2）對二次項系數不為零或△≥0這個前提忽略而直接使用根與系數的關系.

題型三：圓錐曲線的弦中點問題

【例3】已知橢圓■+y■=1的左焦點為F，O為坐標原點.

（1）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；

（2）設過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.

解：（1））∵a■=2，b■=1，∴c=1，F（-1，0），l：x=-2.∵圓過點O、F，

∴圓心M在直線x=-■上.設m（-■，t），則圓半徑r=|（-■）-（-2）|=■，由|OM|=r，得■=■，解得t=±■，∴所求圓的方程為（x+■）■+（y±■）■=■.

（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入■+y■=1，整理得

（1+2k■）x■+4k■x+2k■-2=0，∵直線AB過橢圓的左焦點F且不垂直于x軸，∴方程有兩個不等實根，記A（x■，y■），B（x■，y■），AB中點N（x■，y■），則x■+x■=-■.

∴AB的垂直平分線NG的方程為y-y■=-■（x-x■）

令y=0，得Xg=X■+ky■=-■+■=-■=-■+■

∵k≠0

∴-■

∴點G橫坐標的取值范圍為（-■，0）.

探究提高：直線與圓錐曲線位置關系的判斷、有關圓錐曲線弦的中點問題等能很好地滲透對函數方程思想和數形結合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式，根與系數的關系，以及設而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數學思想方法的熱點題型.

題型四：圓錐曲線的定點，定值及最值問題

【例4】直線y=kx+b與橢圓■+y■=1交于A、B兩點，記△AOB的面積為S，（Ⅰ）求在k=0，0

解：（Ⅰ）設點A的坐標為（x■，b），點B的坐標為（x■，b），由■+b■=1，解得x■=±2■，所以S=■b·|x■-x■|=2b·■≤b■+1-b■=1，

當且僅當b=■時，S取到最大值1.

（Ⅱ）由y=kx+b■+y■=1得（k■+■）x■+2kbx+b■-1=0，

△=4k■-b■+1，

|AB|=■·|x■-x■|=■·■=2②

設O到AB的距離為d，則d=■=1，

又因為d=■，所以b■=k■+1，代入②式并整理，得k■-k■+■=0，

解得，k■=■，b■=■代入①式檢驗，△>0，

故直線AB的方程是y=■x+■，或y=■x-■，或y=-■x+■，或y=-■x+■.

探究提高：在探求最值時，常結合圖像的幾何直觀，充分利用平幾結論，借助函數的單調性或基本不等式或三角代換使問題得解.同時要注意未知數的取值范圍及最值存在的條件.

總之，解決圓錐曲線的綜合問題，需要較強的代數運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和運算，推理轉換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，保證結果的完整.要做到這一點，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質，注意挖掘知識的內在聯系及其規律，通過對知識的重新組合，達到鞏固知識、提高解決問題能力的目的.