基于多元表征的高職數學教學研究

鄭虹婷

摘 要： 高職數學教育現面臨困境，學生厭學情緒嚴重。本文首先剖析了多元表征的概念及其在教育上的功能，然后提出了高職數學的多元表征教學模式，并以極限教學為例闡述這一教學模式的教學過程。

關鍵詞： 多元表征 高職數學教學 教學模式

中國高等職業教育從20世紀70年代后期發展至今已歷經三十多年。在這三十多年發展過程中，數學課似乎已經處于尷尬地位。一方面，高職教育不同于職業培訓與中職教育，培養的是高等技術應用型人才，因此必須具備高等人才的素養及今后在工作中發展的潛力，這就要求高職教育保留數學課程。另一方面，高職教育面對的學生與普通大學學生相比的“低”學習基礎和“低”學習能力使得大多數的高職數學課堂教學效率低下，學生厭學，教師不愿教。數學課程在高職教育中成了一塊名副其實的“雞肋”，高職數學教學改革任重而道遠。將前沿的教育心理學理論融入教學方法改革，尋求突破當前高職數學教學困境勢在必行。

一、關于多元表征及表征方法

表征的研究是認知科學、教育等領域的熱門話題，其中多元表征研究更是數學教育心理學國際研討組（Intemational Group for the psychology of Mathematics Edueation，pME）的研究主題，PME專門成立了數學學習表征研究工作組，研究主題不僅包括關注實驗情境中多元外在表征對學習影響的研究，近年來更重視在真實、日常教學情境中“從多元表征學習”（learning from multi-representatsons）和“用多元表征學習”（learning with multi-representations）等領域的研究。

研究表明：表征既是數學的一部分又是理解數學的手段[1]， 問題解決者的表征在他們解決問題中起關鍵作用[2]。表征成為解決數學 問題中問題解決者的思維工具或問題解決交流的理解表達， 成為問題解決者交流數學問題并解決問題的思維記錄. 因此，可以認為表征水平影響甚至決定問題解決者的能力水平[3]。表征教學是指教師與學生在課堂上所使用的幫助他們解釋概念、關系或關聯及解題的表達。

盡管目前，各國研究者對表征的分類不相一致，但一般都將外部表征分為敘述性表征和描繪性表征兩大類，敘述性表征的本質是抽象符號，如數學學習中的話語、文本、數學公式等；描繪性表征的本質是圖像符號，如圖片、圖表、教具模型、實物情景、甚至用以傳遞動作與情感經驗的各種手勢、表情動作等[4]。而數學學習中的多元表征就是指對需要學習的某個數學對象，用敘述性表征和描繪性表征兩類本質中的多種形式對其進行表征，使得這個數學對象中的表征形式豐富而多樣，從而更容易被學習者接受，并且更深刻理解。

二、高職數學用運用多元表征教學模式

1.原有的多元表征教學模式

有研究者提出有效的初中代數思維教學程序是：先以問題或問題變式的提出激發學生的學習動機， 促使學生對問題涉及的知識內容的表征進行探究； 其次引導學生對表征進行變式， 形成多元表征， 得到初步理解； 然后將獲得的符號表征應用于問題解決及其變式中， 使之化解于各種知識網絡結構中， 強化對知識的深層理解； 最后， 通過對問題解決變式的探究， 在培養思維品質的同時， 形成代數知識內容的抽象表征， 即對代數核心思想、等價（ 非等價） 關系、 模式的理解和應用[3]。這種教學培養模式以抽象表征的獲得作為數學知識獲得的終結。

2.原有教學模式中的問題

原有多元表征的教學模式有一點是值得思考的，即描繪性表征是否是敘述性表征的低級表現形式？這個問題可以在數學教學中表述為：對于一個要學習的數學對象，學生已經掌握了其描述性表征，那么在此基礎上是否能進一步抽象出其敘述性表征？反之，學生已經能對此對象進行敘述性表征是否能說明他已經能對此對象進行描述性表征。但是目前腦成像研究證明[5]，抽象概念加工與具體概念加工會分別激活不同的腦區。在Scorolli等人（2011） 的實驗中證明，主體對具體概念和抽象概念的表征可能涉及不同的表征系統。國際數學教育研究也表明[6]，中國學生更擅長敘述性表征形式，對于描述性表征更缺乏。以上研究表明：敘述性表征與描述性表征之間雖然有緊密聯系，但并沒有必然包含的關系，即：敘述性表征不是描述性表征的高級抽象形式，學生能理解數學對象的符號表征，不表明他能將數學對象用其他描述性表征形式表征，甚至有可能在各種實際情景中無法再認出來。

3.改進的多元表征教學模式

綜合前面的教學模式及存在的問題，我們將高職數學的多元表征形式教學模式程序表示為：首先提出問題情境，激發學生對所提出問題進行以描述性表征為主的多元表征探究；其次引導學生對問題進一步思考，在描述性表征的基礎上，形成敘述性多元表征；然后解決問題，使得此數學對象成為學生知識網絡中的一部分；最后，提出新的問題，并指導學生在新的問題情境下，對此對象再次進行不同形式的描述性多元表征，深化學生對此數學對象的實踐與應用。并且其過程是以“提出問題 —描繪性多元表征問題— 敘述性多元表征問題本質—理解和掌握相關數學知識—用相關知識多元表征同類問題”為單元的循環過程， 其具體情形如圖 1 所示：

描繪性表征？搖？搖敘述性表征？搖？搖？搖？搖 描繪性表征

？搖？搖？搖？搖↑？搖？搖 ？搖↑？搖 ？搖？搖↑ ？搖↑

→提出問題—分析問題—解決問題—概念形成—問題（概念）深化→

圖 1

三、高職數學用運用多元表征教學案例

案例：數列極限概念的多元表征教學過程

首先，教師展示圖片利用面積法求數列a■=■的和，對極限概念進行圖片表征，如圖2；

其次，學生動手折棒，親歷“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的情景，進行實際操作表征；

接著，學生在不同數軸上做出多個數列圖像表征，例如a■=■ （如圖3），a■=（-1）■■， a■=（-1）■，a■=2n的圖像，將圖像分類并觀察其特點，對極限進行圖形表征；

圖3

然后在教師指導下用語言描述表征“當n趨近無窮大時， f（n）趨近某一常數A”數學極限概念，并用符號將其表征為■ f（n）=A，促使學生初步掌握數列極限概念；

再次，在教師的指導下，學生利用圓內接正多邊形推導圓面積計算公式的推導問題，對極限進行圖形表征（如圖4）；

最后，教師還可以以古詩 “孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”或“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”的意境表征加強學生對極限的感知。

參考文獻：

[1]BALLDL， HALVES， TWOTHS. Constructing and Using Represe ntational Contextsin Teaching Fractions[J]. An Integration of Research ：Rational Numbers， 1993（3）.

[2]EISENBERGT. On Different Factes of Mathematics Thinking[J]. Mathemati cs Thinking， 1996，32.

[3]李靜等.基于多元表征發展代數思維的教學模式研究 [J] .西南師范大學學報，2011.36（3）.

[4]黃瑾等.心理科學[J].2012，35（6）.

[5]殷融等.心理科學[J].2014，37（2）.

[6]黃金榮.中美學生數學學習的系列實證研究[M].教育科學出版社，2007.4.