學習資料對數學概念學習的影響

樊瑛

一、學習資料的來源對概念學習的影響

1.生活經驗

在日常生活中，學生通過各種活動，積累了一些與概念有關的原始經驗。這些經驗可以被運用到課堂教學中，發展學生的認知，從而促使學生認識概念，加深對概念的理解。

如，學生在學習《11到20各數》這一課時，認識計數單位“十”是教學的難點。雖然在前面學習《認識10》的時候已經初步感知了計算單位“十”，但是這樣的認識僅僅是教師告知學生，學生表面上的接納，并沒有真正理解計數單位“十”的作用，對計數單位“十”的理解僅僅停留在表面。因此認識計數單位“十”在認識整數結構認識中有著非常重要的作用，在此基礎上延伸出十進制及更高的計數單位。

學生在日常生活中沒有接觸到“計數單位”一詞，但是他們經常要進行數數的活動。曾經有學生在數數的時候，數到19就停了下來，過了一會兒他接著數“十十”。老師問：19接下來為什么是十十？學生回答：又有一個十了，就是十十。從學生的回答可以看出，學生在日常生活中已經積累了計算單位“十”的感性認識，當有2個十的時候就用“十十”表示，相信當他再次數到10個的時候會用“十十十”表示。因此在教學時，教師只要稍加指導：十十也就是2個十，2個十是20，學生很快就能理解計數單位“十”的概念。

2.生活中的數學問題

學生在生活中會遇到許多數學問題，例如，求和、求相差、比較等，其中利用平均數概念進行比較就是學生在生活中經常遇到的數學問題。以往教學平均數時教師往往給出幾個數，讓學生通過求和均分的方法找出平均數，這種孤立地進行平均數概念教學，學生只是能解決一些與平均數有關的實際問題，并沒有真正理解平均數的意義和價值，也就造成了對平均數概念理解得不夠深入。

理解平均數這一概念對于學齡教低（三年級及以下）的學生來說有一定的難度，且有不能像過去一樣把平均數概念簡化成求平均數，因此必須結合生活實際進行教學。教材通過學生常見的問題引入：男、女兩隊進行套圈比賽，男生4人，女生5人，每人都有15個圈，且已知每人套中的個數，解決“男生套得準一些還是女生套得準一些？”這個問題。在這里由于男女生人數不同，學生就無法把男女生一一對應進行比較，且比較總數也不合理的情況下，要解決“準一些”這個問題，自然而然地就引出了需要有一個數表示整體水平，這個表示整體水平的數也就是平均數概念的本質屬性。通過解決生活中與平均數的有關問題，學生理解了平均數的意義，了解了平均數的價值。

3.學生已有的認知結構

學生學習概念主要有概念的形成和概念同化兩種形式。在小學階段有概念是通過概念的形成學習的，例如：認識自然數、認識三角形、認識時、分、秒等，學習這些概念的時候要進行分類、比較、歸納、抽象、概括，得到事物的本質屬性。也有一些概念是通過概念的同化學習的，例如：等腰三角形、等邊三角形、認識梯形等，這類概念的學習要以學生已有的認知結構為基礎。

學生學習等腰三角形之前，原有的認知結構中已經掌握了三角形的概念，在此基礎上，引導學生通過測量三角形三條邊的長度，引導學生進行分類、歸納、概括得出等腰三角形的概念；在認識了等腰三角形之后進一步探究三角形三條邊長短情況下，進而得出等邊三角形的概念。在三角形概念的基礎上，從邊的角度進行分類，得到了兩個新的概念：等腰三角形和等邊三角形，同時把這兩個概念構建到認知結構中。在三角形概念的基礎上，既然可以從邊的角度得到新的概念，那么教師就可以引導學生從角的角度進行探究，從而又得到銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形概念，把這三個概念再次納入三角形認知結構中，這樣三角形這個認知結構才完整。

二、學習資料的選取對概念學習的影響

1.學習資料過易，學生無法突出概念的本質屬性

再談學生認識平均數概念，如果教材呈現的不是男生4人、女生5人而是人數的情況，學生就會把男女生逐一進行比較，忽視了要把男生組、女生組分別當成整體來看；或者在男女生人數不同的情況下，男生組每人的成績都在女生組每人的成績之上（或之下），那么就忽視了要用某個數表示整體水平，那么平均數的本質屬性就無法體現。由此可以看出，例題充分體現了整體性和整體水平，突出了平均數的本質屬性。

2.學習資料過難，學生無法找出概念的本質屬性

在教師給出的學習資料超出學生的認知能力范圍時，學生便無法獲得概念的本質屬性。

如，三年級下冊認識一些物體的幾分之一。例題首先是給出了一盤桃，盤中有4個桃■■■，平均分給4只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

在這里“盤子”起到了要把這4個桃看成一個整體的作用，如果沒有盤子，學生很難理解要把4個桃看成一個整體，從而對認識一些物體的幾分之一造成困難。

三、學習資料的運用及對概念學習的影響

1.學習資料要具有代表性，多樣性，并有一定數量的累積

學習資料越具有代表性，所學習的概念的本質屬性就越突出，學生學習就越容易；相反，如果學習資料不具有代表性，也就是非本質屬性越突出，學生學習就越困難。例如，對“面積”的概念，教材首先列舉了黑板的表面、課本的封面、課桌面、椅子面，列舉這些“面”一方面是因為它們都是平面，利于學生觀察比較。另一方面，這些面不僅看得見而且摸得著，學生能夠通過各種感官認識“面”。教材不但列舉了生活中實際物體的面，還逐步引導學生觀察比較平面圖形的面（長方形、正方形），不管是實際物體的表面還是平面圖形，都與“面”有關，都具有代表性。教學過程中，教師還可以讓學生再列舉一些物體的表面或者其他平面圖形，豐富對“面”的認識。在一定數量的“面”的認識的前提下，通過比較面的大小，認識“面積”概念。只有在適度的數量、形式多樣、具有相同本質屬性的情況下，學生認識某一概念才會清晰。

⒉運用變式，突出本質屬性，區別非本質屬性

在概念學習中，通過改變事物的非本質屬性的表現形式，突出事物的本質屬性，讓學生在變式中，更牢固地掌握事物的本質屬性。

如，乘法分配率（a+b）×c=a×c+b×c，在練習的時候為了突出a、b、c三者之間的關系這一本質屬性，則排除一些非本質屬性。以下是教材中的習題：

橫著看，在得數相同的兩個算式后面畫“？菁”

（28+16）×7 28×7+16×7 □

15×39+45×39 （15+45）×39 □

74×（20+1） 74×20+74 □

40×50+50×90 40×（50+90） □

第一行的兩個式子不但符合乘法分配率，而代表“a”、“b”、“c”的三個數與公公式中三個數的位置一致；第二行是公式的逆運用，突出了左右兩邊的式子，與“左右順序”無關的非本質屬性；第三行，學生最容易判斷錯誤，往往學生會認為74×（20+1）=74×20+74×1，等號右邊的式子中缺少“×1”因此左右兩個式子得數不相等，這里突破了可以把一個數看成這個數×1。第四行中40×50+50×90代表“c”的數是50，此時50不一定在乘號的后面，與它的數相等的式子是（40+90）×50，突破了公式中“c”在乘號后面的非本質屬性。通過對比，突出了乘法分配率中三個數之間關系的本質屬性，摒棄了式子的左右順序邊、乘號兩邊的數與位置的非本質屬性。

3.反例，突破思維定勢

在學生對某一概念有了一定理解的基礎上，通過反例，能使學生深化對概念的理解，突出概念的本質屬性等方面的關系，要把這種關系當成關鍵特征認識。

如：在學生認識了長方體和正方體之后，教師會出示這樣的物體：它一組相對的兩個面是正方形，且正方形面對學生，其余4個面是長方形，問學生：它是正方體嗎？幾乎所有學生都會異口同聲說：是！學生看了這個物體有一個面是正方形，很容易就把這個物體看做是正方體，這時教師應著重引導學生根據正方體必須每個面都是正方形進行判斷，在辨析過程中加深對正方體的理解，掌握區分正方體和長方體的方法。

綜上所述，在學習資料的選擇是學生學習概念的開始，教師要選擇貼近學生的學習資料，避免過易或過難，還要注意引導學生從“正面”和“側面”區分概念的本質屬性和非本質屬性。