“形”使“數”更直觀

朱志明 蘭以俊

什么是數形結合？數學家華羅庚有過非常精辟的詮釋：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”在教學實踐中，教師正是從“形”對于“數”的直觀性、“數”對“形”的深刻性這兩個方面著手，發揮了數形結合的作用。由此，數形結合既是研究探索數學的一種思想方法，又是幫助學生理解解釋數學的一種教學方式與教學手段。下面筆者以數與形的結合為抓手，進行“倍數與因數”的教學探索，并作一些教學思考。

一、借“形” 引出概念

師課件出示：運動會上兩個班的同學分別排出下面兩種隊形，算一算各有多少人？

生：圖1中的人數為9×4=36（人）；圖2中的人數為5×7=35（人）。

師：在9×4=36中，以前把9和4取名為乘數（生說），36取名為積。在排隊中，9是每行的數量，4是行數，36是總數。

師：根據今天學習的課題——“倍數與因數”，請同學們猜一猜在圖1的算式中什么是什么的因數，什么是什么的倍數。

生：4和9是36的因數，36是4和9的倍數。

板書：

師：請同學們結合圖2的每行數量、行數和總數，說說在5×7=35中，什么是什么的因數，什么是什么的倍數？

生：每行的數量5與行數7是總數35的因數；總數35既是每行的數量5的倍數，也是行數7的倍數。

【分析】“倍數與因數”是研究兩個非0自然數的倍比關系，即為非0自然數的乘數與積的倍比關系，可見它與學生熟悉的乘法算式有關。根據排隊問題，列出乘法算式，說說什么是什么的因數，什么是什么的倍數，很自然地把舊知與新知緊密地聯結在一起，既使學生的新知學習步入“隨風潛入夜，潤物細無聲”的境地，又為學生理解“倍數”中的各數是“非0自然數”這一規定埋下伏筆。

二、用“形”抽象概念

師：倍數與因數這兩個概念非常重要，是學好分數運算的基礎，望同學們務必與它們成為好朋友。

師：根據前面的方法，并結合圖3，請同學們寫出2～3個不同的算式，并在點子圖中圈一圈，然后與同桌說一說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。（先同桌交流，再指定1～2名學生向全班匯報同桌的作品）

學生匯報后，師課件出示：下面是淘氣所寫的算式和所圈的圖（見圖4），你們覺得對嗎？如果是對的，請說說在每個式子中哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。（學生判斷后交流）

師：這樣的例子多嗎？（多）誰能用一個算式表達所有同學所舉的例子？

生：用字母式表示。

師：這個建議非常好！如果用a，b，c表示3個數，那么表示因數、倍數的乘法算式應怎樣表達？

生：a×b=c（a，b，c都是大于1的整數），c是a和b的倍數，a和b是c的因數。（板書）

【分析】上述環節先設計了開放的“圈一圈、寫一寫與說一說”，旨在豐富學生倍數與因數的現實模型，即在點子圖中每行的數量與行數是總數的因數，總數是每行的數量與行數的倍數。再出示淘氣的作品：有行數是1的，有行數大于每行數的。這樣，既提供了相同的例子讓學生感悟，又彌補了學生容易疏忽的特例——行數1。在此基礎上，讓學生抽象概括出字母表達式就水到渠成了。

不難看出，第一部分的情境以及上述環節起始的“圈一圈、寫一寫與說一說”，只是從情境、圖形、語言和操作層面上讓學生理解概念，最后抽象出字母表達式是在符號表征的層面上讓學生更好地理解概念。那么，用這么多的表征來理解概念有沒有必要呢？

美國學者萊許等曾借助如下的圖形（見圖5）來說明數學概念的發展過程：“實物操作只是數學概念發展的一個方面，其他的表達方式，如圖像、書面語言、現實情境等同樣也發揮了十分重要的作用。”這一論述為概念教學指明了方向：在教學中不應唯一地強調其中的任一方面，而應更加重視對于各個方面的聯結，并幫助學生逐步學會能夠依據情況與需要在這些成分之間靈活地作出轉換。

三、“形” 助理解規定

師：以前學習的“倍”，可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，這里a，b，c可以是整數、小數，也可以是分數，只要不為0。今天學習的“倍數”可以用乘法算式a×b=c表示，這里的a，b，c可以取什么數呢？

生：可以是任何數。

生：不對！這里的a，b，c必須是非0自然數。

師：說說你的理由。

生：我們是在點子圖中學習倍數與因數的，每行的數量、行數與總數都是非0自然數。（全班學生都認為這位同學的觀點是正確的）

師：“倍數”與“倍”有什么相同點和不同點呢？

通過討論，學生認為相同點是：都研究兩個數的倍比關系；不同點是：“倍”中的“數”可以是整數、小數，也可以是分數，只要不為0；而“倍數” 中的“數”一定是要非0自然數。

【分析】 “倍數”是什么呢？要使學生清楚這一問題，僅有范例是不夠的，還需要與相近的概念“倍”進行對比分析。通過對比分析，使學生明晰它們之間的聯系——都是表示兩個數之間的倍比關系，都可以用乘法或除法算式來表示；并且使學生明白研究對象的取值范圍的不同點——“倍”中的數可以是整數、小數，也可以是分數，只要不為0，而“倍數”的數僅指非0自然數。通過對比分析后的追問，促進學生在點子圖中積累的內隱經驗向外顯轉化，即借助直觀有意義地理解和接受了“0除外的自然數”這一規定。

四、依“形”建構模型

師：點子圖幫助我們理解了倍數與因數的概念，找一個數的倍數同樣可以借助點子圖。請同學們先想想在點子圖中找一個數的倍數，實際上是先確定什么，再找什么？

生：先確定一行的數量，再找每行的數量與行的數量的積。

師：下面請同學們根據剛才這位同學的想法，在點子圖上圈一圈，并在圈出的點子圖右邊寫上相應的7的倍數。

學生獨立操作后交流。學生一邊匯報，課件一邊呈現，最后形成圖6。

師：通過剛才的圈一圈、找一找，你認為找一個非0自然數a的倍數方法是怎樣的？

生：a×1，a×2，a×3……

小結：依次找a的1倍、2倍、3倍……

師：根據自然數的主要特征：個數無數個，最小的數是0，沒有最大的數，相繼兩個自然數的差是1。想一想，一個數的倍數有什么特征呢？

小結：一個數的倍數有無數個，最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數，相繼兩個倍數的差就是它本身。

【分析】筆者讓學生通過“在點子圖上圈一圈，并在圈出的點子圖右邊寫上相應的7的倍數”的活動，一方面，使他們感悟到找一個數的倍數的方法，其實就是圈點子圖，每行的個數就是這個數，每行個數與行數的積就是這個數的倍數，即找一個數的倍數的方法——從這個數的1倍開始找起，接著找它的2倍、3倍……另一方面，便于發現一個數的倍數的特點：一個數的最小倍數必定是它本身乘1，即它本身，沒有最大的倍數，相鄰兩個倍數的相差值是它的本身，一個數的倍數的個數是無限的。

（浙江衢州市衢江區教研室 324000

浙江省衢州市衢江區廿里小學 324013）