自動控制原理中一種求解傳遞函數的簡單方法

趙華芳　許秀蘭

摘 要： 傳遞函數是自動控制系統中最重要的數學模型，可以利用動態結構圖的化簡來求傳遞函數，但是此種方法比較繁瑣。本文介紹了一種簡單的辦法來求傳遞函數，即采用梅森公式，利用梅森公式可以大大簡化計算過程，且不容易出錯。

關鍵詞： 傳遞函數 梅森公式 結構圖

1.引言

自動控制作為技術改造和技術發展的重要手段，在工業、農業、國防等很多領域都起著重要作用，尤其是航天制導核能方面，自動控制更是必不可少。自動控制原理基礎是電氣工程及自動化類專業及相關專業的一門必修課程。

2.自動控制原理的特點

該課程理論性較強，且涉及高等數學、電工基礎、電子技術基礎、電機學和半導體變流技術等多門課程的基礎知識，因此很多學生對本門課的興趣不高，不易掌握，在教學過程中應強化概念，弱化理論推導。

3.系統的數學模型

對系統的分析和研究都依賴于合理的數學模型，數學模型既能準確地反映系統的動態本質，又能簡化分析計算的工作。常用的數學模型有三種：微分方程、傳遞函數、動態結構圖，這三種數學模型可以相互轉化，由微分方程可以得到傳遞函數，進而畫出系統的結構圖。利用結構圖的化簡可以得到傳遞函數，傳遞函數是一種非常重要的數學模型，我們一般習慣于利用結構圖的化簡求傳遞函數，但是對于比較復雜的系統，通常含有多個相互交錯的回環，利用這種方法求解計算量較大，而且容易出錯。這時我們可以采用一種比較簡單又不易出錯的方法求解，即利用梅森公式：

G（s）=

其中G（s）是系統的總傳遞函數，k為前向通路條數，p為從輸入端到輸出端第條前向通路的總傳遞函數，△為第條前向通路特征式的余因子，△為信號流圖的特征式。

△=1-∑l+∑ll-∑lll+……

∑l是所有回路的回路增益乘積之和；∑ll是所有任意兩個互不接觸的回路增益乘積之和。

4.例題

例1：如圖所示的系統結構圖，求系統的總傳遞函數。

這是一個具有交叉反饋的多回路系統，用結構圖等效變換求解非常麻煩，計算量很大，且容易出錯，這時我們可以利用梅森公式來求解。

解：

該系統的前向通路有一個，即k=1

p=GGGG

回路有4個

l=-GGH

l=-GGH

l=-GGGH

l=GGGGH

因為各回路都互相接觸，所以特征式為：

△=1+GGGH+GGH+GGH-GGGGH

用梅森公式可求得傳遞函數：

G（s）=

例2：用梅森公式求系統的總傳遞函數。

解：

該系統前向通路有兩個，即k=2

p=GGG

p=GG

回路有5個

l=-GGH

l=-GGH

l=-GGG

l=-GG

l=-GH

因為各回路都互相接觸，所以特征式為：

△=1+GGH+GGH+GGG+GG+GG

兩條前向通路與所有回路都接觸，所以兩個余子式為：

△=△=1

代入梅森公式得系統傳遞函數為：

G（s）=

這與用結構圖的等效變換得到的結果是一致的。

5.結語

本文介紹了一種求解傳遞函數的簡單方法，即利用梅森公式，通過兩個例子具體地說明了利用梅森公式求解傳遞函數的過程。

參考文獻：

[1]孔凡才.自動控制原理與系統.北京：機械工業出版社，2008.

[2]胡壽松，主編.自動控制原理.北京：科學出版社，2007.

[3]陳鐵牛，主編.自動控制原理.北京：機械工業出版社，2007.