注重模型變式的“植樹(shù)問(wèn)題”教學(xué)探索

林霞

2014年的人教版教材把原來(lái)四年級(jí)下的“植樹(shù)問(wèn)題”移到了五年級(jí)上冊(cè)，原因是四年級(jí)下的學(xué)生接受“植樹(shù)問(wèn)題”太困難了?！爸矘?shù)問(wèn)題”真有那么難嗎？筆者先對(duì)學(xué)生的原有認(rèn)知進(jìn)行了梳理，發(fā)現(xiàn)在一年級(jí)下冊(cè)教材中就出現(xiàn)了有關(guān)“間隔”的問(wèn)題。新教材安排在第12頁(yè)中：我們一共有10個(gè)男生，老師讓相鄰兩個(gè)男生之間站一個(gè)女生。一共可以站進(jìn)多少個(gè)女生？又在學(xué)習(xí)“9的乘法口訣”后的練習(xí)二（第82頁(yè)）中安排了一道“已知相鄰兩棵樹(shù)之間長(zhǎng)度與棵數(shù)，求總長(zhǎng)度”的題，原教材也都有相應(yīng)的習(xí)題。從這兩道題可以看出，教材對(duì)兩端都栽的植樹(shù)問(wèn)題中“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的關(guān)系早已有滲透，四年級(jí)的學(xué)生對(duì)“棵數(shù)-1=間隔數(shù)”已深有體會(huì)，而對(duì)數(shù)量關(guān)系式“間隔數(shù)×間隔長(zhǎng)度=總長(zhǎng)度”的理解就是乘法意義的基礎(chǔ)了。同樣，“總長(zhǎng)度÷間隔長(zhǎng)度=間隔數(shù)”也只是除法中“包含除”含義的拓展運(yùn)用。通過(guò)調(diào)查測(cè)試，筆者發(fā)現(xiàn)，已知相鄰兩棵樹(shù)之間長(zhǎng)度與棵數(shù)求總長(zhǎng)度及每個(gè)間隔的長(zhǎng)度的準(zhǔn)確率是100%，已知總長(zhǎng)度求棵數(shù)的準(zhǔn)確率也高達(dá)91.5%，錯(cuò)誤的4個(gè)學(xué)生中有2個(gè)學(xué)生是認(rèn)為“兩端都栽”就要用間隔數(shù)加兩端的2棵求出總棵數(shù)，另2個(gè)學(xué)生則是不加也不減，直接算出間隔數(shù)就以為是樹(shù)的棵數(shù)。

基于以上分析，筆者將“植樹(shù)問(wèn)題”第一課時(shí)設(shè)計(jì)如下。

一、直觀引入，喚起舊知

師出示圖：

引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出從圖中獲得的信息，并試著提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)于二年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“9的乘法口訣”時(shí)練習(xí)中的這張圖，學(xué)生能清楚說(shuō)出“每?jī)煽脴?shù)之間相隔5米”“從第一棵到最后一棵共有多少米”。學(xué)生解決問(wèn)題，反饋發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不但能正確列式，還能清楚說(shuō)出每一個(gè)算式所表示的意思，很自然地說(shuō)出“棵數(shù)-1=間隔數(shù)”。這在每一次的試教中學(xué)生都能出色完成。

二、探究新知，建立模型

1. 學(xué)習(xí)例1

題目：同學(xué)們要在長(zhǎng)100米的小路一邊栽樹(shù)（兩端都栽），一共要準(zhǔn)備多少棵樹(shù)苗？

（1）學(xué)生讀題，發(fā)現(xiàn)缺少信息。補(bǔ)上：每隔5米栽一棵。這一環(huán)節(jié)沒(méi)有直接給出全部信息，增加了學(xué)生的思考性，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了植樹(shù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)。

（2）理解題意，“兩端都栽”是什么意思？通過(guò)對(duì)題意的理解，掃清障礙，有利于學(xué)生嘗試解決。

（3）嘗試解答。這是個(gè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過(guò)學(xué)生的獨(dú)立思考、嘗試探究，有利于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)的精神與能力。

（4）驗(yàn)證。你有什么辦法能驗(yàn)證自己的辦法是正確的？引導(dǎo)學(xué)生先嘗試后驗(yàn)證，這是個(gè)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的思維方式，經(jīng)常讓學(xué)生這樣做，自然就成了習(xí)慣。

預(yù)設(shè)方法一：畫(huà)圖。學(xué)生可能會(huì)畫(huà)圖如下：

師追問(wèn)：能清楚地看出有幾棵嗎？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出化繁為簡(jiǎn)的解題策略。（“化繁為簡(jiǎn)”的策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)用到，如計(jì)算器計(jì)算“111111111×111111111=？”、運(yùn)算定律的探索等都可以滲透這種思想）

先畫(huà)兩個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的圖，然后列式計(jì)算；再給出數(shù)據(jù)35米，要求學(xué)生不畫(huà)圖，直接計(jì)算得出結(jié)果。這樣，通過(guò)一些較小數(shù)據(jù)和直觀形象的圖示來(lái)驗(yàn)證自己的辦法是否正確，同時(shí)也完成了植樹(shù)問(wèn)題的模型建立。

預(yù)設(shè)方法二：把算出來(lái)的21棵樹(shù)當(dāng)作信息，算一算小路總長(zhǎng)是不是100米。這是個(gè)思維水平較高的驗(yàn)證方法，如有學(xué)生想到，則以課件呈現(xiàn)直觀圖，幫助中下生理解此驗(yàn)證方法的意思。

2. 研究“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的關(guān)系

解決植樹(shù)問(wèn)題需要注意什么？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出搞清“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的關(guān)系是解決植樹(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵。

學(xué)生解決了兩個(gè)問(wèn)題后，對(duì)植樹(shù)問(wèn)題已有進(jìn)一步感知，此時(shí)，幫助學(xué)生理清“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的關(guān)系顯得特別有必要。引導(dǎo)學(xué)生用圓點(diǎn)表示樹(shù)，用線段表示相鄰兩棵樹(shù)之間的間隔，畫(huà)圖觀察。指名用圓形磁鐵和磁性小棒擺出兩端都栽的情形：

你有辦法能讓別人一眼看出是棵數(shù)多還是間隔數(shù)多嗎？引導(dǎo)學(xué)生用“一一對(duì)應(yīng)”的方法去比較棵數(shù)與間隔數(shù)：

從而得出棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系：

3. 舉例

學(xué)生舉例，師課件演示。

借助電線桿、路燈理解“兩端都架設(shè)”與“兩邊都安裝”的意思。借助彩旗圖進(jìn)一步明白“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的關(guān)系。為解決基本的植樹(shù)問(wèn)題掃除文字方面的障礙，有利于學(xué)生正確解決相應(yīng)的問(wèn)題。

三、鞏固新知，拓展提高

1. 應(yīng)用練習(xí)

一方面鞏固植樹(shù)問(wèn)題的模型，另一方面開(kāi)始作模型變式，促使學(xué)生靈活運(yùn)用所建立的植樹(shù)問(wèn)題模型思想解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

（1）工人們?cè)诩茉O(shè)電線桿（兩端都架設(shè)），相鄰兩根間的距離是50米。在總長(zhǎng)3500米的筆直馬路上，一共要架設(shè)多少根電線桿？

各自練習(xí)，以選擇題形式反饋。選項(xiàng)分別為：①69；②70；③71；④142。完成練習(xí)后師追問(wèn)：如果要使“④142”成為正確選項(xiàng)，信息可以怎么改？充分利用已有素材作變式練習(xí)，提高學(xué)生的思考能力。

（2）路橋客運(yùn)西站從早上6：00 開(kāi)始發(fā)車，每10分鐘發(fā)出一輛，到7：00止共發(fā)出幾輛車？（請(qǐng)畫(huà)圖表示發(fā)車情況）

學(xué)生投影反饋，解釋自己所畫(huà)圖的意思。此題貼近學(xué)生的生活實(shí)際，用畫(huà)圖的形式能表達(dá)自己的思考結(jié)果，特別能體會(huì)到與植樹(shù)問(wèn)題的相通之處。

2. 小結(jié)

從解決剛才這兩個(gè)問(wèn)題中，你獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“雖然這兩道題沒(méi)有在植樹(shù)，但解決問(wèn)題的方法和植樹(shù)問(wèn)題是一樣的”。注重解題方法的總結(jié)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有很大幫助的。

3.拓展練習(xí)

在四年級(jí)下冊(cè)第三單元“運(yùn)算定律”教學(xué)中，教材編排了兩道基本的等差數(shù)列求和的習(xí)題：①1+2+3+4+…+99+100；②2+4+6+…+16+18+20。這兩道題的項(xiàng)數(shù)比較容易求，運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，再結(jié)合“配對(duì)求和”的方法不難求出和。而在一般的等差數(shù)列求和中，學(xué)生最難掌握的往往是求數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，如14+17+20+…+83+86+89這個(gè)數(shù)列，有多少個(gè)數(shù)相加是不容易得知的。如果引導(dǎo)學(xué)生把植樹(shù)問(wèn)題（兩端都栽）求棵數(shù)的方法遷移到等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)中來(lái)，那么求項(xiàng)數(shù)不就有了表象的依托嗎？由此，筆者把等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)也與植樹(shù)問(wèn)題求棵數(shù)溝通起來(lái)，從而幫助學(xué)生理解求項(xiàng)數(shù)的方法，此時(shí)植樹(shù)問(wèn)題的模型發(fā)揮出了它最高的應(yīng)用價(jià)值。

（1）快速搶答：下面這個(gè)數(shù)列中共有幾個(gè)數(shù)？

1，2，3 … 99，100 （ ）個(gè)數(shù)

2，4，6 … 98，100 （ ）個(gè)數(shù)

（2）思考：數(shù)列15，20，25 … 75，80，85中有幾個(gè)數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)問(wèn)題與植樹(shù)問(wèn)題建立聯(lián)系再解決：每次加5，相當(dāng)于相鄰兩棵樹(shù)之間相隔5米，15與85的總差相當(dāng)于第一棵樹(shù)到最后一棵樹(shù)的總長(zhǎng)度，那么求數(shù)的個(gè)數(shù)的方法就和求樹(shù)的棵數(shù)是一樣的。

在學(xué)生完成求個(gè)數(shù)后，師追問(wèn)：求出數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有什么用？（可以求和，也可以解決實(shí)際問(wèn)題，自然引出電影院算座位的問(wèn)題）

4.機(jī)動(dòng)題

（根據(jù)教學(xué)時(shí)間及學(xué)生基礎(chǔ)確定這道題是否呈現(xiàn)以及如何解決）

某電影院的一個(gè)影廳每一排都比前一排多2個(gè)座位，文文數(shù)了第一排有16個(gè)座位，最后一排有36個(gè)座位，這個(gè)影廳的座位有幾排？這個(gè)影廳共有多少個(gè)座位？

引出這道題，能促使學(xué)生進(jìn)一步感受植樹(shù)問(wèn)題的廣泛應(yīng)用性，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

四、回顧總結(jié)，方法提升

回顧這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了兩端都栽的植樹(shù)問(wèn)題，借助植樹(shù)問(wèn)題的方法，還解決了電線桿問(wèn)題、發(fā)車問(wèn)題和等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)問(wèn)題，真正做到了觸類旁通，舉一隅以三隅反！

此教學(xué)設(shè)計(jì)在前不久的課堂教學(xué)中得以展示，學(xué)生在充分經(jīng)歷與感受了植樹(shù)問(wèn)題的模型建立與模型變式后，有一位學(xué)生在總結(jié)經(jīng)驗(yàn)時(shí)還發(fā)出了“植樹(shù)問(wèn)題只是個(gè)幌子嘛”的感悟。這節(jié)課以兩端都栽這一個(gè)模型思想貫穿始終，學(xué)生的潛在能力也得以充分展現(xiàn)，取得了非常好的教學(xué)效果。

（注：作者系朱樂(lè)平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）

（浙江省臺(tái)州市路橋小學(xué) 318000）