探究性數學家庭作業的類型與設計策略

劉善娜

數學家庭作業不僅可用于課后鞏固課堂知識，更是對學生學習內化的反芻和學習的應用思考，它是教師診斷和促進學生數學學習的評估手段。但審視當下的現狀，數學家庭作業存在太多機械劃一的“熟題”作業，它只是以“完成”和“正確”為導向，缺乏對學生完成作業的思維過程和作業習慣的關注。探究性數學家庭作業，以培養學生獨立學習能力為切入口，旨在讓學生在一定的探究問題引領下，進行自主探究與表達，強調在作業過程中關注概念的理解、模型的建構、方法的提挈、思維過程的體驗和能力的養成。結合小學中高段數學教材內容和兒童表達的特點，我們可以將探究性家庭作業分為概念習得類作業、問題解決類作業、遷移證明類作業三種類型。

一、概念習得類作業設計策略

數學概念是通過大量素材的辨析比較、提煉歸納、概括命名的過程而形成的。借由簡約化的提煉和符號化的表達，把數學概念抽象成一種顯性的符號化知識。而辨析比較、提煉歸納、概括命名的過程，就成為了一種隱性的過程性知識。因此，用怎樣的方式學習這些概念知識，將直接影響著學生對數學概念理解的程度。

（一）“描述分析式”作業的設計策略

“描述分析式”的概念建構作業，側重于概念學習后對概念本身的直接表述，要求學生描述自己心目中“概念”的名稱、定義、性質特點等，也就是先“描述自己對這一知識的大概理解”，再通過大量的例子來支撐自己的想法即“呈現大量的舉例進行說明”，最后讓學生通過自己對概念的 理解來設計一兩道題目，以此進一步推進對概念的理解。

比如“平均數”這一概念，在舊教材中的練習基本是平均數的計算題，現在更多的是平均數概念的理解類題目，類似于“小明身高1.5米，他能安全蹚過平均水深為1.3米的小河嗎？”既然學習了“平均數”，學生心中的“平均數”三個字到底代表著什么？筆者設計了“平均數的自我介紹”探究性數學作業，學生可以通過畫一畫、寫一寫，為“平均數”作一番詳細的自我介紹。

有個學生寫道：大家好，我是大名鼎鼎的平均數，我跟“÷”有點“血緣”關系。想找到我的方法有兩種，一種是“移多補少”大法，一種是總數÷份數。我是“公平的代言人”，代表幾個數之間最平等的數。比如有4個草莓、3個蘋果、5個梨，我就會分給3個客人每人4個水果。我的自我介紹完畢，謝謝。

三年級的學生已經能通過定義描述、舉例、出題的方式把“平均數”的概念予以自我表達。描述分析式作業，不僅能讓學生鞏固概念，更重要的是給予了學生分析概念的一般方法。學生多次完成這樣的探究性數學作業后，一旦接觸數學概念，就知道可以從哪些角度幫助自己分析概念，從哪些方面可以幫助自己理解深化。

（二）“判斷分析式”作業的設計策略

判斷分析式作業，側重于概念基本鞏固后對概念與相關概念的辨析判定。學生需要先判斷得出自己的結論，到底是“完全正確還是完全錯誤？或者是某種前提下才正確”，這是判斷的第一步。然后讓學生仔細分析，可以通過添加條件、修改數據等方式使這個命題正確，這個環節促使學生去思考與這個命題比較相似、關聯比較緊密的一些概念，形成塊狀的概念認識。最后讓學生舉出正確的例子，使得對概念的判斷分析呈現先“破”后“立”的邏輯順序，有助于學生正確內化概念。

如學生在三年級下冊認識“面積”概念后，常會遇到“面積”與“周長”概念辨析的判斷題。有些判斷題涉及的內容很抽象，如“圖形的周長越長，面積就越大”。“周長”是舊知，要成功建立“面積”概念，離不開新舊概念的辨析。但如果只關注這類判斷題的判斷結果，就會導致一部分學生模糊地死記答案。若將作業設計為“圖形的周長越長，面積就越大嗎？為什么？請把你的想法畫一畫、寫一寫”。學生就會在判定此題“錯誤”之后，通過畫草圖從各自不同的角度對這句話進行分析，得出“凹來凹去的圖形雖然面積不大，但邊緣可能彎彎曲曲很長，周長大得驚人”等一系列兒童色彩濃郁的精彩結論。

二、問題解決類作業設計策略

問題解決強調“四能”培養，問題解決的核心素養是模型思想，問題解決類作業側重于讓學生掌握不同類型問題的結構，也就是模型建構。既然“問題”都是有組織有結構的，那么關注同一結構的提煉，關注推進式結構的組織，就成了問題解決類數學作業設計時需要秉承的基本理念。

（一）“橫向同構”問題作業的設計策略

“橫向同構”問題，是指有著相同結構的并列形態的數學問題。問題的例子要突出其共同特征，而使其在無關特征方面盡可能地變化，從而讓學生在解答過程中逐步感受到問題的結構組織，達成橫向并列問題的共性提取。

“橫向同構”問題，需要讓學生先獨立解答兩至三題針對性練習，這幾道練習題的結構和數據要完全一致。通常學生做到第二題的時候會產生“類似”的感覺，做到第三題時會出現“題目都一樣的”的興奮心理。因此，可以讓學生在解答之后將其感悟到的所有的“一樣”之處進行詳細說明，這是一個羅列的過程，也是一個梳理的過程。然后再讓學生通過畫線段圖等方法將這一類題的結構特點進行抽象的提煉。

如“植樹問題”相關例題新授完畢后，可以設計這樣的探究作業題：“路燈問題、樓層問題、鋸木問題，為什么都可以稱為植樹問題？請舉例說明?！睂W生在解答了數據相同的路燈問題、樓層問題、鋸木問題后，自悟到各題之間的關聯，通過畫圖描述的方式對植樹問題的三種結構有了更深層次的把握，清晰地抽象出了植樹問題的基本模型。

（二）“縱向同構”問題作業的設計策略

“縱向同構”問題，是指由同一個數學問題衍生的一題多變、一題多解、一題多練的問題，通過把一道有價值的習題變化成一組相關的對比題組而展現逐步加深的過程，促使學生發現該類問題的變化規律。學生一旦具備了這樣的知識，再遇到該類問題時，不管其中的變量如何變化，都能找到解題的方法。

“縱向同構”問題，學生也需要先獨立解答兩至三題有針對性的練習。這幾道練習題講的是同一件事，要讓學生覺得明明很“類似”但又不一樣，產生“到底不一樣在哪里”的探究欲，從而讓學生在一一解答之后將其感悟到的所有“不一樣”之處進行說明，最好能表述清楚其中的變化和聯系，窺探到相同中的不同、不同中的相同。

比如，在學習“分段計費”后，設計如下作業：“王叔叔坐出租車，3千米以內6元，3千米至10千米每千米1.5元，10千米以上每千米1元。王叔叔如果坐了2千米，要支付多少元？5千米呢？20千米呢？請畫線段圖分析這類題目的特點?！睂W生在課堂上研究的是“分兩段”的“水費”“電費”“電話費”等問題，在作業時，就可以從“橫向”轉為“縱向”，從“不需要分段”到“分兩段”再拓展到“分三段”，并借助線段圖深入理解分段計費問題的特點，一旦掌握這個變化的特點，哪怕分成四段、五段，學生依然思路清晰、方法明確，只是覺得繁復程度遞增而已。

這類問題還可以設計成開放題，在封閉的數學題中減少一些已知條件，如把上題中坐車的“5千米”“20千米”這兩個數據去掉，由學生自己提供數據，要求“你能再提出不同難度的三個問題嗎”，這就促使學生必須先仔細分析這一數學問題，再思考怎樣設計才能符合“越來越難”的要求。這類“缺胳膊少腿”的問題需要學生用分析和設計的心態去努力求索所有的結果或創造出新的問題，從而更好地把握問題變量之間的關系，掌握變化的規律，提升提出問題、解決問題的能力。

三、遷移證明類作業設計策略

推理是數學的基本思維方式，推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。遷移證明類作業設計側重于練習之后推理方式的構建，引導學生在推理的過程中逐步掌握證明、分析、推理的步驟和策略。

（一）“證明推理式”探究性作業的設計策略

當學生有能力去推斷和證明一個命題時，他的頭腦中就已經具有了一定的圖式。作業要先把頭腦中原有的圖式激活，為學生提供解釋該問題的背景知識，從而將一些難以理解的信息組織成有意義的整體，有效突破知識難點。

“證明推理”與概念的“判斷分析”最大的差異是作業內容的差異。概念的“判斷分析”傾向重點知識，主要是重點概念的辨析，而“證明推理”主要是為學習中的一些偏難題鋪設探究場，以求真正突破知識難點，增添探究樂趣。

學生要證明自己的觀點，首先就要亮出自己的觀點，然后要從“證明”的角度去畫一畫、比一比，或者從正、反兩面去陳述，學會用豐富的材料支撐自己的觀點，最后得出結論，再次表明自己的觀點。

如學習小數的近似數后，對2=2.0，2和2.0意義不同，很容易理解，但對取值范圍不同、精確度不同，卻總是難以理解到位。筆者設計了這樣的“證明”作業：老師身高約2米，小明的身高約2.0米，2=2.0，所以老師和小明一樣高。你認同嗎？請證明你的看法，并作圖（提供數軸圖）分析。老師和小明到底誰高呢？答案本是未知，全賴于學生對2和2.0取值范圍的認知，對精確值的理解。有趣的比較，激活了學生已有的生活經驗和四舍五入取值經驗，在結合圖示證明自己看法的過程中，學生充滿樂趣地感受了近似數2和2.0取值范圍的差異。

（二）“遷移推理式”探究性作業的設計策略

學生知識的習得和構建，主要依賴于認知結構中原有的觀念去影響和促進新的理解，通過溝通新舊知識的互相聯系而形成新的認知結構系統。學生必須自己去經歷完整的遷移類推的作業過程，才能形成更好的認知結構。

學生常常會遇到一些很難解答正確的難題。探究性作業可以讓學生先“知難”，直接呈現難題給學生，讓其展開思考。這個時候各層次的學生會有不同的表現，有些學生能直接解答，那就生成了挑戰成功的樂趣，有的學生沒有能力解決，就引導他們先進行簡單題的嘗試分析。這些簡單題是與難題結構一致或解題策略一致的相對淺層的習題，學生通過解決難度遞升的這組簡單題，會打開類比思維，利用知識、方法層面的同一性，遷移解決問題。完成作業的整個過程，不僅讓學生明白“難”的知識可以一步步轉化成“易”的知識，也讓學生掌握遷移解決問題的方法，了解類比思想的重要性。

如“已知正方形面積為2平方厘米，求圓形面積”這道題（見右圖），學生基本都感到解答困難。探究作業設計為：如果你覺得解答此題困難，請先做下面兩題。1.一個長方形長與寬的和是4厘米，它的周長是多少厘米？2.已知梯形上底與下底的和是20厘米，高是10厘米，梯形的面積是多少平方厘米？現在，你能解答前面的問題了嗎？你發現它們之間的聯系了嗎？后兩題是舊知鋪墊，用于消除學生的思維定勢，讓學生感受到不一定要知道具體的“長”和“寬”才能求周長，不一定要知道“上底”和“下底”的具體數據才能求梯形面積，而是可以直接借用“長與寬的和”與“上底與下底的和”來解決問題。借此支架，學生就可遷移類推：不一定要知道正方形的邊長即圓的半徑，利用正方形的面積即圓半徑的平方，也能求得圓的面積。

“遷移推理式”探究性作業，關注分層體驗，能力強的學生重在發現聯系，歸納“遷移點”，能力弱的學生則對“遷移”圖式有了較為完整的體驗和建構。

當然，除了上述三種探究性作業類型外，在日常的家庭作業布置過程中，更多體現的是綜合運用類的作業，通過描述、判斷、推理、遷移等要求的綜合運用，不僅讓學生在探究過程中習得了概念的鞏固、技能的熟練、方法的掌握，更重要的是，它讓學生逐步建構了描述的規則、推理的方式、梳理的方法等策略，直接推進學生認知結構的組建和完善，發展邏輯思維能力。

（浙江省奉化市實驗小學 315500）