正、余弦定理在近年高考題中的應用

張杰 喻羅嬌

摘 要： 正、余弦定理是高中數學的重要組成部分，本文主要對近年全國各省高考題中的相關問題進行相應的分析，并結合試題的特點及常規思路提出了一些復習建議.

關鍵詞： 高考 正弦定理 余弦定理

1.引言

正、余弦定理是高中數學中三角函數知識的重要組成部分，又是高考考查的重點之一，在近年高考題中占有一定的地位.我們往往以正、余弦定理為工具，結合三角恒等變換，具體求解三角形的某條邊、某個角，判斷某個角的取值范圍、三角形的形狀及求解三角形的面積等問題.此類問題靈活多變，涉及的知識面比較廣泛，不容易完全做對，重點考查的是學生熟練掌握公式、靈活運用公式的能力，計算能力，以及轉化的數學思想.

就近三年高考試題而言，頻繁考查了正、余弦定理問題，且其在高考中多以中檔題出現，選擇題、填空題、解答題均有可能，并且每年試題的題量都相對較穩定.從近幾年的情況來看，正、余弦定理往往運用于解答題中的某一個問中，占的分值比較穩定，通常在6分左右.在選擇題或者在填空題中出現的分值更是穩定，通常在5分左右.下面我就近年全國相關高考數學題，談談正、余弦定理的幾種應用.

2.正、余弦定理的幾種應用

2.1利用正、余弦定理求解三角形的某條邊或兩邊的比值

此類問題往往是已知三角形的兩邊一角，要求其另一邊，我們會直接利用正、余弦定理求解，如果是已知邊與角的關系，要求其邊的比值，那么我們通常會利用正、余弦定理將題目中的邊角關系轉化為純粹的邊的關系或角的關系，再進行求解.

小結：本題難度不大，主要考查對余弦定理的應用，解題的關鍵是將角全轉化為邊，考查我們靈活運用公式的能力及轉化的數學思想.

2.2利用正、余弦定理求解三角形的某個角

此類問題有時會已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，要求其他兩角，我們將通過正弦定理直接求出一個角，再通過內角和定理求出另一個角，但通常會已知邊角關系，這時我們需要利用正、余弦定理將其轉化為純粹的邊的關系或角的關系，進而求出角的值.

小結：本題難度不大，關鍵是利用正弦定理將角的關系轉化為邊的關系，再結合余弦定理聯立求解，是正弦定理與余弦定理的綜合考查，主要考查處理數據的能力及運算能力.

2.3利用正、余弦定理判斷某個角的范圍

此類問題通常是已知三角形三邊的關系，要求某個角的范圍，我們需要利用余弦定理，再結合均值不等式得到角的取值范圍.

綜上，此題答案為①②③.

小結：本題的難度比較大，每個選項中都已知了三角形三邊的關系，要求角的范圍，我們利用余弦定理進行計算，并結合均值不等式得出結論.此題是余弦定理和均值不等式的結合應用，主要考查熟練掌握及靈活運用公式的能力.

2.4利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

判斷三角形的形狀，往往會轉化為判斷角的取值或者邊的關系.此類問題往往需要我們利用正弦定理將角的關系轉化為邊的關系或者是利用余弦定理將邊角關系轉化為純粹的邊的關系或角的關系，再結合三角形的內角和定理及三角恒等變換確定某個角的大小判斷三角形的形狀.

小結：本題難度比較大，主要考查余弦定理及三角形面積公式，同時考查利用余弦定理解決三角形面積的實際能力與計算能力.

2.6正、余弦定理與其他知識的交匯

對正、余弦定理的考查，伴隨著與其他知識的融合，通常會出現正、余弦定理與向量、數列等的交匯應用，此類問題往往會利用已知條件中的向量關系或者數列關系求出三角函數中邊與角的關系，再轉化為前面的幾種類型，其本質上是對正、余弦定理的應用.

例6（2014年陜西（理）第16題第（Ⅱ）問6分）△ABC的內角A，B，C所對應的邊分別是a，b，c.

（Ⅰ）若a，b，c成等差數列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比數列，求cosB的最小值.

小結：本題屬于中檔題，是對等比數列、余弦定理與均值不等式的綜合應用，等比數列是前提，核心是余弦定理，最終利用均值不等式求出最小值，主要考查靈活運用公式的能力及優化的數學思想.

2.7正、余弦定理在立體幾何中的應用

立體幾何中通常會出現求解某個角的值，某條邊的值或者某個角的取值范圍，這實際上就是類型2.1，2.2，2.3的應用.

小結：本題難度比較大，它是立體幾何中涉及關于角的取值范圍的問題，考查了余弦定理，利用特殊的位置作為臨界點，這樣有利于節約時間，考查我們的邏輯思維能力及轉化的數學思想.

2.8正、余弦定理在實際問題中的應用

此類問題是將生活中的實際問題抽象出來，通過畫示意圖反映真實情況，從而轉化為數學問題，再通過正、余弦定理，三角恒等變換，三角形的內角和定理等計算出我們要找的某個角或某條邊.

（Ⅰ）求索道AB的長；

（Ⅱ）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短；

（Ⅲ）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

小結：本題難度不大，它是正弦定理在實際問題中的應用，將實際問題轉化為具體圖形，具體數學問題，再通過求解數學問題得出答案，主要考查了我們利用數學知識解決實際問題的能力.

3.結語

通過對正、余弦定理在近年高考中的應用的討論，可以看出在解決邊、角、判斷三角形的形狀、求解三角形的面積等問題時往往會考慮正、余弦定理，但試題一般不會單獨考查公式的直接應用，需要我們靈活運用三角形的內角和定理、三角恒等變換、三角形的面積公式及均值不等式等與正、余弦定理綜合解決.對于正、余弦定理的應用，有的需要我們利用正、余弦定理將邊角關系轉化為純粹的邊的關系、角的關系，然后得出結論，有的需要我們利用正、余弦定理求出某個角、某條邊的具體值，然后解決問題.此類問題往往考查了合理利用公式的能力、計算能力和轉化的數學思想，這些與平時的積累是息息相關的.只有注意平時積累，才能在考試中迅速解決問題，節約考試時間.

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基金項目：貴州省遵義師范學院基礎教育研究項目（13ZYJ029）