精品教材需要精密的細節處理

張奠宙

近讀一些小學數學教材，有一些細節的處理，不夠精細?；蚯昂蟛灰?，或言過其實，籠統疏忽之處，屢有所見?，F略舉幾例，與教材的編者商榷。

一、關于分類中的一般與特殊

數學教學中，常常要將一些數或形進行“分類”。長期以來，我國習慣于單一地使用 “不重不漏”的原則，以至把一些特殊情形從一般情形中分離出來，使得彼此間的從屬包含關系，硬說成是彼此對立的關系，造成人為的割裂。 例如：

1.整數不是分數，把整數和分數對立起來 （圖1）。然而，明明整數是分母為1的分數，整數是分數的一部分。

2.小數等同于分數（圖1）。這顯然也是不妥的，無限不循環小數并不是分數。其次，整數不能和小數相對立，整數是小數部分為0的特殊小數。如果說，這里的小數也包括無限小數，那么整數更可以是無限小數了。例如 0.999… =1。

3. 平行四邊形不是梯形 （圖2）。事實上，梯形是四邊形的一部分，平行四邊形可以看作是梯形的特殊情形，三者依對邊平行的組數多少形成從屬關系（教材中“只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形”的表述可以探討）。

但是，另一方面，教材中又強調了如下關系（見圖2）。

4. 正方形是長方形的特殊情形。

5. 正方體是長方體的特殊情形。

這樣一來，同樣是彼此間的從屬關系，1，3 的判斷和4，5 的判斷恰好相反，令人無所適從。

事實上， 從屬關系也是一種分類。例如，我國公民的戶籍，就按照?。ㄗ灾螀^、直轄市）、市、縣、鎮、鄉、村 這樣的等級從屬關系分類。而在某一級里，再依不重不漏的原則分類（如省一級有31個不重不漏的劃分）。

忽視這樣的細節，人為地制造麻煩，需要改正。希望教材里再也不要把整數與分數對立起來了。

二、關于三角形的穩固性

小學數學教材的三角形單元，都會涉及穩定性的知識，但是在一些細節處理上卻不夠嚴謹。例如沒有交代頂點處接頭的特性。三角形的穩定性，是指在三個頂點處只是鉸接情形下，也是穩定不動的。而說四邊形是不穩定的，那是指四個接頭都是可以活動的鉸接（如活動門）。如果四個接頭都是焊接或螺釘固接，它還能活動嗎？因此，教材上必須畫出這種鉸接的方式。課堂上演示，則可以將兩根木棒在頂點處鉆小孔用鐵絲穿過，作為轉軸進行鉸接。這種細節處理，不可省略。

更值得商榷的是，教材里以“加固搖晃的舊椅子”作為三角形穩定性原理的應用（見圖3）。然而，這種“斜”釘木條的做法，會比“橫”釘木條加固更加有效嗎？恐怕未必。因為，這里的接頭都不是鉸接，而是固定的連接。椅子是立體框架結構，不是平面結構。人坐椅子時各個部分的受力情況，與框架的一部分是三角形還是矩形，沒有直接的因果關系。再說，加固也要考慮美觀。這類“斜”釘椅子的情景，還是去掉為好。

三、 關于驗證與證明

人教社版四下68頁（見圖4），在探究四邊形的內角和時，用了兩種方法。一是將四邊形的四個頂角剪下來拼成一個周角；二是把四邊形分成兩個三角形，用三角形內角和定理進行推理計算。接著，在“回顧與反思”欄目里寫著“我們大家共同證明了所有四邊形的內角和都是360°”。對于這樣的回顧，我們可否做得更加細致、準確一些呢？剪拼的方法，是一種用數據證實我們猜想物理實驗的方法。證實的過程要用到測量的數據，而測量數據是有誤差的。我們利用數據穩定地發生在某數值附近的現象，作出證實某規律的結論。然而，分成兩個三角形進行計算推理得出結論，則是一種嚴謹的邏輯證明。因此，我們在用詞上要對“物理證實”和“數學證明”加以某種區別，而不要一鍋煮，說成“共同證明”。當然，對于小學生而言，不必在理論上正面論述，只要適當地點一下就可以了。例如，不妨將前面引用的那段“回顧與反思”，改寫為“我們用了‘測量證實’ 和‘數學證明’兩種方法，都得到了四邊形的內角和為360° 的結論”。

同樣地，在計算不規則物體體積時，使用“排水法”進行測量，也是一種物理方法，和用數學方法給出規則物體的計算公式是不同的。事實上，只有小學數學里涉及測量。這種度量物體體積的物理方法，在中學的數學課本里，就不再使用了。

四、關于“是一倍”和“加一倍”

在“倍的認識”單元里，要談的是一個細節問題：“一倍”的理解。翻閱人教社版三上數學教材，沒有討論這一問題。從數學上看，數A是數B的一倍，意味著A=B。然而，在日常生活中，“倍”的用法，含有增加到原數2倍的意思。如“產量增倍”“事倍功半”、農家“五月人倍忙”等說法，雖然只有一個“倍”字，卻明顯地并非“是一倍”的意思，而是“加一倍”的意思。這就是說，“是一倍”和“加一倍”之間有重要的區別。這雖事關語文表達，但為了避免誤用，在數學教材里正面進行闡述，仍有必要。例如，不妨加上兩句話：“如果A是B的一倍，那么A=B。如果A是在B的基礎上加一倍，那么A =B+B=2B?！?/p>

這樣的提醒，可以幫助學生在實際使用中避免錯誤。

總之， 教材要把每一個細節做到精心處理。這將體現作者對編寫工作的責任心，也將反映作者為讀者服務的誠心。