基于“格子圖”的幾何直觀培養(yǎng)策略

程佳麗

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，“格子圖”便是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的一種素材。綜觀整套小學(xué)數(shù)學(xué)教材（人教版），發(fā)現(xiàn)其大量地使用了方格圖和點(diǎn)子圖，編排循序漸進(jìn)，次第有序，用之極致。教學(xué)實(shí)踐中教師也感到，用好格子圖可以有效地促進(jìn)幾何直觀能力的發(fā)展和空間觀念的建立。

一、現(xiàn)象思考

“平行四邊形的面積”是一節(jié)經(jīng)典教學(xué)課。在教學(xué)此課時(shí)，總有一個(gè)環(huán)節(jié)令教師糾結(jié)，那就是教材中格子圖的使用。兩種不同的意見(jiàn)也總是相持不下。

意見(jiàn)一：一定要用格子圖。

理由：①教材中既然有，自有其道理，應(yīng)當(dāng)把它用好（表面原因）。②平面圖形的面積教學(xué)基點(diǎn)是單位面積的計(jì)數(shù)（本質(zhì)原因）。

意見(jiàn)二：不需要用格子圖。

理由：①如果沒(méi)有教師提示，學(xué)生一般不會(huì)主動(dòng)想到用格子圖去推算平行四邊形的面積，干脆教學(xué)中就不要出現(xiàn)了。②不借助格子圖，面積公式推導(dǎo)看似也很順利。通過(guò)將平行四邊形“剪拼”轉(zhuǎn)化成為長(zhǎng)方形，找到原來(lái)平行四邊形和轉(zhuǎn)化好后的長(zhǎng)方形的聯(lián)系，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式是底邊乘高。

二、格子圖在人教版中的編排情況

細(xì)細(xì)研究人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的格子圖，其編排順延知識(shí)的發(fā)生發(fā)展脈絡(luò)，尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知需求，大量使用并且有條不紊地加以滲透，凸顯幾何直觀，逐步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。在四個(gè)領(lǐng)域中，當(dāng)屬圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中使用頻率最高。在數(shù)的認(rèn)識(shí)中，十進(jìn)制、百格圖、數(shù)形結(jié)合思想的融入，使之在數(shù)的領(lǐng)域別有天地。統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域中，條形、折線統(tǒng)計(jì)圖同樣離不開(kāi)格子圖。以2013年審定的人教版教材“圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?yàn)槔信e如下：

通過(guò)以上表格分析，格子圖貫穿于整個(gè)小學(xué)階段的內(nèi)容，無(wú)論是例題還是練習(xí)，都能找到它的身影，這樣的設(shè)計(jì)與格子圖的功能是分不開(kāi)的。

格子圖的最大特點(diǎn)就是直觀。首先，格子圖為學(xué)生建立方位感。其一條條水平和豎直的線，一組組平行與垂直的關(guān)系，將為學(xué)生感受方位提供有力的參照。其次，格子圖為學(xué)生提供距離感。學(xué)生在測(cè)量、繪制的過(guò)程中，必然存在或多或少的誤差，這將在一定程度上干擾學(xué)生關(guān)注的重點(diǎn)，分散其注意力。而方格圖則很好地解決了這個(gè)問(wèn)題，有整齊排列、大小相同的方格相襯，“距離”直入眼簾，排除測(cè)量的干擾。因此，格子圖自然而然建立起的距離感和方位感，促使教學(xué)直指問(wèn)題核心，幫助學(xué)生有效地解決問(wèn)題。

三、有效使用格子圖的策略

格子圖被編入教材承載著對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考、發(fā)展空間觀念、凸顯幾何直觀的點(diǎn)滴作用。作為教師應(yīng)有意識(shí)地深入理解教材的每個(gè)設(shè)計(jì)意圖，關(guān)注和挖掘格子圖的應(yīng)用價(jià)值，將格子圖完美演繹。

（一）“格”來(lái)鋪墊，順勢(shì)推導(dǎo)

格子圖的鋪墊作用不言而喻。在小學(xué)階段，學(xué)生主要是通過(guò)直觀的手段來(lái)學(xué)習(xí)幾何初步知識(shí)，而方格圖在這個(gè)過(guò)程中就肩負(fù)了由具體到抽象、由粗略到精確的過(guò)渡作用，為探究和習(xí)得幾何圖形知識(shí)鋪路架橋。有了格子圖，學(xué)生能階梯式地進(jìn)行思考探究，減緩知識(shí)跨度，排除不必要的干擾因素，空間想象力盡情在格子圖上發(fā)揮和馳騁！

例如，上述例子中講到學(xué)生在學(xué)習(xí)五年級(jí)上冊(cè)的“平行四邊形的面積”時(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)想到用“剪拼轉(zhuǎn)化法”是有一定困難的。此時(shí)，引入格子圖為這個(gè)探究過(guò)程做好鋪墊就能順勢(shì)而導(dǎo)。

有了格子圖的鋪墊，將平行四邊形通過(guò)剪拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形這個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程不再是生澀的，而是自然生成的。并且，眾所周知，面積的大小其本質(zhì)是包含了幾個(gè)面積單位，而格子圖恰恰可以看作是一個(gè)個(gè)的面積單位的累積。例如，上圖中平行四邊形的面積是20平方厘米，即包含了20個(gè)面積單位，20個(gè)格子。學(xué)生在三年級(jí)的時(shí)候?qū)W了面積和面積單位，一直到五年級(jí)才又一次接觸面積大小，那么在這樣的長(zhǎng)時(shí)間跨越中如何自然銜接而使得學(xué)生再次重構(gòu)面積的概念呢？筆者認(rèn)為，格子圖的使用就是這個(gè)銜接點(diǎn)的有效“紅娘”。這樣一舉兩得的美事何樂(lè)而不為呢？

（二）“格”來(lái)輔助，幫助思考

方格圖為學(xué)生建立方向、感受距離提供標(biāo)準(zhǔn)和參考。學(xué)生在實(shí)際測(cè)量中必然存在的誤差將在一定程度上分散學(xué)生解決問(wèn)題關(guān)注的重點(diǎn)，而方格圖則很好地解決了這個(gè)問(wèn)題。有大小相同、整齊排列的方格來(lái)輔助，“距離方位”自然而然地走進(jìn)了學(xué)生的大腦。格子圖為學(xué)生提供了思考的空間和感悟的輔助條件。

在四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”單元中，學(xué)生正式學(xué)習(xí)“平行”與“垂直”。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)“水平的”或“豎直的”直線關(guān)系非常認(rèn)可。對(duì)傾斜的（與水平線有夾角）的兩條線的關(guān)系則不太容易認(rèn)可，常有憑感覺(jué)來(lái)判斷或繪圖的現(xiàn)象。此時(shí)，我們借助格子圖來(lái)輔助教學(xué)，將會(huì)起到事半功倍的作用。

①兩條直線是怎樣的關(guān)系？（生信心滿滿：平行！）

② 下面三幅圖中兩條線段還互相平行嗎？

此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖，是幫助學(xué)生理解相互平行的位置關(guān)系是不受“長(zhǎng)度”和“方向”因素影響的，拋開(kāi)“線段長(zhǎng)度”“方向”等非本質(zhì)因素，從而對(duì)平行關(guān)系有了更清晰的認(rèn)識(shí)。

③能畫(huà)出與下面這條線段有平行關(guān)系的線段嗎？

學(xué)生能夠借助線段在方格中的特殊位置，準(zhǔn)確地畫(huà)出了與已知線段有平行關(guān)系的線段。這時(shí)方格圖發(fā)揮了重要的參照作用，展現(xiàn)了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

④ 請(qǐng)你判斷下面三組線段是否相互平行？

有了以上的教學(xué)基礎(chǔ)，有了直觀簡(jiǎn)潔的格子圖的輔助，相信學(xué)生判斷平行已經(jīng)了如指掌。

（三） 數(shù)“格”結(jié)合，詮釋內(nèi)涵

“數(shù)”與“形”是貫穿整個(gè)中小學(xué)數(shù)學(xué)教材的兩條主線。數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)得好：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”而格子圖就是一種很好的“形”，數(shù)格結(jié)合，形中有數(shù)，數(shù)中有形，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，變抽象思維為形象思維，有助于學(xué)生詮釋內(nèi)涵，把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。綜觀整套教材中格子圖出現(xiàn)的節(jié)點(diǎn)，理解存在的合理性；再橫向比較不同版本中格子圖的出現(xiàn)情況，為我所用。

以下列舉各版本中均出現(xiàn)的百數(shù)圖，可以把它看作一個(gè)10×10的方格圖，當(dāng)1～100各數(shù)填入其中，在形與數(shù)之間便形成了一定的關(guān)系，我們?cè)谡J(rèn)識(shí)、研究這些數(shù)的排列規(guī)律的同時(shí)，也可加入形的元素。一數(shù)一格，一抽象一形象，別有趣味。我們可以讓學(xué)生思考：

①填完整百數(shù)圖，想一想，這些數(shù)的排列有規(guī)律嗎？（探究橫、豎、斜行的規(guī)律）

②找某個(gè)數(shù)周邊的一些數(shù)的特征，如27，左邊的數(shù)比它小1，右邊的數(shù)比它大1；上面的數(shù)比它小10，下面的數(shù)比它大10，包括27所在列的數(shù)與行的數(shù)的特點(diǎn)是什么？

③用一些基本圖形去覆蓋百數(shù)圖中的某些區(qū)間，出示其中一個(gè)數(shù)，讓學(xué)生猜猜其他空格內(nèi)分別是什么數(shù)？

……

當(dāng)然這樣的練習(xí)，還可以變化出很多。關(guān)鍵是在這些找一找、填一填、說(shuō)一說(shuō)、想一想的系列活動(dòng)中，把方格圖中的數(shù)與形結(jié)合，既有趣又蘊(yùn)含一定的思維性，符合學(xué)生的好奇特性，又不失數(shù)學(xué)味。玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)單上手的格子圖，既可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，又可以開(kāi)辟出別樣的數(shù)的天地。

（四）“格”來(lái)創(chuàng)新，盡顯直觀魅力

在“圖形與幾何”的教學(xué)中，教材中有些教學(xué)內(nèi)容沒(méi)有出現(xiàn)格子圖，但教師可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際靈活變通，創(chuàng)造格子圖，為教學(xué)添色增彩。格子圖的展示應(yīng)根據(jù)具體的內(nèi)容加以選擇，格點(diǎn)與方格也不盡相同。在講求邊的長(zhǎng)短時(shí)，多用格點(diǎn)，而探究面的大小時(shí)則選擇方格，充分利用格子圖的特性為知識(shí)的探究而服務(wù)，發(fā)散學(xué)生的思維，盡顯直觀魅力。

例如，有位教師在教學(xué)“多邊形面積的復(fù)習(xí)”一課時(shí)，整堂課就圍繞以下例題展開(kāi)：

從圖中可以看出，按照預(yù)算只能種植40平方米的草坪，如何在10×5規(guī)格的長(zhǎng)方形中設(shè)計(jì)出面積是40平方米的圖形呢？這需要學(xué)生調(diào)動(dòng)所有學(xué)過(guò)的圖形的面積求法（長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等）進(jìn)行推算。那么，要讓學(xué)生在一張空白的長(zhǎng)方形紙中設(shè)計(jì)圖形可謂空中樓閣難上加難。但這位教師卻巧妙地借助格子圖讓問(wèn)題迎刃而解。

我的設(shè)計(jì)： 我的驗(yàn)證：

教師出示了以上練習(xí)單，格子圖給了學(xué)生想象的空間，其方位感和距離感給了學(xué)生想象的“腳手架”，讓學(xué)生的設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)接連不斷。來(lái)看看學(xué)生的思維是怎樣的活躍：

（保持上底、下底、高不變，形狀又有多種）

……

正是格子圖這種規(guī)整的圖形，大小相同、整齊排列的方格相襯，使學(xué)生的想象有了依托，為學(xué)生的直觀洞察能力的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。在經(jīng)歷這樣的創(chuàng)作過(guò)程中，不僅復(fù)習(xí)了多邊形面積算法，深入理解圖形特征，更發(fā)展和開(kāi)拓了學(xué)生的思維。試想，沒(méi)有格子圖，能有這么多的“創(chuàng)作”嗎？

格子圖雖不起眼，但可將此作為教學(xué)的“支點(diǎn)”， 物盡其用，適時(shí)、適當(dāng)?shù)厥褂酶褡訄D，將其教學(xué)價(jià)值最大化。借助“格子圖”的幾何直觀作用把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，助力探索解決問(wèn)題的思路，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展，真正有效構(gòu)建和提升學(xué)生的空間觀念。

（浙江省嘉善縣范涇小學(xué) 314100）