數學模型思想的滲透

劉東旭

在小學數學教材中，模型無處不在。小學生學習數學知識的過程，實際上就是對一系列數學模型的理解、把握的過程。在小學數學教學中，重視滲透模型思想，可以幫助學生建立并把握有關的數學模型，有利于學生把握數學的本質。

小學數學中的數學模型，主要的是確定性數學模型，廣義地講，數學的概念、法則、公式、性質、數量關系等都是模型。數學模型具有一般化、典型化和精確化的特點。模型思想就是針對要解決的問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想方法。

現以 “雞兔同籠”為例，談一談如何讓小學生形成數學模型思想的思考。

眾所周知，“雞兔同籠”問題的數學模型是二元一次整數方程，然而，在小學里學生并不學習二元一次整數方程。可是，“雞兔同籠”卻被廣泛地運用到小學教材中。北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設和替換”的策略；人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數學廣角”中詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應用，而我們使用的北京版數學教材則是分兩次安排的。第一次出現是在四年級下冊教材中，重點介紹用畫圖和列表法解決問題，雖然算式法沒有呈現，但是已經“水到渠成”；第二次是在五年級教材中，出現了列方程的方法。教學這些內容時，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過于簡單和淺薄。那么，對小學生的數學學習而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著“模型”因素呢？在教學中，筆者引領教師進行了嘗試。

一、走進情境，獲取信息

以數學文化的介紹引入教學：在一千五百年前，我國古代有一本數學巨著叫《孫子算經》。書里邊有一道數學趣題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞、兔各幾何？”這道題世代相傳，甚至漂洋過海，傳到日本等很多國家，歷經千年而不衰。激發學生興趣，揭示學習內容，引發學生思考。

二、搭橋引模，形成策略

教學分為三個層次，從頭的數量為較小數開始。

1.一個籠子，從上面看有3個頭，從下面看有8條腿，雞有幾只？兔有幾只？由于給定的頭數和腿數的數據比較小，教師是這樣引導的：“你們猜猜看，雞和兔各有幾只呀？你們是怎樣想的呢？說說你的想法。”留給學生思考的時間。

生：雞有2只，兔有1只。因為1只雞有2條腿，我想2只雞就有4條腿，還剩4條腿，那就是1只兔子。

生：我用畫圖表示的。

2.一個籠子，從上面看有6個頭，從下面看有20條腿，雞有幾只？兔有幾只？要求學生根據上面那道題的想法，自己喜歡用哪種方法就用哪種。可以猜一猜，可以畫一畫，也可以算一算。

數據變大了一些，有的學生從猜出發，從1只雞5只兔開始；有的學生從3只雞3只兔開始；有的學生從1只兔5只雞開始。老師幫助學生把這種猜測、枚舉的思路整理成一個表格的形式，就成為列表法。

有的學生直接用了畫圖的方法，把6只都看成是雞，或把6只都看成兔。

這時，教師引導學生發現列表法和畫圖法之間的聯系——方法不同，實質相同，都是運用了假設的方法。結合學生的畫圖法，幫助學生梳理思考方法，形成策略。

（1）看成雞（或兔），算算有多少條腿。

（2）與題中的腿數比較，再算算相差多少條腿。

（3）調整，添上或去掉腿數。

（4）求出數量，標清雞兔各幾只。

3.一個籠子，從上面看有8個頭，從下面看有26條腿，雞有幾只？兔有幾只？要求學生自選方法，獨立解答。由于學生有列表法和畫圖法作支撐，知道了方法之間的內在聯系，即假設的思路。所以獨立解答這道題時，算式的列法已“水到渠成”。學生不僅算式列得好，而且說理清楚明白。

8×2=16（條）

26-16=10（條）

4-2=2（條）

兔 10÷2=5（只）

雞 8-5=3（只）

教師的這三個層次的設計，數據從小變大，方法由繁到簡，但是其核心思想是一致的，都是“假設的思路”。“雞兔同籠”的解題策略基本形成。

三、抽象概括，建立模型

在數學學習過程中，抽象與概括是數學能力、數學思想的核心要素之一，是形成方法、得出規律的關鍵性手段，同時也是建立數學模型最為重要的一環。抽象是從許多事實或現實中，舍去個別的、非本質的屬性，而抽取出共同的、本質的屬性。在數學中表現為抽取數量之間、空間形體之間的關系。當學生在頭腦中形成各種具體的圖式表象后，教師還應引導學生進一步抽象和概括，在理解的基礎上進一步內化并掌握數量關系。

在學生能初步用假設思路解答“雞兔同籠”問題后，筆者要求教師要注意引導學生關注“雞兔同籠”這類題本身的題型結構特征，即：已知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關系，求未知量；其次是教師要引導學生理解解答方法，即“假設法”的一般解題思路；三是教師要引導學生深入思考，“生活中你見過有人把雞和兔放在一個籠子里養殖的嗎？就是放在一起養殖，也沒有誰去做數頭數腳這種無聊的事吧。我們的老祖宗干嘛煞費苦心地進行研究呢？一千多年過去了，為什么雞兔同籠這道數學題還作為寶物似的流傳到今？”

在學生對所提問題一時困惑皺眉時，教師提議帶著這個問題來繼續進行“龜鶴同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑問：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？經過研究和比較，學生發現：“雞兔同籠”不只是代表著雞、兔同籠的問題，有很多類似的問題都可以看成是“雞兔同籠”問題，如人馬問題、牛雞問題、汽車和自行車的輪子問題，等等。隨后，師生共同研究“信封里放著5元和2元的鈔票，共8張，34元，信封里5元和2元的鈔票各有多少張？”探討其與雞兔同籠問題的關聯。經過比較和猜想，學生的認識再次提升：“這里的2元的鈔票就相當于雞有2只腳，而5元的鈔票就相當于兔，是5只腳的怪兔。”最后，教師讓學生聯系生活，將一些實際問題編成“怪雞”“怪兔”同籠的數學問題并解答。

到了課堂總結時，屏幕上第三次出示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？學生總結感受之后，教師順勢給予強化：從一個具體的數學問題出發，研究解法，并上升到一種模型，最后進行廣泛的運用，數學就是這樣發展起來的。同樣，如果我們在學習各種數學問題時能有“模型”的意識，舉一反三，觸類旁通，我們必將會走向數學學習的自由王國。

上述教學通過對“‘雞兔同籠’有什么獨特的魅力？”這一問題的三次追問把整節課串聯起來，雖然每一次追問的層次和目標是不一樣的，第一次是針對具體的、“原生態”的雞兔同籠問題發問，主要是激發學生的探究欲望，向更高的學習層次邁進；第二次是進一步明確“雞兔同籠”問題的結構、模型，同時，又讓學生經歷更高層次“數學化”的過程；第三次是幫助學生實現完整的“模型”建構，實現“形式的”數學知識向現實生活的“復歸”，但是，其核心都是讓學生從“模型”和“建模”的角度來親近數學，了解數學。站在“高點”再回望探究之旅，學生更加深入地認識了數學。當然，這個過程不是一節課就能夠完成的，在第一階段可以分2～3課時完成。

數學在本質上就是在不斷地抽象、概括、模式化的過程中發展和豐富起來的。數學學習只有深入到“模型”“建模”的意義上，才是一種真正的數學學習。這種“深入”，就小學數學教學而言，具有鮮明的階段性、初始性特點，它更多地是指用數學建模的思想和精神來指導數學教學，從而達到“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生在獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展” 的目的。

（北京市通州區教師研修中心 101100）