帳篷設計的優化數學模型

吳曉紅

摘 要： 本文研究的是對帳篷的設計用料最省的問題。作者通過對帳篷的用途的分析，利用建立求解帳篷面料大小及支桿大小的初等數學模型和選擇支桿材料及防雨材料的數學模型。

關鍵詞： 初等數學 棱錐 數學模型

一、問題重述

假設你是一個戶外運動的愛好者，你希望你的帳篷牢固、抗風、防雨，有盡可能大的室內空間；因為財力物力均不允許，所以要使所設計的帳篷面積最小且符合要求。這是一個優化模型。

首先原材料均需購買，所以我先通過網上調查設計帳篷所需要的原材料種類、規格、性能及價格，根據所需選定原材料，又因為市面上材料價格參差不齊，所以選擇較便宜的且符合自身設計要求的材料。

其次我設計的側重面主要是防雨，而其他的性能均通過材料的提高達到；防雨，一方面是下雨時不可以讓雨水漏進帳篷，另一方面就是帳篷不可以有雨水的堆積，從而使帳篷發生坍塌；而前者我們可以通過采購好的有防水涂層的面料來作為帳篷的外帳，后者則需要設計較好的外形，而這個外形設計則為我本次模型的側重點。

由淺入深討論，通過簡化帳篷的形狀，假設帳篷為一個三棱柱（四棱臺會積水），對會淋到雨的兩個側面進行受力分析，使側面受到的力最小，那么帳篷便不易被擊垮。側面所受力是雨滴給的，而雨滴的力不僅僅是雨滴的質量（分析時，雨滴質量過小，可以忽略不計），雨滴從高空落下最開始做自由落體運動，因為受空氣阻力的作用，后期受力平衡做勻速運動，落到帳篷上具有一個收尾速度，由收尾速度可以得出打在帳篷上的水柱高度，再利用壓力方程可以計算出水滴給帳篷上一點的壓力；對帳篷面的受力情況，進行力的分析，求帳篷受力最小值的情況下帳篷側面與水平面的夾角。

最后，通過受力分析、作圖、計算等一系列步驟，計算出最適合的外形輪廓。

二、問題假設

1.假設風向水平與地面。

2.假設降雨方向為垂直于地面。

3.假定帳篷為棱錐體。

4.不考慮帳篷的透風性。

5.假定帳篷底面的長度大于或等于其寬度x≥y。

三、符號說明

x：帳篷底面的長度。

y：帳篷底面的寬度。

z：帳篷的高度。

l：人體身高。

l■：風繩的長度。

l■：支架的長度。

S■：帳篷地面面積。

S：帳篷總面積。

wp■：單位面積風的動壓。

wp■：單位面積雨水的動壓。

r■：風的密度。

v■：風的速度。

r■：雨水的密度。

v■：雨水的速度。

Fn：支架所支撐的力。

F■：帳篷所承受的風力。

F■：支架所支撐的力。

四、模型的建立與求解

在研究帳篷時，因為要考慮到帳篷的穩定性，也就是帳篷在抗風壓、雨水壓力時的支撐能力，以及自身的穩定性（不易變形，支撐時不易發生滾動等）方面考慮，我選用棱錐作為帳篷的骨架。同時要考慮到內部空間要適宜人的休息和活動，所以最終選擇了四棱錐作為基礎的骨架。然后從人體因素和環境因素考慮帳篷的大小要求和通過抗風性能及抗雨水能力對表面材料的選擇。

建議模型如下：

1.人體因素

建立帳篷的目的是人短時間居住在里面，所以帳篷的底面積及長寬高要在一定的程度上適宜人的居住。所以需要帳篷的底面積s要大于人體平躺睡眠時需要占有的橫截面積。并且帳篷的地面長度x要大于人體的身高l。然而人的高矮胖瘦存在一定的不同，所以帳篷的寬度y要遠大于人體的單臂展長度，通常人體的單臂章長度為（1-0.618）l。因此可有條件：

X>l，y>（1-0.618）l

又根據面積公式可得出帳篷的底面積為：

因為帳篷是人類在室外活動的簡易場所，當風力大于八級時風力已超過了成人室外活動最大風力承受值，所以不予考慮超過7級以上的風力。假定帳篷地面長度為2m，高度為1m，帳篷自重10kg。經過計算得出不同風力對應的支桿應該承受的力如下：

同時經過調查不同支桿所承受的最大壓力不同，如此可通過將要宿營的地方的風力特點及最大風力選擇合適的支桿制作帳篷的支架。如下表所示：

對于帳篷的面料及其防雨性能的選擇與抗風有所不同，面料只需選取190Td滌綸即可。而防御主要是從面料的表面涂料實現其功能的。防雨量的性能指標是按每平方厘米承受多少毫米的水柱計算的。同時，降雨量是指從天空降落到地面上的液態或固態（經融化后）水，未經蒸發、滲透、流失，而在水平面上積聚的深度。其中小雨指日降雨量在10毫米以下；中雨日降雨量為10～24.9毫米；大雨日降雨量為25～49.9毫米；暴雨日降雨量為50～99.9毫米；大暴雨日降雨量為100～250毫米；特大暴雨日降雨量在250毫米以上。經整理如下：

考慮到降雨等級達到暴雨時已經威脅到人在室外的安全的問題，我們在計算時不予考慮暴雨及其以上級別的宿營帳篷。防雨水是指在一定的水壓沖淋1小時面料沒有明顯滲水。通常雨傘的防水能力是PU1000mm。根據調查可知，在野外環境中PU800涂層可以防小到中雨，PU1000—1200的涂層可以防中到大雨。如此可根據宿營地的降雨情況進行選取涂層涂料。

綜合上面兩方面情況可整理出制作帳篷的材料的限定條件如下：

需要的面料大小：

如此對照上述內容可以根據具體的個人情況和宿營地情況進行選擇。

按照我認自身的條件建立一個帳篷如下：

我個人身高為178cm。宿營地為hz的bmh，平均降雨量20～37mm。常見最大風力為4級。所以需要的滌絲尼龍面料大小為109550cm，支架選用鋁合金長度為180.3cm，防雨材料采用PU10002。

五、模型評價

此模型較好地分析了雨對于帳篷面的影響，并且模型建立時候，思路較清晰；但是因為主要是考慮雨水對于帳篷的影響，其他方面的影響沒有深入考慮，而那些影響并不是可以單純地依靠材料的提高達到的，因為材料性能的提高，與之相對的價格也會變高；模型只是將帳篷外形簡化成一個四棱柱，但是真實的帳篷形狀并不是這樣的，模型還應該更深入討論。

參考文獻：

[1]韓瑋.現實生活中最優化問題的數學模型構造[J].數學通報，2007，46（2）.

[2]楊啟帆.數學建模[M].高等教育出版社，2005.5.

[3]顏文勇.數學建模[M].高等教育出版社，2011.6.