例析“整體思想”在解題中的應(yīng)用

萬曉斌

數(shù)學(xué)的思想方法很多，“整體思想”即為其中之一.數(shù)學(xué)習(xí)題中，由給定條件按照常規(guī)的方法和步驟不能直接得到解決，要不就是解題過程繁瑣，會(huì)走很多彎路.而把“非必求部分”視為一個(gè)“整體”，可以找到解決問題的捷徑.這種體現(xiàn)“整體思想”的解題方法，會(huì)使問題簡單化，如果能夠在解題中靈活應(yīng)用，將會(huì)收到事半功倍的效果.

例5：已知y+b與x+a（a、b為常數(shù)）成正比例，且x=3時(shí)，y=5；x=2時(shí)，，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.

解：∵y+b與x+a成正比例

∴y+b=k（x+a）①

當(dāng)x=3時(shí)，y=5；x=2時(shí)，y=2代入①式得

3k+（ka-b）=52k+（ka-b）=2

解方程組得：k=3，ka-b=-4.

于是y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=3x-4.

評(píng)析：由以上方程組要分別求出待定系數(shù)k、a、b，確實(shí)困難，因?yàn)閗a-b整個(gè)相當(dāng)于一次函數(shù)一般表達(dá)式y(tǒng)=kx+b中的常數(shù)b，所以只有把ka-b作為一個(gè)整體，能最終確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.

例6：有大小兩種貨車，2輛大車與3輛小車一次可以運(yùn)貨15.5噸，5輛大車與6輛小車一次可以運(yùn)貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可運(yùn)貨多少噸？

解：設(shè)1輛大車和一輛小車一次可分別運(yùn)貨x、y噸，根據(jù)題意，得

2x+3y=15.5 ①5x+6y=35 ②

①×7-②得：9x+15y=73.5

即3x+5y=24.5

也就是3輛大車與5輛小車一次可運(yùn)貨24.5噸.

評(píng)析：常規(guī)方法是通過解上述二元一次方程組，先求出x、y的值，再進(jìn)一步去求3x+5y的值.但本題中，要求的是3輛大車和5輛小車一次可以運(yùn)貨多少噸，故把3x+5y看做一個(gè)整體，通過觀察方程未知數(shù)各系數(shù)的特點(diǎn)，由上述方法即可以一步到位，求解簡捷、快當(dāng).

總之，利用“整體思想”解題就是把一個(gè)復(fù)雜的問題通過變形，轉(zhuǎn)換成一類整體，通過對(duì)簡單的整體進(jìn)行求解之后，再解決相關(guān)問題的方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生利用“整體思想”解題，可以提高學(xué)生的觀察、分析能力，轉(zhuǎn)化思維的能力，以及化歸思想和收斂思維能力，從而提高學(xué)生靈活解決數(shù)學(xué)問題的能力.