一個偶然的發現

陳德華

一、 提出問題

在學習乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2時，老師給出了這樣一道題目：若a+b=5，ab=6，則a2+b2=_______，a-b=_______.

老師讓我們分組討論、分析解題的思路，很多同學“連碰帶猜”，用特殊值不斷進行“試驗”. 同組的小王的想法是：因為3+2=

5，3×2=6，所以a=3，b=2，故a2+b2=13，a-b=1. 但同學小李卻有不同的看法：如果a=2，b=3呢，那么a-b的值就等于-1了.

有沒有一種通法，能直接求出所有滿足題意的解呢？老師讓我們結合乘法公式進行探究，我們小組的同學經過充分討論后決定對（a+b）和（a-b）進行平方，因為這樣變化后，就會出現a2+b2和ab，從而溝通了它們之間的關系. 我舉手提出了我們小組的想法，老師首先充分肯定了我們的思路，并鼓勵我們把探究的過程展示出來.

歸納起來就是三句話：兩數的平方和等于兩數和的平方減去它們積的2倍或兩數差的平方加上它們積的2倍；兩數和的平方與差的平方之和等于它們平方和的2倍；兩數和的平方與差的平方之差等于它們積的4倍.

讓我們把問題中的已知條件代入，看結論是否得到驗證. 把a+b=5，ab=6代入公式一得：a2+b2=52-2×6=13；再把a2+b2=13、ab=6代入公式二得：13=（a-b）2+2×6，所以（a-b）2=1；若把a+b=5、a2+b2=13代入公式三得：52+（a-b）2=2×13，所以（a-b）2=1；若把a+b=5，ab=6代入公式四得：52-（a-b）2=4×6，所以（a-b）2=1. 所以a-b=±1，結論都能得到驗證.

三、 運用結論

課后練習時，我發現還有幾道題目可運用公式一和公式二解決，你不妨也來試一試.

通過這節課的探究，我深深地體會到，學習的過程實際上就是一個鉆研和探索、歸納的過程，也是一個發現的過程. 可見，學習數學只有享受過程，才能有所收獲！

（指導教師：趙 軍）