數形結合 畫出數感 重在綜合

徐黎明

“綜合與實踐”作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）規定的四大課程內容之一，理應引起密切關注，扎實實施。《課程標準》指出：“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。它有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授。它是教師通過問題引領學生全程參與實踐過程并相對完整的學習活動。那么，如何踐行《課程標準》理念，扎實上好數學綜合實踐課？在“千課萬人”活動中，筆者有幸聆聽了特級教師華應龍老師的數學綜合實踐課“臺灣長什么樣”，現整理課堂實錄，與同行共享。

一、引出問題，激發實踐需要

（課件展示臺灣風光圖片：臺灣故宮、鎮宮大白菜、101大樓、阿里山、日月潭）

師：沒有去過臺灣的同學請舉手。

師：想去嗎？我剛剛去過臺灣，去之前我到新華書店買了本書《暢游臺灣》 ，里面這樣介紹臺灣。（課件出示：臺灣本島南北縱長395千米，東西寬度最大144千米，海岸線長約1139千米）看了這段文字你想到了什么問題？

生1：臺灣有多大？

生2：臺灣是什么形狀？

生3：臺灣這么遼闊，人口可以住多少？

師：是呀，我們可以提出很多問題，剛才有同學提出臺灣長什么樣？（板書）就看這三個數據，你能不能說一說臺灣長什么樣子？

生：我覺得臺灣有可能特別長，因為南北縱長有395千米，東西寬度最大只有144千米，長長瘦瘦的，像一條帶子一樣。

師：嗯，肯定不是圓，如果是圓，南北長東西寬應該一樣。你還能想到什么？

生：我覺得應該是橢圓形的。

師：能不能用這三個數據來說明。還是覺著這數據不夠明確，怎么去處理，有些困難？這三個數據是395千米、144千米和1139千米【板書：（400+150）×2=1100（千米）】。這是我當時看到這三個數據后，寫下來的式子。你看了這個式子有什么想法？

生：因為縱長395千米和寬度144千米，好像是在求長方形的周長。

師：哦！長加寬的和乘2，想一想，臺灣可能長什么樣？

生：長方形。

師：在這一式子里，我們把395看成400，把144看作150，這樣估算出來的1100千米應該比臺灣實際的周長要……

生：要多了。

師：對！臺灣的海岸線實際上就是它的周長。

師：現在你再來說說臺灣長什么樣？

生：我覺著臺灣它不是一個規則的圖形。只是在原來長方形的基礎上多一些。

生：它可能不是一個規則的長方形。

師：它不是一個規則的長方形。

生：多一些坑坑洼洼，彎彎曲曲。

【賞析】對于臺灣，絕大部分學生聽說過甚至去過，但對于臺灣島的形狀卻都不太清楚。華老師恰當選擇有關臺灣的風光圖片和數據，引導學生提出了“臺灣有多大？”“臺灣是什么形狀？”“臺灣這么遼闊，人口可以住多少？”等問題，讓問題生成于學習材料，有效地激發了學生的探究需求，學生有了“長長瘦瘦的，像一條帶子一樣?！薄?是橢圓形的?！薄安皇且粋€規則的長方形?！薄埃ㄖ苓叄┒嘁恍┛涌油萃?，彎彎曲曲”等初步感覺。在此也綜合運用了周長的知識和估算的技能，邁出了數形結合的第一步，可謂是亮點初閃。

二、四畫臺灣，實現數形結合

（一）一畫臺灣，初成雛形

師：如果我們要畫一個臺灣長什么樣？你想怎么畫？

生：先畫一個長方形。

師：畫多大的一個長方形？長畫4厘米寬畫1.5厘米，或者長畫8厘米寬畫3厘米。想一想，你想怎么畫。

師：現在請四人小組交流一下，說說自己是怎么想的。

師：下面請金昊辰同學展示自己的作品。（見圖1）

生：我覺著這個圖形非常不規則。

師：還有其他意見嗎？

生：我覺得臺灣長得就這樣。因為不是比長方形的周長還多了一些嗎？

生：我覺得他畫錯了，寬度144千米，說明不應超過150千米。

師：剛才我們六（5）班同學評價同學作品的時候非常好。先肯定作品的優點，再指出他的不足之處。下面我們請方格同學來展示自己的作品，哪位同學來評價這幅作品？（見圖2）

生：感覺這樣的彎曲比原來的還要短，

師：為什么說短了？能不能用學過的知識來解釋一下？

生：因為斜的邊比這兩條邊要短些。

師：為什么說短了？

生：因為斜邊的邊應該比這兩條線要短些。

師：這好像是沒學過數學的人講的話。

生：以前學過，現在忘了。

師：哈哈！非常誠實的孩子。誰能幫她解釋？

生：實際周長要比長方形周長長，而橢圓的周長要比長方形周長短，橢圓應該有許多彎曲，所以不對。

師：你說得很對，但是你沒有回答剛才男生的話題，為什么彎曲的一定要比兩條邊短些？

生：其實我原先想改的，但是黑筆改不了。就拿這條斜邊來說，可以把它看成一個近似的直角三角形，而直角三角形的兩條直角邊的長度要大于斜邊的長度，所以長方形的周長要大于橢圓的周長。（掌聲響起）

師：孩子們，你們慢了，掌聲早該響起，人家方格同學自己畫的，自己反思。剛才她用上了我們學過的什么知識？

生：三角形的兩邊之和大于第三邊。

師：下面請周亦飏展示作品（見圖3），看了周亦飏的作品你有什么感受？

生：有點長了。

師：先別說人家不好的地方，說說好的。你看作品南北縱長，東西寬度都符合要求，她畫的海岸線長度肯定要比長方形周長長，不過是不是太長了些。孩子們，通過剛才這么一交流，我們要在長方形中畫出臺灣什么樣子也不是件容易的事，可不是隨便畫的，應該有思考。畫的時候必須注意什么？

生：南北、東西線不能超出長方形。

生：臺灣的弧線不能太多，也不能太少，要控制好。

（二）二畫臺灣，畫出數感

師：好！現在就請你在第2個長方形中，再畫一個臺灣的樣子，這次爭取能把你對數的感覺畫出來。

學生嘗試畫圖，同桌交流后集中反饋。

師：下面請朱晨樂同學來展示作品（見圖4），現在看了她的作品，我覺得不能只看一幅，應該先看剛開始的一幅，再看現在畫的一幅，覺得怎么樣？

生：有進步！

師：對，老師也覺得進步很明顯，剛剛我們展示的一些不完善的作品，其實每一個不完善的作品都是一個提示或指引，讓我們前進一步。剛才有同學問臺灣的面積多大（課件出示：面積約為3.6萬平方千米），看完這條信息，你想到什么？

師：有同學在說400×150=60000平方千米（板書）剛才臺灣的面積是多少？（3.6萬平方千米）而我們算出來是6萬平方千米，你想到了什么？

生：臺灣有很多地方不是凸出來的而是凹進去的。

師：是不是這么一想，臺灣原來長得很瘦小，不是很飽滿。臺灣的面積占長方形面積的幾分之幾？

生1：大約二分之一左右。

生2：五分之三。

（三）三畫臺灣，提高要求

師：對，或者說大約60%。是不是現在又想畫了，琢磨一下怎么畫，在第3個長方形中畫出臺灣的樣子。

師：我發現有同學沒有動筆，而是在思考，非常好。剛才我們有體驗了，臺灣的樣子那不是隨便就能畫的。

師：現在我們還是很期待著來欣賞同學們的作品，我們先來看金樂的作品（見圖5），看了金樂的作品，有什么想說的？

生1：南北距離沒到400千米，看起來面積像五分之三，但長度不夠，畫得不對。

生2：這橢圓的周長明顯要比長方形小。

師：考慮周長短了，現在請金樂自己來說說，剛才你考慮了什么？沒考慮什么？

生：我只考慮了面積，沒有考慮周長和南北長度。

師：我們再來看看吳帆的作品。（見圖6）

師：我知道你們笑什么了，是臺灣長得嚇人了。誰來評價吳帆同學的作品。

生：畫得挺好的

師：是不是發現吳帆考慮挺周到的，考慮了好幾個地方？

生：南北、東西長度，周長、面積都考慮了。

師：哎，我發現他南北還留了一點，挺細致的孩子。只是好像周長稍微長了些。

圖5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖6

（四）四畫臺灣，接近真實

師：如果讓同學們再畫一個，這次你覺得要考慮哪些方面的問題？

學生第四次畫臺灣。

師：讓我們再來看看吳帆同學的作品（見圖7），感覺現在怎么樣？南北？東西？周長？面積？想不想知道臺灣究竟長什么樣？

生：想。

師：（出示圖8）是不是覺得很像？孩子們看著自己畫的臺灣的樣子，然后比較臺灣實際的樣子。是不是有這樣的感受：做事情往往不會一步到位，只要不斷調整，就會走向完美。

圖7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖8

【賞析】華老師在課上為學生提供簡單又合適的學習材料——4厘米長、1.5厘米寬的長方形，讓學生在長方形里面四畫臺灣島，整個師生互動過程亮點紛呈。

一是學生嘗試在先，展示師生評價在后。每一次畫臺灣，華老師總是讓全體學生先在練習紙上，根據教師提供的信息、材料和前一階段獲得的階段性成果嘗試著畫，并重點展示了7位學生真實的學習結果，讓學生說出思考的過程，接著讓學生相互評價、自我評價，學生有了自主實踐過程的真實體驗，能自然而然地說出對同伴或自己的作品的感覺，并不斷地修正，使畫出的圖形越來越接近真實的臺灣島的樣子，而教師則在一旁巧妙點撥。整個過程，恰到好處地體現了正確的師生觀：學生是數學學習的主體，教師是學習的組織者、引導者和合作者。

二是教師逐步提高要求，提供必要數據，實現數形結合。二畫臺灣以后，華老師補充出示了臺灣的面積，并提問“看完這條信息，你想到什么？”在有學生說出400×150=60000（平方千米）時，華老師又問：“剛才臺灣的面積是多少？（3.6萬平方千米）而我們算出來的是6萬平方千米，你想到了什么？”在學生思維的關鍵節點上，教師總是不失時機地提問、追問和提供數學信息，提升了學生的思維水平，比較完滿地體現了數形結合思想，提高學生綜合應用數學知識的能力。

三是學生通過反思修正，臺灣形狀越來越逼真。在每一次學生畫臺灣后，華老師都會為學生提供自主反思的機會。如一畫臺灣后，華老師提出：“為什么彎曲的一定要比兩條邊短些？”在教師的問題引導下，學生自主整理、喚醒舊知，運用到了“直角三角形的兩條直角邊的長度要大于斜邊的長度”的相關知識。又如二畫臺灣后，華老師運用對比，引導學生反思：“下面請朱晨樂同學來展示作品，現在看了她的作品，我覺得不能只看一幅，應該先看剛開始的一幅，再看現在畫的一幅，覺得怎么樣？”“現在請金樂自己來說說，剛才你考慮了什么？沒考慮什么？”一個個問題，引導學生通過動手操作、縱橫對比、評價修正，對臺灣島長什么樣的概念由模糊逐漸清晰，數感——長方形周長、面積數據在具體情境中的感覺，也越來越明確，數學活動經驗不斷豐富，數學綜合與實踐課的特點隨之凸顯。

三、畫后提煉，提煉思想方法

（多媒體講述英國劍橋大學著名哲學家穆爾、羅素、維特根斯坦的小故事）

師：你能發現什么問題嗎？

生1：考慮事情的時候要周到。

生2：做一切事情不可能一步到位。

生3：凡事都要遞進，多考慮一些因素。

生4：不只是腦子里想，還要去實踐。

師：是不是周長一定的情況下，面積可大可小？一個圖形的周長、面積確定后，它的形狀確定了嗎？也就是根據剛才的四個數據，是不是一定能畫出臺灣的樣子？

眾生搖頭。

師：為什么？能不能舉例子說一說？（課件出示圖9）什么變了？什么沒變？

生齊：（指①）面積變了，周長不變;（指②）面積不變，周長變了;（指③）面積一樣，周長一樣，形狀不一樣。

師：其實這種方法就是——舉個反例。說明一個圖形的面積和周長確定后，它的形狀是不確定的，那也就是說，根據剛才的四個數據，是不是一定能夠畫出臺灣的樣子？

生：不一定。

師：對，只是可能畫出臺灣的樣子。是不是還有其他問題？既然我們發現臺灣長得什么樣，臺灣的面積不是長乘寬，那么臺灣的面積又是怎么得到的呢？地球上的臺灣又是怎么變成地圖上的臺灣的呢？是不是還有很多很多問題？送你一句話：發現問題即是收獲。

【賞析】積累數學活動經驗、培養學生應用意識和創新意識是數學課程的重要目標，應貫穿整個數學課程之中?！熬C合與實踐”是實現這些目標的重要和有效的載體。在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師和學生素質的互動過程。華老師不是為了畫臺灣而畫臺灣，而是在學生四畫臺灣，積累了基本活動經驗的基礎上，引領學生通過傾聽科學家的小故事、觀察方格圖周長、面積的變化等學習材料，把四畫臺灣的實踐經歷與感悟進行數學化抽象，及時提煉數學思想方法。由于教師的材料合適、點撥及時，學生果然有了“做一切事情不可能一步到位?！薄安恢皇悄X子里想，還要去實踐。”等真實又貼切的感悟，學生的思考水到渠成、漸入佳境！華老師又以“發現問題即是收獲”的經典語句結束全課，升華思想。

總之，華老師在教學設計和實施時特別關注了問題的選擇、問題的展開過程、學生參與的方式、學生的合作交流，活動過程和結果的展示與評價，是一節“綜合與實踐”的樣板課，值得我們為之喝彩并實踐跟進。

（浙江省紹興市上虞區小越鎮中心小學 ? 312367）