談“怎么想不到”到“怎么能想到”

陳慶憲

《教學(xué)月刊小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）曾在2010年第10期刊登了麻彩虹老師所寫的《從“怎么想到”到“怎么想不到”——“三角形面積”磨課記》。麻老師在文章中介紹了三種方法的教學(xué)設(shè)計，第一種是給學(xué)生提供兩個完全相同的直角三角形紙片、兩個完全相同的銳角三角形紙片、兩個完全相同的鈍角三角形紙片，讓學(xué)生把每兩個完全相同的三角形拼擺成平行四邊形，從而推導(dǎo)出三角形面積的計算方法。麻老師覺得這種方法提供的材料太明顯了，學(xué)生還沒經(jīng)過思考就在教師的要求下擺出長方形或平行四邊形，這不是學(xué)生自己想到的方法。第二種是給學(xué)生提供畫有格子的三角形（每格表示1平方厘米），讓學(xué)生通過數(shù)格或剪拼把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，進而推導(dǎo)出三角形的面積計算方法。這種方法是從一個特殊的三角形通過剪拼來推導(dǎo)三角形面積計算方法，而且使用這種方法后學(xué)生不會想到用兩個完全一樣的三角形來拼成平行四邊形進行推導(dǎo)。接著麻老師介紹了第三種方法，先讓學(xué)生觀察一個長方形和兩個平行四邊形，先復(fù)習(xí)長方形和平行四邊形的面積計算方法，接著教師把這三個圖形連上對角線，分別分出了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形;通過這樣的過程，學(xué)生觀察到每個三角形都是剛才長方形或平行四邊形面積的一半，同樣也自然地想到可以用任意兩個完全一樣的三角形去拼成平行四邊形來驗證三角形面積的計算方法。麻老師經(jīng)歷了三次磨課，比較贊同第三種方法。

麻老師的文章引發(fā)了筆者的一些思考。筆者認(rèn)為，第三種方法學(xué)生雖然自己會想到，但這是依靠此前對長方形、平行四邊形連接對角線分成兩個完全一樣三角形的暗示得出的。這種思維過程還是比較直接的，處理方式似乎也太直白了。那么怎樣才能使學(xué)生經(jīng)歷有價值的思考過程呢？當(dāng)時筆者寫了一點補充作為探討，發(fā)表在《教學(xué)月刊小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2011年第1-2期合刊上。主要做法是把麻老師的第二種有格子的三角形放在格子紙中（如圖1，每格表示1平方厘米）。希望學(xué)生能借助于格子的背景，除了能聯(lián)想到數(shù)格子和割補的方法之外，也能想到擴拼法（如圖2）。

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

在實際教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生一開始都是直接去數(shù)三角形格子，而在數(shù)的過程中會用到割補法。接著教師引導(dǎo)學(xué)生作進一步觀察，一部分學(xué)生想到了擴拼法。在這一環(huán)節(jié)教學(xué)之后，筆者給學(xué)生提供了畫在紙上的一個直角三角形、一個銳角三角形和一個鈍角三角形，要求學(xué)生把它們標(biāo)上底和高，并采用畫一畫的方法把它們轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的長方形或平行四邊形。學(xué)生以畫代擺，不僅運用了割補法，還運用了擴拼法來推導(dǎo)三角形的面積。

時隔數(shù)月之后畢宏輝老師又在《教學(xué)月刊小學(xué)版》（數(shù)學(xué)）2011年第7-8期合刊上發(fā)表了文章，文章針對筆者以上以格子為背景的三角形探究提出了三個觀點。第一個觀點認(rèn)為此前提供給學(xué)生格子紙上的三角形是一個特殊的三角形，例子過于特殊。第二個觀點認(rèn)為推導(dǎo)三角形面積有兩種策略，本課重點是擴拼法。第三個觀點認(rèn)為研究三角形面積要從“一類”到“幾類”進行。于是畢老師提出他的教學(xué)方案是從研究直角三角形的面積開始。

筆者認(rèn)為畢老師的觀點的確值得我們深思，并對畢老師提出的后兩個觀點完全贊同，但對第一個觀點筆者認(rèn)為值得商榷。讓學(xué)生以格子為背景先研究這一特殊的三角形，從這一特例學(xué)生自己一定會想到去數(shù)格子，把兩個不到一格的拼成一格，這實際上就是割補法;除此之外，學(xué)生還會慢慢地借助于格子背景想到把它擴拼成長方形或平行四邊形，按擴拼之后的圖形去數(shù)格子和計算，三角形面積就是擴拼之后的圖形面積的一半。從這一特殊三角形數(shù)格子和擴拼，其目的是為了讓學(xué)生自己想到如何把任意一個三角形也作類似的轉(zhuǎn)化得到面積的計算方法，這一過程也正是體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。當(dāng)然畢老師提供的教法也給我們的教學(xué)帶來了很好的啟示，畢老師先要求學(xué)生在一個長方形上畫一條線段，產(chǎn)生一個三角形，學(xué)生畫出了三種情況（如圖3）。學(xué)生從第一個圖中很快地說出了這個直角三角形的面積是這個長方形面積的一半，只要測量這個長方形的長和寬，也就是直角三角形的兩條直角邊（底和高）就知道這個三角形的面積。接著讓學(xué)生思考后兩個直角三角形，學(xué)生雖然一時有點困難，但在教師的啟發(fā)下——你們能不能也找到一個長方形，使這個三角形成為它的一半——學(xué)生經(jīng)過思考構(gòu)建出長方形（如圖4），三角形的面積是長方形面積的一半，也就是兩個完全一樣的直角三角形可以拼成一個長方形，計算三角形的面積只要測量這個長方形的長和寬，也就是測量直角三角形的底和高。然后教師向?qū)W生提問題：給你一個銳角三角形或鈍角三角形，你能否找出一個面積是它2倍的長方形或平行四邊形呢？接著學(xué)生以不同對應(yīng)邊拼擺出不同的平行四邊形進行推導(dǎo)。

分析以上教法，首先，筆者認(rèn)為畢老師對學(xué)習(xí)素材的處理很有創(chuàng)意，特別讓學(xué)生在一個長方形中任意劃分出不同的直角三角形，使學(xué)生很快地進入對一般直角三角形面積的探究。但仔細(xì)思考這樣的學(xué)習(xí)素材處理也出現(xiàn)了之前麻老師所介紹的第三種方法一樣的問題，麻老師是對一個長方形和兩個平行四邊形，同時連上對角線來分別分出兩個完全一樣的直角三角形、兩個完全一樣的銳角三角形、兩個完全一樣的鈍角三角形，而畢老師只是針對長方形分出了兩個完全一樣的直角三角形（圖3中的第一個圖），從這個直角三角形的面積就是這個長方形面積的一半，再去思考后面兩個直角三角形如何分別擴拼成長方形。由于有了第一個圖形的暗示，再加上教師的提示，學(xué)生才會想到圖4所示的方法。另外，筆者認(rèn)為采用這樣的教學(xué)方案，學(xué)生的思維被局限于擴拼法，雖然擴拼法是教學(xué)的重點，但對學(xué)生來說前面剛剛學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積計算，對平行四邊形的割補法印象是很深的，如果在沒有任何暗示的情況下放開讓學(xué)生思考，估計大部分學(xué)生會想到的是怎樣去割補把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的圖形，而強行將學(xué)生的思維局限于擴拼法，全然不要學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，這種做法是否真的合適呢？

最近在我市的教研活動中又有教師要教學(xué)此課，這促使筆者借鑒前面兩位教師的方法，對此課的教學(xué)作了新的思考與設(shè)計。借鑒畢老師從直角三角形入手，筆者認(rèn)為原來采用的“格子法”不能只給學(xué)生一個銳角三角形，而應(yīng)該給學(xué)生同時提供三種三角形（如圖5，每格表示1平方厘米）。學(xué)生先觀察直角三角形，因為直角三角形是學(xué)生最容易思考的，無論學(xué)生從怎樣的角度去觀察都能得到這個直角三角形的面積。

果不其然，在實際教學(xué)中，學(xué)生得出了三種方法（如圖6）。第一種方法是直接數(shù)格子（6個整格加上6個半格），得到面積是9平方厘米;第二種方法是把直角三角形的上半部分的小直角三角形剪拼到下面，得到一個正方形，面積也是9平方厘米;第三種方法是把它擴拼成一個長方形，這個長方形由兩個完全一樣的直角三角形拼成的，面積是長方形面積的一半，也得到9平方厘米。

在教師組織學(xué)生對以上直角三角形的面積計算方法進行反饋評價后，再讓學(xué)生繼續(xù)針對另外兩個三角形進行觀察思考。接著教師組織學(xué)生反饋交流，除了一部分學(xué)生說到割補，還有相當(dāng)多的學(xué)生自己說到擴拼法。（如圖7，銳角三角形擴拼成的圖形。鈍角三角形擴拼成的圖略）

圖7

接著教師再向?qū)W生提問：對于任意三角形面積也能用類似的方法來驗證它的面積計算方法是“底×高÷2”嗎？此時讓學(xué)生拿出紙片學(xué)具，學(xué)生從中分別選擇出兩個完全一樣的直角三角形紙片、兩個完全一樣的銳角三角形紙片、兩個完全一樣的鈍角三角形紙片，分別拼擺成長方形或平行四邊形作進一步驗證說理（如圖8、圖9、圖10），教師及時組織學(xué)生反饋評價。

圖8：用兩個完全一樣的直角三角形拼成的長方形或平行四邊形

圖9：用兩個完全一樣的銳角三角形拼成的平行四邊形

圖10：用兩個完全一樣的鈍角三角形拼成的平行四邊形

反饋中教師抓住每一對三角形不同對應(yīng)邊的重合拼出的平行四邊形，要求學(xué)生找出拼好的平行四邊形的底和高與三角形對應(yīng)的底和高，使學(xué)生全面地驗證了三角形的面積計算方法。最后教師要求學(xué)生拿出一個三角形，并向?qū)W生提問：你能不能只用一個三角形把它剪拼成已學(xué)過的圖形推導(dǎo)出三角形的面積計算方法？（過程略）

綜觀以上分析，我們都在尋找如何讓學(xué)生自己想到三角形面積計算的推導(dǎo)策略。我們有這些不同教學(xué)方案的交流，應(yīng)該感謝麻彩虹老師開始提出的“怎么想到”到“怎么想不到”的思考，這里的思考實質(zhì)是對教學(xué)觀念的深究。我們都在想如何從學(xué)生的實際出發(fā)，更好地讓學(xué)生經(jīng)歷有價值的數(shù)學(xué)活動過程;我們都在追求在自主發(fā)現(xiàn)的過程中哪一種素材和方法既給學(xué)生暗示因素少一些，又能促使學(xué)生主動地進行探究，只有這樣，學(xué)生才有可能獲得更有價值的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，才能更好地提高自身的觀察、想象能力。

（浙江省臨海市教育局教研室 ? 317000）