數形結合在初中數學課堂教學中的應用

王鑫

摘 要： 隨著新課改的推進，數學思想方法方面的教學得到教師的重視。數學的思想方法是數學這門科學的精髓，可以讓人通過它領會到數學的本質，并且從數學的角度思考和解決問題。而數形結合是一種數學思想，在數學知識和解題方式上，都有進一步深化。數形結合貫穿了初中數學的兩條主線，即“數”和“形”。倘若教師在初中數學教學中貫穿數形結合的方法，引導學生形成數形結合的思考直覺，則有助于學生培養良好的數學思維和解題思路。本文從數形結合的教學策略、數形結合在數學問題解決中的應用及數形結合教學的啟示三方面進行闡述。

關鍵詞： 數形結合 初中數學 數學思想

“數形結合”作為數學思想方法的一種，可以使學生領悟數學這門科學的本質，并運用數學思想進行思考和問題解決。初中數學學習過程中，主要涉及的數學思想方法有數形結合、函數、歸類等，而數形結合貫穿初中數學中的“數”與“形”兩條主線。華羅庚曾經就數形結合說過這樣一句話：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。”可以得出，數形結合離不開“數”與“形”的相互轉換。運用“數”的方法解決“形”的問題，可以使問題更直白，幫助缺乏空間想象能力的學生建立更直接的對問題的理解，找到更直白的解決辦法。運用“形”的方法解決“數”的問題，可以將數量關系中較難用文字和數字理解到的關系轉換得更直觀，使學生更容易理解“數”中蘊含的關系。

一、數形結合的教學策略

隨著新課改的要求，運用方法解決問題越來越受到教育工作者的重視。為滿足這一需求，教師要挖掘教材中隱藏的思想方法，在平時教學活動中引導學生培養數學思想方法的意識。在實際教學活動中可以采用多種形式以調動學生的主觀能動性，更好地建立學生對數形結合的印象?？梢圆捎枚嗝襟w手段展示數形結合、在數學問題的解決過程中滲透數形結合、在反思過程中提煉數形結合。運用多媒體手段來展現數形結合，可以通過動態的變化驗證問題解決的過程，培養學生的動態感。

例如，教師在進行“走進圖形世界”這一章節的教學時，可以運用多媒體展示幾何圖形的展開圖、正視圖、俯視圖和側視圖，等等。如圖1所示，可以直觀地演示六棱柱的側面展開圖。這樣直觀地進行六棱柱的展開和折疊的過程，有助于培養學生的空間能力。類似的，我們也可以利用多媒體，進行一系列立體圖形的側面展開圖。可以讓學生觀察得出立體圖形由哪些平面圖形組合得到，這一過程如圖2所示?？傮w來說，多媒體的數形展示，使數學知識的展示方式得到新的優化，讓數與形相結合。

圖1

圖2

二、數形結合在數學問題解決中的應用

在恩格斯的定義里，數學是一門研究現實世界空間形式和數量關系的科學。換句話說，也就是一門研究“數”與“形”的科學。數形結合在數學的問題解決里的應用主要表現為“以數解形”和“以形解數”兩種形式?！耙詳到庑巍保蠢谩皵怠钡木珳时憩F表達“形”中蘊藏的數學關系。我們在“以數解形”中可以借助代數法、參數法、解析法等解決幾何問題。例如，在進行幾何問題解決時，有這樣一道題。如圖3所示，⊙O內切于△ABC，已知AB=9，AC=11，BC=13，試求過△ABC的各個頂點的切線長。

對此題進行分析，觀察到過△ABC的三個頂點的切線是AD、AE、BD、BF、CE、CF，并且AD=AE，BD=BF，CE=CF。題目中給出的已知條件知道AB、AC和BC的長度，那么我們可以用方程組的思想，將其轉化成三條邊都是兩條線段的和，用方程組進行求解。即：設AD=x，，BD=y，CF=z。已知⊙O內切于△ABC，切點分為為D、E、F，可得：

x+y=9x+z=11y+z=13

可以解得：x=5，y=4，z=9。

類似的，“以形解數”即利用“形”的直白解決較抽象的“數”的問題。我們可以利用圖形的直白解決函數問題、方程和不等式問題、統計與概率問題、代數問題，等等。例如，在教師進行“一次函數”的教學活動中，可以利用數形結合的數學思想解決一次函數與坐標軸圍成圖形的面積問題。如題目：已知，直線y=kx+b（k不為0）經過點A（-2，0），并與y軸相交于點B，直線AB與坐標軸圍成圖形的面積是2，試求直線的解析式。分析這個題目，可以作一次函數的圖像進行輔助解題，如圖4所示。題目中已知函數與坐標軸圍成的圖形面積，即圖中的三角形AOB的面積。此處應注意，因為題中沒有給出直線與y軸交于正半軸還是負半軸，所以兩種情況都應該考慮。依據三角形AOB的面積是2，可以得出S■=0.5·2·|b|=2，可解得b=±2。

三、數形結合教學的啟示

數形結合這種數學的思想方法，在數學知識和數學教學中被深入滲透。數形結合的基礎是數學知識，然后把空間和數量結合起來，運用數與形的互補解決各樣的問題。通過對數形結合方法在初中數教中的教學研究，得到以下啟示：首先，數學是美的，在教學中可以盡量向學生展示數學富有魅力的一面，從而使學生從情感的方向感受到數學在運用數形結合的方式解題時富有數與形的統一美和運用方法解題的簡潔美，而不只是對于初中生而言較抽象的數字推理過程。其次，在運用數形結合的方式教學時，可以將數形結合上升為一種思想，在教學中反復地灌輸，讓學生形成數形結合解決問題的思維直覺。最后，要將數形結合建立在心理學的基礎上。通過對問題解決的研究，得出在利用數形結合進行解決問題的過程中人的思維方式。

四、結語

數形結合的思想方法是以數學知識和數學問題的解決為基礎的，而初中學生要對它有一段較客觀的認識和較直接的思考反應還需要一個比較長的時間。除了對初中數學課本的學習，教師要對學生進行引導和指導。當然，也和學生自身的理解和吸收是分不開的。數學的思想方法對于學生的影響遠遠大于數學知識的積累。這就需要教育工作者在教學活動中參加強調和引導，從而使學生有基本的對數學思想方法的認識，有利于其之后的發展。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]代欽.初等幾何問題解次教學研究[M].兩安：陜兩師范人學出版社，2010.