簡諧運動中的“中間時刻和位置”結論的應用

張建美

摘?? 要： 高考主要考查學生對機械波形成過程的理解。本文推導出簡諧運動的“中間時刻”和“中間位置”，幫助學生突破難點。

關鍵詞： 簡諧波??? 簡諧運動??? 振動方程??? 中間時刻??? 中間位置

一、簡諧運動中的“中間時刻和位置”結論

分析：如圖所示，是簡諧運動圖像，根據簡諧運動振動方程：

x=Asin■t

可推出：

四分之一周期的中間時刻是八分之一周期，即：

t=■T時，x=Asin（ω-■T）=Asin■=■A

振幅的中間位置是二分之一振幅，即：

x=■A時，即■A=Asinωt，即sinωt=■，t=■

二、運用

例1：一簡諧橫波沿x軸正向傳播，t=0時刻的波形如圖（a）所示，x=0.30m處的質點的振動圖線如圖（b）所示，該質點在t=0時刻的運動方向沿y軸？搖？搖? ？搖？搖（填“正向”或“負向”）。已知該波的波長大于0.30m，則該波的波長為？搖？搖? ？搖？搖m。

圖（a）?????????????????????????????????? 圖（b）

解：由圖b可知，t=0時刻，該質點的位移■cm，是單個質點簡諧運動的中間時刻，在下一時刻，位移大于■cm，所以該質點在t=0時刻的運動方向沿y軸正向。

由振動方程得：

y=Asin■t

即■=2sin■t，sin■t=■

因為波長大于0.30m，所以■t=■π，解得t=■T

由v=■=■得λ=0.8m

例2：一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，振幅為2cm，波速為2m/s。在波的傳播方向上兩質點a、b的平衡位置相距0.4m（小于一個波長），當質點a在波峰位置時，質點b在x軸下方與x軸相距1cm的位置。則（??? ）

（A）此波的周期可能為0.6s

（B）此波的周期可能為1.2s

（C）從此時刻起經過0.5s，b點可能在波谷位置

（D）從此時刻起經過0.5s，b點可能在波峰位置

解：根據簡諧橫波，振幅為2cm，質點b在x軸下方與x軸相距1cm的位置，可判斷出是中間位置。對AB選項，根據題意，有兩種情況：

第一種情況：

t=0時，波的圖像如圖1，從圖像得

（■+■）λ=0.4，λ=1.2m

根據T=■=■=0.6s，所以A正確。

圖1

第二種情況：

t=0時，波的圖像如圖2，從圖像得

（■+■-■）λ=0.4，λ=0.6m

根據

v=■，T=■=■=0.3s

圖2

因為只有以上兩種情況，所以B錯誤。

當T=0.6S時，如圖3所示，因為波沿x軸正方向傳播，上坡下振。

圖3

第一次波峰：

t■=■T+■T=0.2s

第一次波谷：

t■=■T+■T+■T=0.5S

當T=0.3S時，如圖3所示，因為波沿x軸正方向傳播，下坡上振。

圖4

第一次波峰：

t■=■T-■T+■T=0.2S

第n次波峰：

t■=0.2+0.3n

n=1時，t=0.5s

第一次波谷：

t■=■T-■T=0.05S

第n次波峰：

t■=0.05+0.3n

不論n取任何整數，t≠0.5s，所以，正確答案是ACD。

參考文獻：

[1]韋民.《與名師對話》.2013年3月出版.

[2]http：//ask.newclasses.org/Detail_79908.aspx.