關于中職“三角函數的誘導公式”教學的點滴思考

俞靚文

摘 要： 《三角函數的誘導公式》是中職生一年級所學習的內容，在學習過程中許多學生在公式的記憶和綜合運用上存在困難，在解題時公式運用錯誤率較高.針對以上情況，作者結合教學實際，對本節內容進行了思考，要有效解決以上學生的學習困難和提高學生解題正確率，需從兩方面入手——強化和細化對公式的概念教學和加強對公式運用方法的總結與反思.

關鍵詞： 三角函數誘導公式 概念教學 總結與反思

《三角函數的誘導公式》是江蘇省職業學校文化課教材《數學》第一冊第五章《三角函數》第五節的內容.通過本節內容的教學，要求學生理解誘導公式的推導方法，并能正確運用誘導公式求任意角的正弦、余弦、正切值和對簡單的三角函數式進行化簡.由于中職生和高中生相比，相對的基礎知識和接受能力能力、思辨能力、邏輯推理及歸納能力都要稍遜一籌，因此在現實教學中，在運用三角函數的誘導公式進行解題的正確率往往較低.主要存在以下兩個問題：1.學生對公式會記憶背誦，但沒有深刻理解和掌握“三角函數誘導公式”概念本質，知其然而不知其所以然；2.學生會運用單獨公式進行解題，但沒有掌握通過綜合運用三角函數誘導公式求三角函數值和化簡的方法.如何通過課堂有效教學較好地解決這兩個問題，是數學教師需要解決的問題.針對中職學生能力的實際狀況，筆者認為應該從以下方面入手。

1.強化和細化對公式的概念教學

學生學習的數學概念是隨著學生對數學知識的不斷深化在不斷發展完善，在教學中應善于尋找、分析其聯系與區別，注重體現基本概念的來龍去脈，有利于學生掌握概念的本質.在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質.學生只有深刻理解和抓住了概念的本質屬性，才能一般性地認真分析誘導公式，不論如何題目如何變化，都能正確使用.

1.1創設情境，激發學生的學習興趣

數學概念的引入，一定要堅持從學生的認識水平出發，要密切聯系生產生活實際.緊緊圍繞主題充分激發學生的興趣和學習動機.為學生順利地掌握概念起到奠基作用.

首先從任意角的三角函數的定義出發，教師圖示并引導學生思考回顧任意角的三角函數的定義，使學生通過對原有知識的回憶和直觀觀察，通過提出問題：α+2kπ與α的三角函數關系是怎樣的？建立了學生對學習內容的感性認識.根據學生認知規律，結合新課教學的特點，以問題為載體，通過問題：終邊相同的角的特點是什么？OM除了是角α的終邊外，還是哪些角的終邊？將OM逆時針旋轉k周（k∈Z），sinα，cosα，tanα是否改變？層層深入，以學生活動為主線，讓學生的思維“動”起來.從而啟發學生進行思考和討論，并探究出誘導公式（一）sin（α+k·360°）=sinα，

弧度制表示成：cos（α+k·360°）=cosα，（k∈Z）tan（α+k·360°）=tanα.sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，（k∈Z）tan（α+2kπ）=tanα.

1.2在展示知識的產生發展過程中認識概念

數學概念是人們對客觀事物不斷抽象的結果，它的形成和發展是一個漸進的過程.人們在對周圍客觀事物的認識中，通過感知，運用比較分析綜合抽象概括等一系列邏輯方法，抓住事物的本質屬性而產生數學概念.

由于誘導公式具有一定的抽象性，因此在推導第二組誘導公式時，采用數形結合的方法，先由具體的角度出發，對比30°角與-30°角的各三角函數值之間的關系：

再使學生探討α和-α之間三角函數值之間的關系，推廣到一般形式，使學生經歷由特殊到一般的思維過程；體驗了層層深入，推導出公式的過程；深刻體驗了由數量關系到形的關系再到數量關系的轉化過程。學生根據三角函數的定義易得：

在推導第三組誘導公式時，通過提出系列問題：sin30°的值是，那能否求出sin210°的值？兩者之間有沒有什么關系？相應的，它們的余弦值和正切值有沒有什么關系？在使學生體會運用滲透化歸和數形結合的方法的同時，使學生自主從具體形象的角之間關系推導出三角函數值之間的關系，再從三角函數的定義予以驗證，最后推廣到一般情況，從而使學生能夠從根本上掌握誘導公式的本質屬性，并且學生通過積極主動地參與公式的課堂學習，從而有利于提高分析問題、解決問題的能力.

推廣到一般形式：

1.3強化對三角函數誘導公式概念的理解

在學生已經體驗誘導公式推導過程的基礎上，引導學生比較三角函數誘導公式概念間的橫向與縱向的聯系，體驗三角函數誘導公式概念的內涵和外延結合學習.第四組誘導公式既是通過由直接抽象的推導公式到具體的角度加以驗證應用的同時，又是再次深化學生對幾組誘導公式的本質的理解和思考，進而加深對新概念的理解.

通過以上細化三角函數誘導公式的教學，可以豐富學生的認知結構，擴大三角函數知識的記憶庫，建立公式概念的系統性，幫助學生分清同類公式概念之間的各種關系，進而使學生能夠自然而然地在教師的引導下得出四組誘導公式的記憶方法，即“函數名不變，符號看象限.——記角α為銳角”，而不是機械記憶.為能夠有效避免學生只會背公式卻不知如何運用公式和在運用時公式出現錯誤打下了堅實的基礎，完善學生的三角函數知識結構，培養學生應用三角函數公式概念解決問題的能力.

2.加強對公式運用方法的總結與反思

2.1注重公式運用教學過程中的遞進性

運用數學概念解題的過程一方面是幫助學生深刻理解和鞏固掌握的所學概念的過程，另一方面是對學生所學概念的檢驗過程.因此，當學生對三角函數四組誘導公式的概念形成之后，便可通過具體例子，引導學生利用誘導公式解決數學問題和發現誘導公式在解決問題中的作用.但是如何綜合運用三角函數誘導公式求三角函數值和化簡往往是學生解題的困難所在，教師對例題選取的是否合理得當則是完成這一教學過程和解決這一問題的一個重要環節，此環節操作的成功與否，將直接影響學生對三角函數誘導公式的鞏固，以及運用誘導公式進行解題能力的形成.因此，在教學過程中教師要注重所選例題在公式運用上的遞進性，逐步引導和幫助學生掌握運用公式規律，以免造成在綜合使用公式求三角函數值和化簡時，對公式應用的混亂和錯誤.

2.2注重運用公式解題后的總結與反思

涂榮豹先生說：“反思不僅僅是對數學學習一般性的回顧或重復而是深究數學活動中所涉及的知識方法思路策略等”.涂先生強調：“傳統學習是操作性數學學習，是學生憑借自己有限的經驗進行簡單重復的學習活動，這種活動所依賴的是那些通常并不清楚的經驗和理解，進行的自動化的直覺的操作活動.反思性數學學習的基本特征是它的探究性，就是在考察自己活動的經歷中探究其中的問題和答案，重構自己的理解，激活個人的智慧，并在活動所涉及的各個方面的相互作用下，產生超越已有信息以外的信息.反思性數學學習的優勢是可以幫助學生從例行公事的行為中解放出來，幫助他們學會數學學習.”因此，教學過程中，教師應合理選取例題，在運用公式進行解題之后，使學生在教師的有效引導下，對解題過程和三角函數誘導公式的使用方法、規律進行深入的思考和總結，使學生自己總結概括出在應用三角函數誘導公式求三角函數值的規律方法：

在應用三角函數誘導公式化簡時的規律方法是：切化弦（或弦化切），高次化低次，異角化同角，異名化同名.

這樣長此以往，不僅能使學生加深對三角函數誘導公式的理解、鞏固知識和靈活應用，避免解題錯誤，還能把解決問題的數學思想方法及對問題的再認識轉化為學習過程，提高學生的分析問題、解決問題的能力，優化他們的數學思維，達到融會貫通的境界.

參考文獻：

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[2]涂榮豹.數學教學認識論.南京師范大學出版社.

[3]邵瑞珍等.教育心理學[M].上海：上海教育出版社，1983：94.