數學是思維的“體操”

王遠庸

小學數學是數學教育的起始階段，學生數學思維的培養顯得尤為重要，它直接關系或決定著學生后天數學學習的成敗。與顯性的數學知識相比，數學思維是抽象的，這就決定了數學思維的培養與訓練顯得并不容易，它需要教師有較好的數學素養、明確的思維培養意識和高超的教學技藝。鄭毓信教授認為：教學中最為重要的就是如何能將數學思維的教學真正滲透于具體知識內容的教學之中，即以數學思維方法的分析指導具體數學知識內容的教學。一次偶然的機會，筆者有幸聆聽了特級教師魏潔老師的一節觀摩課——“9加幾”。魏老師為我們演繹了在數學課堂上如何結合數學知識的學習進行思維訓練，讓學生學有興趣的數學、有思維成就的數學。

【教學片段一】以生為師，促思維成長

師：看老師在黑板上怎么操作的？把你看到的說出來，而且能提一個數學問題，聽懂了嗎？

生：盒子里有9個蘋果，盒子外有4個蘋果，一共有13個蘋果。

師：有意見嗎？

生：我覺得他算得很好，借一個1給9，9就變成10，10加3等于13，所以4剩3個，1就已經變成13，所以算成13。

師：在座的聽懂了的小朋友舉手，我聽不懂，我不舉手。

生：聽不懂。

師：我也聽不懂，但是我聽懂了第一個孩子說的，她說盒子里有幾個？（9個）盒子外面有幾個？（4個）然后他說一共有幾個？（13個）有人認為有13個，有人認為有14個，沒關系。但是我在想，實際上她給我們提了一個問題，問我們一共有多少個？要解決她的問題，你用什么方法能計算出來？

生：加法。

師：把算式告訴我們。

生：9+4=13。

師：哎呀！你喊出了一個答案，讓我糊里糊涂的，因為我不知道這個答案對不對。9+4是不是等于13呢，我得打個“？”。 ?這個算式能看懂嗎？

生：能。

師：對，是將兩個部分合起來。那你們說結果等于13是怎么算的呢？

生：因為我在家里學過。

師：那你將家里學過的方法講給我們聽，你也來教教我們。

生：……

師：家里講的9+4等于13，你是硬記下來的，你的記憶力真好。可是魏老師記不住，誰來教教我，有什么好的方法呢？

生：先算9+4，再算得13。

師：我想問這13怎么得來的？

生：……

師：沒關系。待會兒我們想出來，再說好嗎？我就想，如果爸爸媽媽不教我，就憑我們自己的本領，你能想出來9+4怎么做嗎？

【賞析】在這一教學片段中，教師引導學生由觀察入手，從簡單的操作中，嘗試提出一個數學問題，激活學生的思維。面對“9+4”這一新學習的內容，絕大部分學生對如何計算覺得困難。教師首先放低自己——“我不懂，我不舉手。”讓學生感到教師也有學習困難，需要自己的幫助，從而增強了自己學習的信心。“讓我糊里糊涂的”——教師表達出自己的“疑惑”，責任感激發學生思考的內驅力。“誰來教教我？”——則是教師明確地向學生發出的“求助”信號，不知不覺中，師生關系互換，“師”者的身份促使學生主動思考。在充分激活學生思維的基礎上，教師提出：“如果爸爸媽媽不教我，就憑我們自己的本領，你能想出來9+4怎么做嗎？”讓學生嘗試自主探究9+4的計算方法。作為教學的組織者，魏老師在一步步“后退”，學生在一步步“前進”。教師一直在向學生尋求“幫助”，向學生“請教”，學生在“解惑”中學習主動性不斷增強，數學思維越來越活躍，學習興趣越來越高。

【教學片段二】闡述算理，將思維拉伸

生：把4借給9一個1湊成10，4還剩3，10加3等于13。

師：聽懂的人坐直，他剛才講到了一個借，你們聽到了嗎？跟誰借啊？

生：跟4借。

師：誰能上來借給我們看看。

（學生上黑板操作）

師：跟你們的想法一樣嗎？

生：一樣。

師：4借走一個，還剩幾個？ 接下來怎么算？你們剛才告訴我，是拿誰加誰？

生：9+1。

師：我們要告訴別人，你是怎么算的。

生：用9+1等于10，10再加3等于13。

師：聽懂的人，誰能再說一次。

生：4借一個給9變成10，再加3等于13。

師：哎呀！這一次，我真的有點明白了，為什么等于13，誰能再教我一次，就更清楚了。

生：用4分成1和3，然后1和3合起來是13。

師：我有點聽不懂了，跟我一樣聽不懂的人舉手。我第一步聽懂了，她說把4分成1和3，然后她說1和3組成13，1和3怎么能合成13呢？這里的1指的是誰呀？

生：10。

師：10怎么來的？

生：9+1=10。

師：她實際上心里算了一個9+1=10，10再加上3等于13，了不起。原來你們說出的那個答案是對的。（將問號改為13）這次你一教我，我就會了，我會了一個什么方法呢，我會了一個“借”，是你們剛才教我的，但是要借幾個？

生：1個。

【賞析】“語言是思維的外殼。”思維不一定需要語言表述，但語言表述一定會有思維的存在。魏老師特別注重讓學生用語言去闡述9+4的具體計算過程。在學生第一次完整地說出計算過程的基礎上，魏老師由“借”入手，與學生深層交流，為學生再次梳理了9+4的算理，此后，通過“誰能再說一次”“誰能再教我一次”讓學生反復地闡述算理，我們似乎看到學生的思維被一次次地拉伸。在對拉伸思維的審視中，學生發現了自己思考中的不足;在對自身思維過程的闡述中，學生的思維變得愈來愈清晰;在對數學問題的反復思考中，學生的數學思維變得更有條理，更有理性，知識掌握得也更加牢固。作為一節觀摩課，魏老師并不滿足于少數學生的完美回答，她關注的是學生群體的學習、學生數學思維的訓練，以及學生良好學習習慣的培養，她在為學生以后的數學學習打好基礎。

【教學片段三】實踐操作，讓思維暴露

師：9加幾的算式除了9+4、9+6，還有可能是9加幾呢？你能想一道嗎？但不能把答案說出來。

生：9+3。

師：還可能有？

生：9+7。

師：把你想到的算式寫下來，寫下來后，像老師這樣動手去做一做，把你們剛才跟那個數借的過程，做一做，還要像這樣把它記下來，明白了嗎？

（學生活動，在方框里填上想的數，再動手做一做。）

師：好，我們請一位小朋友上來演示一下。你寫的是9加幾？

生：9+5。

師：你是怎么借的？做給我們看看。

（學生演示，并說明，從盒子外面移一個小方塊到盒子里面去。）

師：現在變成了9加幾？

生：9加1。

師：等于幾？

生：10。

師：然后呢？

生：10加4等于14。

師：看懂了嗎？你也可以學習她，但數不要與她一樣。你可以換個數研究它，研究好的同學可以跟同桌說一說，你是怎么做的？

（學生再次長時間地自主活動。）

【賞析】數學教學是數學活動的教學，而數學活動的核心是數學思維活動。在數學活動中，學生學會觀察、實驗和比較，提升了分析、綜合、抽象和概括能力，并能進行簡單的推理，嘗試合乎邏輯地闡述自己的思想與觀點，逐漸形成良好的思維品質。思維的結果需在實踐中接受檢驗。學生學會了“9加幾”的計算方法，理解了算理，教師讓學生動手操作，將計算過程物化出來，使學生的思維暴露出來，便于學生看清自己的思維過程，發現其中的不足，清楚思維的各個環節。9+4的計算屬于代數思維，鄭毓信教授認為，凝聚是代數思維的基本形式，是指由“過程”向“對象”的轉化，通過一段時間的學習，9+4這類計算不再被看成一個過程，而逐漸被固化為一個特定的數學對象，因此，被固化為“對象”前的過程很重要，它是學生理解數學知識的基礎，否則學生的數學學習就成了死記硬背，不求甚解。對于一年級學生來說，他們的思維水平還很低，主要以形象思維為主，對動手操作更感興趣，因此，讓他們充分經歷過程是必要的，便于他們更好地理解所學知識，促使他們更加主動、積極地進行思考，學習效果會更好。

【教學片段四】平等交流 ?激思維創新

師：剛才有小朋友寫的是9+3，你是怎么做出來的？一起與大家分享一下。

生：3借給9一個，還剩2，10加2等于12。

師：同意嗎？有一點我聽不懂，這10怎么來的？

生：9加1。

師：你們說，他學會了嗎？他剛才研究了9+3，有沒有人研究9+2呢？

（沒有人應聲）

師：沒有人？它太簡單了是嗎？魏老師不是特別聰明，所以我來研究9+2，你們愿意教我嗎？

生：愿意。

師：現在我有幾個，還要拿幾個？

生：借一個。

師：變成了多少？

生：10。

師：10是怎么來的？

生：9+1等于10。

師：然后呢？

生：10+1等于11。

師：好，我記下來，謝謝你們，你們將我教會了。9+4有了，有人研究9+5嗎？這兒已經有9個了，還需要幾個？

生：5個。

師：你是怎樣想的？

生：我是這樣想的，從5里拿一個放進去，變成14。

師：老師還有一點不明白，這10是怎么來的？

生：是9跟5借一個來的。

師：好！謝謝你！這下我學會了，我把它記下來，9+5等于14。誰研究9+7的？它等于多少？

生：16。

師：9+8是誰研究的？等于多少？不用操作了，直接告訴我結果是多少？

生：17。

師：怎么一下子變成了17？

生：因為9從8里借一個不是10嗎？8減1不就是7嗎？所以等于17。

師;我講一遍，你們要仔細聽，我將他教我的，講一遍給你們聽。8分成了1和7，9加1等于10，會說的跟老師一起說。10加7等于17。最后一個最難了，9+9，知道答案的人舉手。

生：18。

師：你們是擺的，還是用別的方法算出來的？

生：別的方法。

師：誰來說一說？

生：9加1，它是10，上面加幾就是幾。但是9和9合起來就是18，是因為9減1等于8。

師：（師表現出聽不懂）聽懂了嗎？你聽懂了，上來，說給大家聽一聽，老師剛才發現你聽得特別認真，老師這顆心一定要送給你，你最會聽別人說話，說吧！

生：他是說，9減1等于8，9加1等于10，所以結果是18。

師：也是用的借一個的方法，是吧？

生：不是這個意思。

師：好！再給你一個機會。

生：9可以分成1和8，9和8合起來不就等于17嗎？17加1不就等于18嗎？

師：（掌聲）聽懂他的意思了嗎？告訴老師你叫什么名字。9比8多1，他就直接在17上加1，掌聲送給他，了不起。今天同學們真厲害！

【賞析】學生聽魏老師的課，總會被魏老師深深吸引住，他們的思維一直在數學知識的海洋中徜徉，還不時地躍出水面，跳出屬于自己的“弧線”。魏老師像大姐姐一樣與學生平等交流。“魏老師不是特別聰明，所以我來研究9+2。”“你們愿意教我嗎？”“你們將我教會了。”“你們是擺的，還是用別的方法算出來的？”極具親和的話語，讓學生放松心靈，享受自由。學生感受到的不僅僅是平等，還有被別人需要的感覺，學生得到的是尊重，收獲的是自信，迸發的是熱情，學生的思維噴薄而出，火花四濺。

【教學片段五】精心設問 ?引思維深入

師：現在我們一起來讀一讀這些算式，告訴你，有秘密藏在里面。看誰最先發現這些秘密。

……

生1：前面的數都是9。

生2：加號后面的數都是從小到大排列的。

師：我告訴你，這還不算神奇，關鍵還有——

生：下面算式的結果都比前面算式的結果大1。

師：為什么都是大1而不是大2？

生：因為9+1=10，下面是9+2=11，2比1大1，所以11比10大1。

師：了不起，你們學會了一個很重要的觀察方法，你們可以從上往下觀察，還可以從下往上觀察。能不能橫著觀察，在一道算式里看一看？

生：都是借一個，看作10。

師：現在老師隨便挑一個，9+6等于？

生：15。

師：再來一個9+8。

生：17。

師：你們怎么算得這么快？

生：結果都變成十幾來算。

師：說得特別棒！今天我們學的都是9加幾，結果都是十幾。剛開始我們覺得10加幾特別好算，現在我們將9加幾全部變成了10加幾。你們覺得好算嗎？如果以后再學的話，除了學習9加幾，還可以學——

生：8加幾、7加幾、6加幾。

師：如果要學到8加幾時，你們準備怎么辦啊？

生：借2個。

師：如果要學習7加幾呢？

生：借3個。

師：為什么要借3個呢？

生：因為7+3等于10。

師：如果我要學到4加幾的時候？

生：借6個。

師：好，我寫一道算式：4+9，你會借6個嗎？

生：會。

師：不會的人舉手。你不會，你怎么算的？

生：4+9等于13，因為4+9就是將9+4倒過來，只要借1就可以了。

【賞析】學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。新課程標準倡導讓學生充分經歷知識的形成過程，可在有限的學習時間內讓學生完全經歷知識的形成過程是不現實的，魏老師在這方面是成功的。在充分了解學情的情況下，魏老師精心地作了問題預設。“除了學習9加幾，還可以學——？”由具體問題向一類問題擴展，學生自然地運用初步構建起的思維模式去解決同一類問題。“為什么要借3個呢？”“如果我要學到4加幾的時候，你會借6個嗎？”引發學生深層次地思考。看似隨意的提問，卻緊扣學生思維的脈搏;不著痕跡地引導，將學生的思維引入新的境界。一個個“現實”的問題驅動學生的思維一步步走向深入，學生在探索前行，驀然“發現”似乎是水到渠成的事。孩子們感到自己是一名成功的學習者，知識的獲得源自自我探索，而非來自教師的“輸入”。探索的曲折，讓學生的思維更深刻;探索的成功，讓學生對數學學習充滿興趣。

【收獲】

英國哲學家培根說：“數學是思維的‘體操’。”數學課上，學生的思維就應活躍，讓學生在習得數學知識的同時，養成正確的思維方式是數學教育的主要任務。結合具體數學知識進行思維訓練是培養學生數學思維最基本也是最重要的形式。魏老師對學生高度的“尊重”與“信任”、“需要”與“激勵”，使得學生一遍遍自覺地回顧自己的思維過程，讓自己的思維變得清晰，有條理，學生對數學知識的學習不是簡單的過程模仿，而是理性思考的自然結果，正確的思維方式與濃厚的學習興趣促使學生的思維不斷創新。真心希望我們每一節數學課都能看到學生飛濺的思維火花，真正讓每一名學生都能受到良好的數學教育。

（江蘇省鹽城市射陽縣小學 ? ?224300）