實施分層練習 感受數學魅力

葉婉紅

如何針對“三角形內角和”的相關知識上好一節練習課，這一問題在以往的教學中并沒有引起教師們的關注。因而在平常的練習設計時，比較常見的是重復已知三角形兩個角的度數求第三個角的度數的題目，練習形式比較單一，難以引發學生的學習興趣。因此筆者針對這一內容作了深入的思考，主要通過對數學內涵的挖掘，對練習內容作了一定的拓展。現把教學的簡要過程整理如下，供大家參考。

【教學實錄】

一、基本練習

（一）判斷：下面三個角有可能是同一個三角形的三個內角嗎？

① ?70°、60°、 50° ? ?（ ? ? ）

② ?65°、65°、 50° ? ?（ ? ? ）

③ ?37°、53°、100° ?（ ? ? ）

④ ?90°、40°、 50° ? ?（ ? ? ）

學生針對以上每組三個角的度數，判斷出第①、②、④組的三個角的度數相加都剛好是180°，所以都有可能是同一個三角形的三個內角。教師在學生判斷的同時，引導學生發現第②組的三角形是一個等腰三角形，第④組的三角形是一個直角三角形。

接著教師又提問：如果一個三角形的三個內角剛好是第④組的90°、40°、50°，你能畫出這個三角形嗎？

學生根據以上的度數畫出相應的直角三角形，這時教師從學生所畫的三角形中找出了兩個大小不同的直角三角形，利用投影呈現在屏幕上，并提問：為什么會出現大小不一樣的三角形呢？

生：它們的邊的長短不一樣。

師：也就是說兩個三角形雖然三個角分別相等，但有可能什么不一樣？

生：有可能大小不一樣，也就是有可能邊的長度不一樣。

教師借助于投影把兩個大小不同的直角三角形按其中的40°角重疊在一起，接著再把一條直角邊進行左右平移，與斜邊和另一條直角邊相交出多個直角三角形（如圖1），并提問：你們看到了這些三角形什么變了？什么沒有變？

圖1

生：三角形的大小變了，三角形三個內角的度數沒有變。

（二）分別算出以下三角形∠B的度數（如圖②）

學生獨立列式計算之后，教師組織反饋評講。對第②、③、④小題，引導學生根據三角形的特點交流計算方法。

圖2

（評析：運用“三角形內角和”的知識對四組角進行判斷，使學生較快地回憶起基礎知識。而在這一環節中值得我們關注的是，教師讓學生針對已知直角三角形的內角度數畫出這個三角形。看似是一個畫圖操作，實際上引出了對此后要學習的“相似三角形”知識的初步思考。學生在這樣的畫圖、觀察、比較中，逐步知道三個內角雖然分別相等，而它們的大小可以不同。再通過投影的展示，初步感受到三條邊是在同時相應縮短或延長的，這也是之后要掌握的相似三角形中對應邊成比例的知識。之后關于求出指定角的度數的練習，則讓學生再一次鞏固了三角形角的相關知識，及不同類型三角形角度的計算方法。）

二、拓展練習

（一）用三角形內角和研究它的外角

投影出示問題一：用三角形內角和研究它的外角。（同時呈現下圖3）

圖3

師：如圖中的∠1、∠2、∠3都是從三角形的一條邊延長，并與另一條鄰邊所夾的角，都叫作這個三角形的一個外角。請同學們根據下面要求完成學習。

① 分別求出以上每個圖形中指定角的度數。

② 觀察上面三個圖形，你有什么發現嗎？分小組互相說一說。

學生經過獨立思考、計算，小組交流后，教師再組織反饋評價。在評價中發現大部分學生都能按以下的方法進行計算，教師根據學生的回答板書出每一個圖的算式：

第①個圖先計算∠1的鄰角度數“180°-30°-30°=120°”;再用平角減去鄰角得到“∠1=180°-120°=60°”。

第②個圖直接看出∠2是直角，所以它的鄰角是90°，∠A=90°-30°=60°。

第③個圖先計算∠3的鄰角“180°-110°=70°”，再計算：∠A=180°-30°-70°=80°。

當教師組織學生反饋了以上的計算過程后，一部分學生提出：我們發現了每個外角都剛好是它不相鄰的兩個內角的和。

師：是嗎？大家仔細看一看是這樣的嗎？

學生再次觀察片刻后，給出了肯定的答復。

此時，教師再借助于投影在第①個圖上點擊C點，使它在BC的邊或邊的延長線上從左往右移動（其他兩個頂點不動），使學生直觀地感受到它的外角從小變大，而三角形的另一個內角也跟著從大變小。

（評析：顯然教者設計這樣的外角題目，其目的是通過外角與鄰角的思考，不僅進一步鞏固三角形內角和的知識，而且更重要的是讓學生自己去發現三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角之和。當然對于這一結論的掌握并不重要，重要的是學生經歷了觀察、發現的過程，借此來提高學生發現問題、解決問題的能力。）

（二）用三角形內角和研究多邊形的內角和

師：剛才大家運用三角形內角和研究了三角形的外角問題，下面我們再來運用三角形內角和研究多邊形的內角和。

投影出示問題二：用三角形內角和研究多邊形的內角和。（出示圖4）

圖4

同時出示以下學習要求：

① 想一想以上各圖有幾個內角？

② 請你用畫一畫、算一算的方法求出各圖形的內角和是多少？

③ 想一想計算多邊形內角和有什么計算規律嗎？

④ 在小組內說說你的想法。

在學生通過獨立思考、計算，小組交流討論后，再組織反饋評價：

四邊形分成兩個三角形，它的內角和是：2×180°=360°。

五邊形分成三個三角形，它的內角和是：3×180°=540°。

六邊形分成四個三角形，它的內角和是：4×180°=720°。

……

師：在分法上要注意從一個頂點出發，把多邊形分成幾個三角形（在圖4中呈現出分法）。你們發現有怎樣的計算規律了嗎？

學生通過以上的類推，得出“n邊形”的內角和是“（n-2）×180°”的計算規律。

接著教師又出示了以下的凸四邊形和凹四邊形、凸五邊形和凹五邊形（如圖5），并提出：請大家繼續觀察，它們的內角和是否還可以用以上的計算方法計算呢？

圖5

在學生的互動交流中，教師呈現圖中的分法，使學生知道這里的凹四邊形和凹五邊形的內角和仍然可以用這種計算方法得出內角和（如圖6），就是在分割時要注意一般從凹進去的頂點出發去分割三角形。

圖6

接著教師繼續提出：是否所有的凹多邊形都可以用這種方法來計算內角和？

引導學生到課外繼續思考、探究。

（評析：設計這樣一組多邊形讓學生去研究它們的內角和，其主要目的是讓學生去經歷觀察、嘗試、操作、發現計算規律的過程，從中使學生獲得一定的數學基本活動經驗。學生在找到凸多邊形的分法之后，得出內角和的計算規律難度并不大。而葉老師不僅只滿足凸多邊形的內角和，還聯想到了凹多邊形。但針對一些凹多邊形在分割成三角形時，在方法上是有一定技巧的，所以葉老師并沒有過多地展開，只是提到：所有凹多邊形是否都可以用這種計算方法？一句發問激發了學生課外的探究欲望。）

（三）用三角形內角和研究內角的變化

1. 研究頂角的變化。

師：我們現在知道無論三角形怎樣變化，它的內角和始終是180°。請大家觀察下面這個直角三角形（出示圖7）。

圖7

師：現在把頂角的頂點沿著高的沿長線向上移動，形成了三角形AB1C;再沿著高向下移動， 形成了三角形AB2C（如圖8）。請根據下面學習要求思考：

圖8

觀察三角形AB1C和三角形AB2C，它們與三角形ABC的內角比較發生了怎樣的變化？變化后的兩個三角形分別變成了什么三角形？

學生經過獨立思考、小組互動交流后，教師再組織學生反饋評價：

生1：三角形AB1C的頂角變小了，小于90°，而它的兩個底角變大了。這個三角形變成了銳角三角形。

生2：三角形AB2C與三角形ABC相比，它的頂角變大了，大于90°;而它的兩個底角變小了。這個三角形變成了鈍角三角形。

師：你們想象一下，如果頂角的頂點繼續在這條高所在的直線上作上下移動，三角形的頂角和底角會有怎樣的變化規律？

等學生想象片刻后，教師在投影上繼續拉動三角形的頂角，使學生直觀地感受到越往上移動，頂角越小;越往下移動，頂角越大。

2.研究與圓有關的三角形內角的變化。

師：剛才我們研究了三角形一個頂角在它高所在的直線上移動，如果把它的頂角的頂點放在一條圓弧上移動又會是怎樣的呢？

教師利用投影先出示一個圓，再畫上一條線段AB把圓分成兩個半圓（四年級學生只是初步認識圓）。接著引導學生在圓弧上任意確定一點C，并把C點與線段兩個端點A、B連結成一個三角形（如圖9），并提出：這樣連結成的三角形又會是什么三角形呢？

圖9

學生在練習紙上，按以上要求畫三角形。當學生檢驗出這個三角形是直角三角形時，教師又趁機提出：在圓弧上再任意多找幾個點，把每一點分別用同樣的方法與點A、B連結起來形成三角形，這些三角形還是直角三角形嗎？

學生認真地操作著，過了一段時間后，學生興奮地得出：無論圓弧上的點如何變化，得到的都是直角三角形。

師：你們仔細觀察這些直角三角形，直角所對的弧剛好是半圓弧，另外兩個銳角所對的弧加起來也剛好是半圓弧，因為這兩個銳角的和也是90°。

學生仔細觀察，都發現了這一現象。

師：你們太厲害了，這一知識要到中學才會學，你們現在就發現這一現象，已經很不錯了。

接著教師又借助于投影呈現如圖10圓外綠色的區域，要求在這一區域內任意找一點，再與A、B連結成三角形，并提出：這樣連結成的三角形又是什么三角形？

圖10

學生在練習紙上，按以上要求連結三角形，繼續思考交流。

當學生發現這樣連結的三角形都是銳角三角形時，教師又提出：請大家在圓內也任意找一點，連結的三角形又是什么三角形呢？

學生又經過操作、度量后，發現這樣連結的三角形是鈍角三角形。

此時學生的好奇心被激發。教師順勢在投影上出示：過一個鈍角三角形頂點，畫出底邊上的垂線，此垂線交于圓弧上一點，這一點與A、B連結成的又是一個直角三角形。并向學生提出：通過剛才畫圖過程的觀察，你能說出一些道理嗎？

（評析：我們知道在“圖形與幾何”相關知識的教學中很重要的一點是如何盡量做到化靜為動。一般在演示動態圖形之前，應先讓學生觀察靜態的圖形去想象動態的變化，然后再利用媒體演示，使學生在觀察中再次驗證自己想象的過程。上文教師在教學中已較好地演繹了這樣的想象過程。可以看到在第一步教學時，教師先讓學生針對三個三角形進行觀察、分析，并展開想象，然后把三角形的頂角沿著高所在的直線進行上下移動，使學生感受到隨著頂角變化而引起的底角的變化。同時這一步的想象又為下一步的練習提供思路，在接下來的環節中教師巧妙地設計了“圓”與“三角形”的相關知識。另外，執教教師非常清楚這些知識是以后要學習的內容，此課上不要求學生去搞清這是為什么，只要求學生通過這樣的過程，發現在圓弧上任意取一點C分別連結點A和點B，連結出的三角形都是直角三角形。顯然這樣的設計很好地激發了學生好奇心，使學生從中感受到數學的內涵和魅力。）

【總評】

回顧本課的練習，我們深刻地體會到，作為教師，全面、深入掌握學科知識是多么重要。我們都會說 “只有深入才會淺出”，但這僅僅是一個必要條件，還需要教師有著深入思考的意識與習慣。只有把知識點放到整體結構中去思考，才會想到如何去進行知識的滲透;只有教師有這樣的思考意識，才能想到如何去進一步拓展學生思維。關于“三角形內角和是180度”這一知識，在小學階段是用實驗的方法（測量、剪拼）來獲得，到了中學還需要進一步通過演繹推理的方法加以證明。到中學學習相似三角形知識時，最為重要的是認識三個內角對應相等、對應邊成比例，然而在以上教學中，執教教師有意識地讓學生根據一個直角三角形的三個內角度數畫一畫三角形，這樣就自然地滲透了相似三角形的知識。而關于任意的凹多邊形的內角和可以用“（n-2）×180°”來計算，就是在劃分三角形時要根據圖形特點注意有不同的方法，所以執教教師在練習時只給學生呈現兩個特殊的凹多邊形，并在教學時采取點到為止，僅給學生帶來一些思考。同樣在學習圓的知識時，圓周角的度數的知識是相當重要的，尤其直徑所對的圓周角是直角，而四年級的學生通過作圖會發現這樣的事實，教師的目的是借助于這樣事實，引發學生深入地思考。由此可見，只要教師能有意識地針對學習內容，適當創設拓展性的練習，同時注意把握好練習的度，學生一定會在練習中感受到數學是如此好玩。

（浙江省臨海市臨海小學 ? 317000

浙江省臨海市教育局教研室 ? 317000）