“圓是不是特殊扇形”，非要分出是非來嗎？

劉佳 嚴育洪

【“望”：病例觀察】

蘇教版五年級下冊新教材中，圓的單元新增加了“扇形的初步認識”。為了使學生認識到“在同一個圓上，圓心角的大小決定扇形的大小”，執教教師設計了這樣的活動環節——

教師在黑板上畫了一個圓，以兩條軟磁鐵為半徑，一條固定，轉動另一條。演示后提問：你發現了什么？

生1：隨著圓心角的變化，扇形的大小也發生了變化。

生2：扇形的圓心角變大，扇形的面積也變大。

教師獲得預設答案，正要說下去，誰知又有學生接口——

生3：扇形是圓的一部分，它們是部分與整體的關系。

生4：圓是特殊的扇形，我感覺它們還是特殊與一般的關系。

教師聽了生4的回答，有點意外：“你為什么說圓是特殊的扇形？”

生4：圓可以看成圓心角是360°的扇形。

教師一聽，感覺有理。

……

【“問”：病歷記錄】

課后，筆者做了一個測試：首先讓學生畫一個圓，除了畫有直徑的圓，還有許多學生的作品如圖1；然后讓學生接著畫一個圓心角是360°的扇形，許多學生的作品如圖2。

在評課時，教師們在“扇形是不是圓的一部分”“圓是不是特殊的扇形”這兩個問題上爭得面紅耳赤——

師1：我認為，“扇形是圓的一部分”這一說法是對的，因為教材例題（如圖3）就是從圓中截取一部分引出扇形的。

師2：我認為，“扇形是圓的一部分”這一說法不對，因為扇形是由圓周的一部分與它所對應的圓心角圍成的圖形，它不包括內部的涂色部分。

師1（不服）：那教材例題的要求不是寫了“觀察各圓中的涂色部分”嗎？

師2（解釋）：這可以從教材例題下面的小卡（如圖4）的提示知道，扇形只指外部的輪廓。

師3（依然不服）：照你這么說，教材小卡下面（如圖5）寫的“上面各圓中的涂色部分都是扇形”這句話作何解釋？

師2（語塞）：是啊，我也被弄糊涂了?！巴可糠帧彼坪跤职▋炔康拿娣e了。

……

師4：我感覺“圓是特殊的扇形”這種說法也不對，正如“平行四邊形不是特殊的梯形”一樣。

師5（質疑）：如果它們不是包含關系，那為何扇形面積計算公式可以適用于圓面積計算公式，同樣，為何梯形面積計算公式可以適用于平行四邊形面積計算公式。

師4（思考許久）：這個……我也說不清。

……

【“切”：病理診治】

在《數學辭海（第1卷）》中對“圓”是這樣敘述的：圓（circle），平面幾何中最基本、最重要的圖形之一。圓的定義方式很多，常見的有以下三種：①平面上到定點O的距離等于定長r的全體點組成一條曲線稱為以點O為圓心、以r為半徑的圓周，簡稱圓。②到定點的距離等于定長的動點的軌跡稱為圓，該定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑。③給定一條線段，使其繞著它的一個固定的端點在平面內旋轉一周，其另一個端點所經過的封閉曲線稱為圓，線段的固定端點稱為圓心，線段長稱為圓的半徑。

根據以上圓的定義，我們不難發現，圓是一條線，而不是一個面，它是“圓周”的簡稱。也就是張奠宙教授在《小學教學（數學版）》2014年第4期《更多地關注數學本質與細節處理——以圓的定義為例》一文中的觀點：“一般認為，圓是一維封閉曲線，具有周長。”

由此觀察上述課例，執教教師“在黑板上畫了一個圓，以兩條軟磁鐵為半徑，一條固定，轉動另一條”這一做法，轉到最后留下的是這樣一個圖形（如圖6），它是圓心角是360°的扇形。我們把它與圓（如圖7）進行比對，不難發現它們“外貌”不同：扇形是由圓的兩條半徑和圓心角所對的孤圍成的圖形。扇形的概念包括：①圓的兩條半徑；③圓心角所對的??；③由兩條半徑與弧圍成的圖形；④扇形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸。當扇形的圓心角是360°時，圓心角的兩條半徑重合在了一起，圓心角所對的弧的長度正好等于弧所在圓的周長。而圓只是指圓周這一條曲線。

至此，我們不難發現，“圓心角是360°的扇形”和“圓”并不是一回事，“圓可以看成圓心角是360°的扇形”這一說法似乎并不正確，由此“圓是特殊的扇形”這一說法似乎也不成立。此時，我們也就可以體會到教材上只寫“右圖中A、B兩點之間的曲線是弧，它是圓的一部分”而不寫“扇形是圓的一部分”背后隱藏的道理。也就是說教材是把圓看作圓周的簡稱，當然，如果教材例題要求把“觀察各圓中的涂色部分，說說它們的共同特點”改成“觀察各圓中的涂色部分的形狀（或輪廓），說說它們的共同特點”，可能更加明確。

可以說，一些學生產生誤解就是因為沒有吃透圓與扇形的本質含義，除此，還有一個原因是一些學生對圓存在著錯誤表象，課后的調查已經告訴我們，許多學生腦中的圓是如圖8這個樣子的——一個畫有半徑的圓，它貌似圓心角是360°的扇形樣子。

那么，為何一些學生會留下如此圓的形象呢？筆者認為，這與知識的本身和教師的教學有一定關系。在教材編排上，認識圓的一開始就與決定其大小的半徑聯系在了一起，由此一些學生也就認為半徑是圓的一部分，再加上許多教師對圓的認識也比較模糊或不注意對圓的抽象結果，于是造成學生對圓的認識發生偏差。而以前認識長方形就不會有此錯覺，因為首先研究的邊角，并且決定長方形大小的恰好是圍成它的長和寬，認識平行四邊形、三角形等平面圖形時，決定它們大小的高要在教學它們面積的時候才提及，并且常常被畫成虛線。因此，這些直線平面圖形的形象在學生腦海里還是比較清晰的。另外，許多教師采用甩小球等動態演示引出圓，連著小球的那一條線以及這條線掃過的面給學生造成了強烈刺激，于是有些學生對圓留下了錯誤的印象。由此可見，小學教材采用沿著圓形物體一周描出圓的抽象方法，可以避免上述尷尬，一開始就讓學生留下圓的正確表象。

當然，還有人是這樣來反駁“圓是特殊的扇形”這一說法的：若圓心角為360°時所組成的圖形，我們視它為特殊扇形，那么是否也可以將點視為特殊的線段（線段的兩個端點重合），從而視三角形是任意多邊形的特殊情況呢？再將點視為特殊的圓（R=0時），繼而又視圓錐是圓臺的特殊情況呢？

如果我們再次研讀《數學辭海（第1卷）》中對“圓”的描述，又會發現這樣一些文字：“到圓心的距離不大于半徑的點的全體通常稱為圓盤（或閉圓盤），有時也簡稱圓?！薄翱傊?，圓是圓周和圓盤的統稱?！?/p>

這些話告訴我們，圓也可以是圓盤的簡稱。例如教材中所用的“圓面積”，其意應該是“圓盤面積”。此時我們也就能夠理解張奠宙教授所說的“一般認為，圓是一維封閉曲線，具有周長”中的“一般”的含義了。眾所周知，我國小學數學基本上是從西方移植而來的，英文中的circle我們直譯為圓，其含義是一維的曲線。但是英文中還有一個詞disk，專指二維的圓形的圖形，《英漢大辭典》釋義為“圓盤、圓板、圓片、圓平面”。因此，在英文里，圓和圓盤是兩個不同的詞。但是，在漢語里，兩者混同起來了。

張奠宙教授在《更多地關注數學本質與細節處理》一文中提出這樣的設想：“圓盤”一詞可不可以用“圓形”代替？這是由于三角形、矩形、多邊形以及高等數學中的曲邊梯形等詞語，都是指二維的圖形。“圓形草坪”一句中所出現的“圓形”一詞，也是用來形容二維的草坪的。因此，借鑒矩形的面積、三角形的面積的說法，使用“圓形”的面積也許是一個不錯的選擇。這也是許多教師在以往教學中常有的困惑——“為何‘圓’不說成‘圓形’”的緣故。

《數學辭海（第1卷）》中也指出“半圓”與“半圓形”含義不同，“半圓”多指圓周一半的弧，而“半圓形”是指由半圓周和連結它的兩個端點的直徑所圍成的圖形。由此可見，如果這樣區分，那么“半圓是扇形”應該說成“半圓形是扇形”，或者說成“半圓與直徑的組合也是扇形”。

其實，很多情況下，長方形、平行四邊形、三角形、圓以及扇形等平面圖形，在人的眼里，常常一詞兩義——在周長和面積之間切換，正如《數學辭海（第1卷）》中的補充說明：“在平面幾何中，圓一般多指圓周。在不同的學科和不同的場合，將圓理解成圓周還是圓盤，要視具體情況而定。”在平常使用中，當它們表示面積的時候，我們習慣說“長方形面積”而不說“長方形面面積”， 習慣說“圓面積”而不說“圓盤（面）面積”，習慣說“扇形面積”而不說“扇面面積”等。當圓指稱圓面、扇形指稱扇面的時候，“扇形是圓的一部分”“圓是特殊的扇形”等說法似乎又不可說不對。

扇形，一般情況下指一周的輪廓。《數學辭海（第1卷）》中對“扇形”是這樣定義的：指由一條圓弧和過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形。初始認識扇形時，我們還是應該把概念建立在“一般情況下”。由此觀察教材例題（見圖9），可能會發生像課后訪談中教師的質疑——“‘上面各圓中的涂色部分都是扇形’這句話該怎么解釋？”

對照教材例題下面小卡的提示語（見圖10）和教材最終呈現的扇形幾何圖（見圖11）， 我們大致可以明白教材編寫的意圖：“上面各圓中的涂色部分都是扇形”是知識的過渡，為了從圓（此處“圓”的含義應是“圓盤”或“圓形”）中截取出扇形（此處的“扇形”的含義應是“扇面”），然后讓學生觀察特征，最終抽取出扇形是由圓周的一部分與它所對應的圓心角圍成的圖形?！稁缀卧尽愤@樣定義扇形：“由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形?！庇纱送葡?，教材可能想采用截取的意味來描述扇形的定義，畢竟扇形與圓有著密切的聯系，有的地方把“扇形”稱為“圓扇形”。當然，如果把“上面各圓中的涂色部分都是扇形”說成“上面各圓中的涂色部分的形狀都是扇形”，可能更會讓學生明白扇形的一般意義。

上述課例中，生4認為“圓是特殊的扇形”的理由是“圓可以看成圓心角是360°的扇形”，也就是當扇形的圓心角增大到360°時，它是一個面積等于同半徑圓面積的特殊扇形，這是一種極限思想。這里觀察的對象是它們的面積，因此說成“圓心角是360°的扇形面積與同半徑圓面積相等”可能更為明確。

當“圓是特殊的扇形”表示“圓面是特殊的扇面”時，對學生學習最大的好處是能把扇形面積計算公式同圓面積計算公式實現溝通與統一，減少記憶負擔。同理，“平行四邊形是特殊的梯形”表示“平行四邊形面是特殊的梯形面”時，那么梯形面積計算公式就能夠同平行四邊形面積計算公式實現溝通與統一。

然而，在一般意義上，“平行四邊形是特殊的梯形”在學術界又是一番爭論。根據梯形的一般意義“只有一組對邊平行的四邊形，叫作梯形”，毫無疑問，平行四邊形不是梯形。不過，當看了持“平行四邊形宜為特殊的梯形”的人所提出的以下這些“證據”，我們又不免會發出這樣的感嘆：“‘平行四邊形是不是特殊的梯形’真的有那么重要嗎？把平行四邊形歸為特殊的梯形又何妨！”

（1）從圖形所具有的性質來看，梯形所具有的一些公式、性質，平行四邊形也都具有。

（2）從圖形的運動軌跡角度來看，如圖12所示，

如果A點（或B點）向B點（或A點）運動或做反方向運動，當且僅當AB=CD時，四邊形ABCD為平行四邊形，其余的情況都是梯形；同樣，如果C點（或D點）向D點（或C點）運動或做反方向運動，當且僅當AB=CD時，四邊形ABCD為平行四邊形，其余的情況都是梯形。

（3）從知識的邏輯性角度來講，“有一組對邊平行的圖形叫作梯形”定義的優點，在于它是清楚地按照邏輯分類敘述的，“只有一組對邊平行的圖形叫作梯形”定義則不是用的一種標準，而是同時采用了邏輯分類的兩個連續階段：首先是一組對邊的性質，然后是另一組對邊的性質。它不應該同時采用，而應該是順次的。采用了第二種定義，我們便失掉了邏輯的清晰性。張奠宙教授在《小學教學（數學版）》2015年第6期《正本清源，力求正確——關于數學教材中“分類”單元的評論》一文中，對四邊形按邊角關系的等級分類（見圖13），我們可以看出他也是把平行四邊形歸為特殊的梯形。

（4）從知識研究過程的角度來看，我們研究事物經常用到的方法是從特殊到一般，然后用一般的方法或結論去解決特殊的問題。對于四邊形的研究，我們是從正方形（特殊的長方形）與長方形（特殊的平行四邊形）開始，接著是平行四邊形（特殊的四邊形），然后是梯形（特殊的四邊形）。也就是說，如果我們對四邊形的研究采用常用方法，即從特殊到一般：正方形—長方形—平行四邊形—梯形—四邊形，那么，平行四邊形就宜為特殊的梯形。

（5）從數學的簡約性角度來看，把平行四邊形歸為特殊的梯形，可以使四邊形的分類由目前的一分為三，即四邊形包括一般的四邊形、平行四邊形與梯形，簡化為一分為二，即四邊形包括一般的四邊形與梯形，這樣便于學生的研究與記憶。所有梯形的性質，很自然地（也就是不必再加證明）使用在平行四邊形上，例如梯形中位線的性質。

當然，反對“平行四邊形宜為特殊的梯形”的人所持的論點是，如果把平行四邊形作為梯形，那么它就包含了等腰梯形。但是在以后證明的很多等腰梯形的性質，都是平行四邊形所沒有的，如等腰梯形的底角彼此相等，等腰梯形的對角線彼此相等，等腰梯形可有一外接圓等。如果把平行四邊形認為是等腰梯形，那么在上述的所有定理之中，在“等腰梯形”一語之后，都應增加“如果它不是平行四邊形”的條件。為了避免這種麻煩，某些教學法專家寧可事先把平行四邊形從梯形中去掉。對此，倡議者提出可以通過兩種方法來解決：一是在所有的定理中，增加上面所說的條件，二是一勞永逸地把這條件加在等腰梯形的定義中，也就是這樣來定義：“兩腰相等但不平行的梯形，叫作等腰梯形?！?/p>

有人說，數學有時“粗”一點好，有時不一定非要分出是非來。我們可以按照現行教材普遍采用的如圖14這種便于學生理解的分類方法進行概念教學，在之后的面積教學中，再順便指出梯形面積計算公式對于計算平行四邊形面積（包括長方形面積以及正方形面積）、三角形面積都適用，在此意義上，平行四邊形和三角形都可看作梯形的特殊情況。

總之，數學教學非常講究每隔一定的學習階段就從一種較高的視角來統觀全局，統攬前面所學過的互相關聯的各種知識。如果我們用“聯系”的觀點來考察知識，我們就會發現，打通知識之間的壁壘遠比非要分出知識的是非來要有意義得多，它能夠讓我們跳出知識的“界限”，從更廣的知識背景下看到更遠的知識風景。例如我們可以用梯形面積計算公式統一平行四邊形面積和三角形面積，但我們如果換一個視角，還可以發現平行四邊形和三角形的面積計算也容納了梯形面積計算的方法，這就是中位線法——面積=中位線長×高。此時，誰還會去糾結它們之間的關系——誰是特殊誰是一般，而只會驚嘆它們之間的聯系——知識真奇妙！

（江蘇省宜興市城南實驗小學 214200 江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214191）

編后語：“圓是不是特殊的扇形”“三角形是否可看作梯形的特殊情況”“平行四邊形是不是特殊的梯形”是專家、教師經常探討的話題。誠然，一般討論的焦點都會落腳到“是”或“不是”的結論上。本文作者在綜合分析各家觀點的基礎上提出了“數學有時‘粗’一點好，有時不一定非要分出是非來” 的觀點。他認為如果用“聯系”的觀點來考察知識，就會發現打通知識之間的壁壘遠比非要分出知識的是非來要有意義得多，它能夠跳出知識的“界限”，從更廣的知識背景下看到更遠的知識風景。對于這樣的觀點，你是否認同呢？歡迎大家參與討論！